Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Векторные функции 1. Понятие векторной функции ") . Введем понятие векторной функции т ллерекгенных. Если каждой точке М из множества (М) точек, т-мерного евклидова прострагютва Е™ ставится в соответствие по известному закону некоторый вектор т ), то яоворягп, лто па мг озлсестве (М) задана векторная гХлуглктлия т = т(М1. При этом множество (М) называется о б л а с т ь ю з а д а н и я функции т = т(М). Если р = т, то, как и в случае т = 2 или т = 3 (см. и. 1 6 2 гл.
6), говорят, что на множестве (М) задано векторное люле, определяемое векторной функцией т(М). Вектор т(ЛХ), соответствующий данной точке М из множества (М), будем называть частным значением векторной функции в точке М. Совокупность всехчастных значений функции т(ЛХ) называется множеством знач е н и й этой функции. Если (М) - множество точек на данной прямой и (и) множество координат этих точек, то векторная функция т(ЛХ) может, очевидно, рассматриваться как векторная функция одной скалярной переменной и: т = т(а).
Если же (М) - множество точек т-мериого пространства и (им из, ..., ит) -- координаты точки М, то т(М) представляет собой векторнуюс функцию скалярных аргументов ил, и2, ..., и,„: т = т(ил, и2, ..., и ). ') Некоторые сведения о векторных функциях были даны в п. 6 э' 1 гл. 5 вып. 1 этого курса. е~ л Вектор т принадлежит, вообще говоря, р-мерному евклидову пространству Ег, поэтому определяется р координатами гы гн..., гр. 422 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12 Замечание. Пусть (ты т,, тр) координаты вектора т(М).
Очевидно, задание векторной функции т(М) эквивалентно заданию р скалярных функций тс(М), тз(М), ..., тр(М). Пусть векторы т(М) принадлежат евклидову пространству Е". Будем считать, что начала всех этих векторов совпадают с началом выбранной в ЕР декартовой системы координат. В этом случае точечное множество концов векторов т(М) называют г о д о г р а ф о м функции т(М). Годограф векторной функции одной скалярной переменной представляет собой, вообще говоря, линию.
Годографом векторной функции двух переменных будет поверхность. 2.Предельное значение векторной функции. Непрерывность. В полной аналогии с обычными функциями для векторных функций вводятся понятия предельного значения и непрерывности. Предварительно введем понятия сходящейся последовательности и предела последовательности векторов.
Последовагпельность (а„) называется с рг о д я щ е й с я к вектору а, если для любого г > О мозюпо указать такой номер Ос, чтв при и > дг выполняется неравенство ') )а — а( < ж При этом вектпор а называется п р е д е л в лс последовательности (а„). Символически существование предела и посзседовательности (а„) записывается следующим образом: )пп а„= а.
ЗаМЕЧаНИЕ. ЕСЛИ (аим аа„, ...., арв) И (ан аа, ..., ар)-- соответственно координаты векторов ав и а, то из сходимости последовательности (а„) к а вытекает сходимость числовых последовательностей (агв)., (арв), ..., (ар„) соответственно к числам вы аэ, ..., а .
Отметим также, что из сходимости указанных числовых последовательностей соответственно к числам ам аг, ..., ар следует сходимость постседовательности (а„) векторов с координатами (анм аам ..., вр„) к вектору а с координатами (ач, ат, ..., ар). Справедливость замечания вьггекает из следующих очевидных неравенств ): ~аь„ — аь! < ~а„ вЂ” а) < ~аса — ас) + ~аго — аз( + ... + (ар — ар~. Рассмотрим векторную фупкцисо т = т(М), определенную на множестве (М) точек т-мерного евклидова пространства, и О ) я1 о дул ем ~а~ вектора а с координатами (ои вв,...., а„) называется ) Вектор а„— а имеет координаты (о~„— оц оз„— аг,..., ор — ор). 423 внкторнын еункции точку А, быть может, и не принадлежащую множеству (М), но обладающую тем свойством, что в любой окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества (М), отличная от А.
Определение 1. Вектор Ь называется и р е д е л ь н и м з н а ч е и и ем векторной функции т(ЛХ) в точке А (или и р еделом т(М) при М э А), если для тобой сходящейся к А последовательносо»иМм ЛХм..., М„,... точек мнозюества(М), элементы М„котпорой огпличны от, А 1) (Ми ф А), соответствующая последовательность т(ЛХ|), т(М2), ..., т(Мп), ...
значений функции т(М) сходится к вектору Ь. Для обозначения предельного значения Ь функции т = т(М) в точке А используется следуюьцая символика: 1пп т(М) = Ь или 11пэ т(и1 ие, ..., и ) = Ь, и л и1-эа1 и» вЂ” »а» и, »ам где ам ат, ..., ат —. координаты точки А. Мы нг будем приводить определения предельного зна !ения векторной функции на языке ев Л», не будем приводить его и для случая, когда точка ЛХ стремится к бесконечности.
Эти определения формулируются в полной аналогии с соответствующими определениями для скалярных функций. Пусть точка А принадлежит к области задания векторной функции т = т(М) и любая окрестность этой точки содержит отличные от А точки области задания функции. Определение 2. Векторная функция т = т(М) называется непрерывной в точке А, если предельное значение этой функции в точке А сущеставует и равно час»пному значению т(А).
Векторная функция т = т(М) называется непрерывной на множестве (ЛХ), если она непрерывна в каждой точке этого множества. 3. Производная векторной функции. В ~ 1 гл. б вып. 1 этого курса говорилось о производной векторной функции одной скалярной переменной. Для удобства еще раз сформулируем это понятие. Пусть т = т(и) - векторная функция скалярной переменной и. Зафиксируем значение и аргумента и придадим аргументу и такое произвольное приращение 11и у= О, что величина и + Ьи принадлежит области задания функции.
Рассмотрим вектор Сат = т(и + саи) — т(и). ') Это требование объясняется, в частности, тем, что функция» (ЛХ) может быть не определена в точке А. 424 ОснОВы теОРии кРиВых и пОВеРхнОстей Гл. л2 На рис. 12.1 этот вектор совпадает с вектором МР. Умножив вектоР лат на число 1лллаи, мы полУчим новый вектоР— = — 'лт(а + лаи) — т (и)], (12.1) лхв Ьи коллинеарный прежнему.
Вектор (12.1) представляет собой среднюю скорость изменения векторной функции на сегменте (и, и+ + лаи). П р о и г в о д н о й вектпорной функции т = т(и) в данной фиксирооатюй точке и назьлваетсл предел при Ьи — э О раг- ностного отношения (12.1) (при т' условии, что предел существует). лст Р Производная векторной функции м л сЬ „.Ф лти обозначается символом т'(и) ипи —. л(и 1 Из геометрических соображе- О у ний ') видно,что производная векРис. 12.1 торной функции т = т(и) представ- ляет собой вектор, касательный к годографу этой функции. Выясним связь производной векторной функции с производными ее координат.
Для простоты ограничимся случаем, когда значения т(и) векторной функции представляют собой векторы трехмерного пространства. Пусть (х(и), у(и), г(и)) координаты векторной функции т(и). Очевидно, координаты разностного отношения (12.1) равны х(и -Р 2хи) — х(и) у(в -Р Ьв) — у(и) х(и -Р л.'ли) — х(в) лги лХлл лхв, Согласно замечанию п. 2 этого параграфа., координаты производной т'(и) равны производным х (и), у'(и), г'(и) координат функции т(и).
Поэтому вычисление производной векторной функции сводится к вычислению производных ее координат. 3 а м е ч а н и е 1. Векторная функция т(и) представляет собой закон движения материальной точки по годографу Л этой функции, если при этом переменную и рассматривать как время. Поэтому производная т (и) равна скорости движения точки по кривой А. 3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что правила дифференцирования различных произведений векторных функций (скалярного, векторного., смешанного) идентичны правилам дифференцирования произведений обычных функций.
Это вытекает из того, что координаты производной векторной функции равны производным координат самой функции и из выражения указанных произведений через коордллнаты сомножителей. лл л Эти соображения подтверждаются утверждением в и. 2 г 2 этой главы. вкктогньп функции 425 Приведем правила дифференцирования произведений векторных функций: (т(и)з(ллем = т (и)з(и) + т(и)з (и), ((т(и)з(и))1 = [т (и)з(и)) + (т(и)з (и)), (т(и)з(и)с(лл)1 = т (лл)з(и)с(и) + т(и)з'(и)с(и) + т(и)з(лл)с (и).
Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании векторных функций нескольких скалярных переменных. Так как в дальнейшем нами будут использоваться векторные функции двух скалярных переменных и и и, то мы ограничимся лишь этим случаем. Пусть векторная функция т = т(и, о) задана в некоторой окрестности С точки Мв(ив, ив) (рис. 12.2). Рассмотрим в плоскости ии некоторое направление, определяемое единичным вектором а с координатами сов лт, в1псл. Проведем через точку Мв ось 1, направление которой совпадает с направлени- С ем вектора а, возьмем на этой оси точки М М(и, и) и обозначим через 1 величину ми~ направленного отрезка МоМ указанной оси.
Координаты (и, и) точки М определяются равенствами и = ив+ усово, и = ив+ злпсл. На указанной оси 1 (функция т = т(и, п)., очевидно, является векторной функцией одной переменной величины Е Если эта функция имеепл в точке 1 = О ллроизводную по переменной 1, то эта производная называется производной по ллаправлен и ю 1 от функции т = т(и, и) в точке Мо(ио, оо) и обознача- дл ется символом —. дл 3 а м е ч а п и е 3. Если направление 1 совпадает с направлением координатной оси и (оси о) (на рис. 12.2 эти направления указаны штриховыми линиями), то соотвесствующая производная по направлению называется частной производной вектор- д Удт ной функции т(и, и) и обозначается символом — или ти ди (,ди дт или ти) . Если частная производная — определена во всех точ- ди ках некоторой окрестности точки М(и, и), то она представляет собой в этой окрестности векторную функцию.
Эта функция может иметь в свою очередь частную производную, например, по аргументу и. Естественно эту частную производную называть д л второй частной производной по аргументу и и обозначать диз 426 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. ~2 (или г ). Аналогично определяются другие частные производные различных порядков. Геометрический смысл производной по направлению выясняется из следующих рассуждений. Голо~рафом векторной функции т' = о(и, о) будет, вообще говоря, поверхность В (рис. 12.3).
Когда точка М(а, о) перемещается по оси 1, то конец Р вектора т(и, о) описывает на поверхности Я линию То которая может рассматриваться как годограф векторной функции одной пере- дг лленной 1. Поэтому производная — по направлению 1 представ- д1 ляет собой вектор, касательный к Ь в точке Ро. Если направление 1 совпадает с направлением координатной оси и, то при перемещении точки М по соответствующей оси, проходящей через Ме, конец вектора г(и, о) описывает на поверхности Я линию, называемую координатной линией и (па рис.
12.3 обозначена штриховой линией). Таким образом, Рис. 12.3 дг частная производная — представляет собой вектор, касательди дг вый к координатной линии и. Частная производная — представ- до ляет собой вектор, касательный к координатной линии о. 4. Дифференцируемость векторной функции. Будем называть и р и р а щ е н и е м (или и о л н ы м п р и р а щ еи и е м) векторной функции г = г(и, о) в точке М(и., о) (соответствующим приращениям Ьи и Ьо аргументов) следующее выражение: Ьг = т(и + Ьи, о + Ьо) — т(и, о). Векгпорпая функция г = г(и, о) называется д и ф ф е р е нц и р д е м о й в точке М(и, о), если ее полное прираи1ение в этой точке может быть представлено в виде Ьг = ахи + ЬЬо + пЬи +,ЗЬо, (12.2) 427 внкторньп функции где а и Ь некоторые не зависящие от Ьи и Ьп векторы, а са и 13 бесконечно малые при ахи — ~ О и сан — э О векторные функции ), равные нулю при Ьи = сап = О ~) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
