Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Итак, (х„) слабо сходится к элементу хв пространства Н. Но тогда (в силу леммы из предыдущего пункта) последовательность 1Ах„) сходится к Ахв по норме Н. Так как оператор А является самосопряженным, то справедливо равенство (Ахьп хв) = (х„, Ахв), из которого вытекает соотношение (Ах хл) — (Ахо, хо) = (А(хп — хо) (ха+ ха)) (11 55) Применяя неравенство Коши — Буняковского, получим из (11.55) ~(Ахи, хв) — (Ахо, хо)~ < 1~хи+ хо~~ .
~~Ахи — Ахо~~ -+ О (ибо последовательность ~Ах„) сходится к Ахв по норме Н, а !)х„)) = 1). Таким образом, мы доказали, что (Ах: х ) — э (Ахо хо) (11.56) Из (11.56) и из того, что (Ах„, х„) -+ Л, вытекает, что (Ахв, хв) = Л. (11. 57) Убедимся теперь в том, что ~~хо~~ = 1. В силу неравенства Коши-Буняковского для любого элемента д справедливо неравенство ((х„, д)! < ((х„(( ((д(( = ))д(!.
Переходя в этом неравенстве к пределу прп п -+ оо и учитывая слабую сходимость (х„) к хв, получим, что ~(хо, д) < ~~у~~ (для любого элемента д). Из последнего неравенства при д = хв получим, что ()хв() < 1. Чтобы доказать, что !)хв)! = 1, достаточно убедиться в том, что предположение о выполнении неравенства О < ((хв)! < 1 ведет к противоречию. Пусть О < ))хо)! < 1.
Положим де = хв/ ()хв(!. Тогда ))до)) = 1 и в силу линейности оператора и соотношения (11.57) (.4до до) =;(Ахо хо) =; > Л 1 Л 1~Х0~~2 ' !~хо!~2 а это (в силу того, что Л = ЛХ) противоречит (11.54). Итак, !1хв~~ = 1. Докажем теперь, что хо собственный элемент, отвечающий собственному значении> Л. Пользуясь определением нормы элемента, .аксиомами скалярного произведения, равенством (11.57) и определением нормы оператора, будем иметь ~~Ахо — Лхо~~" = (-4хо — Лхо Ахо — Лхо) = = 1!Ахо~~ — 2Л(Ахо, хо)+ Л ~~хо!! = ~~А~~ — Л . 1 4 ВпОлне неп!зеРЫВные сАЕ1ОсОпРЯженные ОпеРАтОРы 417 В силу теоремы 11.11 правая (а стало быть, и левая) часть последнего соотношения равна нулю.
Но это и О1эначает, что А.го = = Лхо, т. е. означает., что хо является собственным элементом оператора А, отвечающим собственному значению Л. В глу.чае ~М~ < ~гп) рассуждения аналогичны, по Л следует положить 13авным лп. Нам еще остается доказать, что если существуют другие собственные значения, то собственное значение Л, удовлетворяющее условию )Л) = ))А)), является наибольшим среди них по модулю. Пусть Лл —.
какое-либо другое собственное значение и хл —. отвечающий ему нормированный собственный элемент. Тогда Ахл = = Ллхл и, стало быть, (Ахл, хл) = Лл. Но при этом из соотношения ) )Л) = ьир )(Ах, х)! И1=1 лен сразу же вытекает, что )Л! > (Лл!. Теореала полностью доказана. С помощью доказанной теоремы рассмотрим так называемое интегральное уравнение Фредголььла второго р о д а, т.
е. соотношение ь х(1) = Хл /' Х1 (1, в) х(з) лХз, (11.58) а из которого при заданном ядре К(1, я) определяется отличная от тождественного нуля функция х(Х) и те значения числового параметра Хл, при которых такая функция существует. Те значения числового параметра Хл, для которых существуют неравные тождественному нулю решения х(1) интегрального уравнения (11.58), называются собственными значениями этого уравнения. При этом каждое отвечающее данному собственному значению ненулевое решение уравнения (11.58) называется собственной функцией этого уравнения.
Величины, обратные собственным значениям интегрального уравнения (11.58), принято называть х а р а к т е р и с т и ч е ск и м и ч и с л а и и этого уравнения. Очевидно, если ввести в рассмотрение интегральный оператор А, определяемый равенством (11.40)., то собственные значения этого оператора А являются характеристическими чис;лами интегрального уравнения (11.58), а отвечающие этим собственным значениям собственные элементы оператора А являются собственными функциями интегрального уравнения (11.58).
В пп. 1 — 3 доказано, что если ядро Х1 (1, з) непрерывно в квадрате (О < Х < 5) х [и <,э < 5) и симметрично, то оператор (11.40) является линейным самосопряженным и вполне непрерывным. ') Это соотношение вытекает из (11.54) и из того, что Л = ЛХ при ~ЛХ! > (лп~ и Л = гп при ) ЕХ( ~( )пл!. 14 В. А. Ильин и Вс Г.
Позняк, часть П 418 ГЛ. 11 ГИЛЬБЕРТОВО НРОСТРЛНСТВО По теореме 11.12 интегральное уравнение [11.58) с таким ядром К(1, з) имеет хотя бы одно характеристическое число. г1тобы указанное интегральное уравнение имело хотя бы одно собственное значение, следует потребовать, чтобы оно имело хотя бы одно отличное от нуля характеристическое число, для чего к требованиям непрерывности и симметричности ядра К(4, з) следует присоединить условие необращения ядра К(сс в) в тождественный нуль ) . Итак, мы приходим к следующему фундаментальному у т в е рж д е н и ю; если ядро К(1, з) интегрального уравнения Фредгольма второго рода (11.58) непрерывно в квадрате [а < 1 < 6] х х [а < з < 6], симметрично и не равно тождественно нулю, то зто уравнение имеесп хотя, бьс одно собственное значение.
Замечание. Можно было бы доказать, что сформулированное утверждение справедливо и при замене требования непрерывности ядра К(1, з) на квадрате [а < 1 < 5] х [а < з < 6] более слабым требованием существования конечного интеграла Ь Ь ХХ К(Х, з) д1йз. в а (Достаточно убедиться, что при выполнении этого более слабого требования интегральный оператор [11.40), действующий из 1~[а, 5] в 1~[сз, Ь], продолжает оставаться вполне непрерывным).
5. Основные свойства собственных значений и собственных элементов линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора. В заключение выясним основные свойства собственных значений и собственных элементов произвольного действугощего из Н в Н линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора. 1'. Собственные злеменпсы хс и хг, оглвечающие двум р а зл и ч н ы м собсспввнным, значениям Л1 и Л2, вртогональны. ) Условие необращения непрерывного ядра К(С, в) в тождественный нуль является необходимым н достаточным условием существования у интегрального оператора А, определяемого равенством (11.40), н е н у л е в ы х собственных значений. В самом деле, в силу теоремы 11.12 [[А[[ = Л, где Л— наибольшее по модулю собственное значение оператора А, так что достаточно доказать,что [[.4[[ = 0 тогда и только тогда, когда К(С, з) не равно тождественно нулю.
Если К(й в) = О, то ясно, что [[А[[ = О. Есгш жо, наоборот,[[.4[[ = О,то оператор А, определяемый равенством (11.40), отобраз жает в нулевой эломент все ненулевые элементы пространства Ь [о, Ь) и, в частности, отображает в тождественный нуль все элементы (х„(С)) какой- либо п о ли о й ортонорлщрованной системы в Ь~[оэ Ь). Но это и означает что К(й э) = О. *з 4 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛХ1ОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 419 В самом деле, на основании свойств скалярного произведения, равенств Ах1 = Л1х1, Ахэ = Л1хг и свойства самосопряженности оператора А, получим (Л1 — Лй)(х1 — хг) = (Л1х1, хй) — (х1, Ляха) = = (Ах1., хг) — (х1, Ахг) = О.
Так как Л1 у= Л2, то из полученного равенства следует, что (х1, хг) = О. 2'. Одному и тому же собственному значению Л может отвечать несколько собственных элементов оператора А. Докажем, однако, что любому н е н у л е в в м у собственному значению Л может отвечать лишь к о н е ч н в е число линейно независимых собственнь1х элементов Предположим, что некоторому Л ф 0 отвечает бесконечное чиано линейно независимых собственных элементов. Производя процесс ортогонализации и нормировки этих элементов, мы получим бесконечную ортонормированную систему элементов (х„) пространства Н, каждый из которых является собственным элементом оператора А, отвечающим собственному значению Л ф О.
Так как для любого элемента у пространства Н справедливо неравенство Бесселя 2; (х„, у)й < 'Оу0~, то )ип (х„, у) = = 0 = (О, у), т. е. последовательность собственных элементов (х„) слабо сходится к нулевому элементу О. Но при этом из условия вполне непрерывности оператора А и из леммы и. 3 вытекает, что соответствующая последовательность (Ах„) сходится по норме Н к элементу АО = О.
В силу соотношения Ах„= Лх„ мы получим, что )Л! = 0Ах„0 — + 0 (при и — + со), а это означает, что )Л) = 0 и противоре гит условию Л ф О. Полученное противоречие и доказывает, что каждому Л ~ 0 может отвечать лишь конечное число собственных элементов. Проведенные нами рассуждения показывают также, что все собственные элементы (как отвечающие одному и тому же собственному значению Л, так и отвечающие различным Л) можно считать попарно ортогональными (и имеюшими, нормы, рави ые единице ) . 3'. Докажем теперь, что если оператор А имеет, бесквпечно много собственных значений, то любая выделенная из собственных значенигл пос,ледввательност:ь (Ло) Явлаетсл бесконечно,малвй.
') Нулевому собственному значению Л = 0 может отвечать и бесконечное число собственных элементов. Например, у интегрального оператора (11.40) с ядром К(1, з), тождественно равным нулю, каждый элемент какой-либо ортонормированпой системы (т„(1)) элементов Еэ(о, Ь~ является собственным элементом, отвечающиьг собственному значению Л = О. 420 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ГЛ. П Пусть (Л„) любая последовательность собственных значений, (ха) соответствующая последовательность собственных элементов, которую мы (в силу рассуждений, проведенных при доказательстве свойства 2') можем считать ортонормированной.
Записывая для любого элемента у пространства Н неравенство Бесовая по системе (хв), мы убедимся, что последовательность (х„) штаба сходится к нулевому элементу. Так как оператор А является вполне непрерывным, то из леммы п. 3 вытекает, что последовательность (Ахо) сходится к нулевому элементу по норме Н. Но тогда равенство Ахо = Л„х„влечет за собой соотношение )Л„( = 'ОАх„'О -+ О (при и — ~ оо). Доказанное свойство позволяет утверждать, что собственные значения линейного вполне непрерывного ссгмосопряоюенного оператора, кроме точки пуль, не имеют на числовой оси других предельных точек Это озяачаст, что все собственные значения мозюпо занумеровать в порядке невозрастаноя их модулей, так что будут справедливы неравенства причем )Лв( -+ О при и — э оо.
В частности, все установленные нами свойства справедливы для собственных функций и характеристических чисел интегрального уравнения Фредгольма второго рода (11.58) с непрерывным на квадрате ~а < Ь < Ь] х ~а < з < Ь] и симметричным ядром К( и з). О ) Для любого е > 0 вне интервала ( — е, е) может лежать лишь ноно шоо число собственных значений. ГЛЛВЛ 12 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ В этой главе будут изложены важные для приложений сведения о кривых и поверхнослтгх. й 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
