Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 85
Текст из файла (страница 85)
скорости изменения этих функ- ций). Это, естественно, наводит на мысль о том, что кривизна и кручение определяют кривую Ь, что действительно имеет место. Именно, справедливо следующее утверждение. ) УКан Френе франнузскнй математик С1801-1880). (12.26) следует, что в этом шсучае )э = ]Ь'], т. е. ])2] > О. Ясно, что в этом случае векторы г'(1), ро(1) и гн'(1) образуют тройку противоположного смысла по отноше- Ь' Сопринасаюи1 яся нию к тройке 1, и, Ь б плоскость Поворот бинор али 1=с'11) [рис.
12.8), и поэтому при возрасгнании 1 (и'Готт) < О, т. Е. Й2 < < О. Так как )э > О и ])3] = ]Й2], то )з = г" (1) Возрастание 1 — Й2. В случае, когда векторы Ь и п про- Поворота тивоположпо направле- нормали ны, рассуждая аналогично, легко убедиться, Рнс. 12.8 чтО )з < О, а Й2 > О. Так как ]))] = ]Й2], то и в этом случае )1 = — Й2. В случае, если 11 = О, равенство )) = — Й2 очевидно. Итак, мы доказали, что г' = Й2 ° (12.27) Из формул (12.26) и [12.27) вытекает нужное нам выражение для Ь 438 ОснОВы теОРии кРиВых и НОВеРхнОстРЙ Гл. 12 Пусть 1г1 (1) и й2(1) любые дифференцируемые функции, причем 1с1 (1) ) О.
Тогда сусцесспвует единственная с точностью до положения в пространстве кривая, для которой к1(1) и й2(1) являются соответственно кривизной и кручением. Мы не будем доказывать это утверждение. Отметим лишь, что доказательство основывается на теореме существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Так как, согласно сформулированному. утверждению, кривизна Й1(1) и кручение Й2(1) полностью опроделяют кривую., то систему уравнений к1 = сс1(1)~ й2 = к2(1) обычно называют натуральны ми (внутренними) у р а в- нениями кривой.
й 3. Некоторые сведения из теории поверхностей В гл. 5 мы познакомились с рядом важных сведений о поверхностях: нами было введено понятие поверхности, понятие регулярной и гладкой поверхности без особых точек, понятия касательной плоскости и нормали к поверхности.
В этом параграфе мы укажем еще ряд важных свойств регулярных поверхностей. 1. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на поверхности. Пусть Ф регулярная поверхность без особых точек, т(и, и) -- радиус-вектор этой поверхности. Как известно, в этом случае (т т„~ Р= О. Первой квадратичной формой 1 поверхности Ф называется выражение 2 (12.30) Наименование «квадратичная формаь связано с тем, что выражение 1 = с1гг = (гьс111+ гьс1и)2 = г~~ди + 2п„падисе+ г2с(и2 представляет собой квадратичную форму от дифференциалов ди и сси.
Первая квадрсппичная форма является положипсвльно определенной формой: она обращается в нуль только при ди = сЬ = = О, а для остальных значений ди и с(и положительна. Действительно, если ссг2 = О,. то с1г = гь ди + г, сси = О. Поэтому, если ди и дв одновременно не обращаются в нуль, то из равенства т„с(и+теди = О слсдУет, что и и ть коллинеаРны, т. е. ссг„т„) = = О, а этого не может быть, так как по условию [и г„) ф О. Для коэффициентов первой квадратичной формы используются 1 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии пОВБРхнОстей 439 обозначения (12.
31) С помощью этих обозначений выражение (12.30) для первой ква- дратичной формы может быть записано в следующем виде: 1 = де~ = Ес(гта+ 2г" г)ггдгг+ Сдгпг. (12.32) Итак, на регулярной поверхности Ф, определяемой радиусом- вектором т = т(и, и), определена первая квадратичная форма, 1 посредством соотаногиения (12.32). При этом коэффициенты указанной формы могут быть вычислены по формулам (12.31). С помощью первой квадратичной формы можно проводить измерения на поверхностпи: вычислять длины дуг линий и уалы мезгсду линиями, измерять площадгл областей. Пусть Л регулярная линия на гюверхности Ф, определяе- мая параметрическими уравнениями и = и(1), и = О(1)г 1О ( 1 < 11г (12.33) причем и(1) и и(1) дифференцируемые функции с непрерыв- ными производными.
Известно, что длина 1 дуги кривой А, определяемой радиу- сом-вектором г = г(и(1), о(1)), может быть найдена по формуле г, 1 = ) (т'(1)!сй (12.34) гв (см. формулу (11.21) вып. 1). Так как (гг(1)!Ж = г(и(1)г о(1)) дй = (сЬ (и, о)(, то из форму- лы (12.34) получаем гг ( = ) ~г'(М = ( ~ дт(и, и)( = ) г)дтг = ) Л (12.35) гв ), в (последние три интеграла в (12.35) представляют собой криво- линейные интегралы первого рода). Итак, зная первую квадра- тичную форму, можно вычислять с помощью (12.35) длины. ) Ясно, что задание и и е в виде функций (12.33) некоторого параметра г определяет на поверхности кривую, задаваемую векторной функцией т(и(г), е(1)). Вопрос о том, любая ли глаггкая линия Е на поверхности Ф люжот быть задана параметрическими уравнениями вида (12.33), решается утвердительно, например, следующим образом. Пусть х(1), у(1), х(1) "- параметрические уравнения Л.
Тогда и н е как функции параметра 1 могут быть определены из уравнений х(1) = х(и, е)., у(1) = у(в, в), х(1) = х(н, в). Решение вида (12.33) гарантируется условием (г„г„) ф. О, из которого следует: например, что х~ ™ ~ О. Последнее условие гарантирует разрешимость системы х(1) = х(н, гг), у(1) = у(н, в) относительно и и и. 440 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12 Перейдем теперь к измерениям углов на поверхности.
Пусть поверхность Ф задана посредством векторной функции т = т(н, н). Направление сги: с1н на поверхности Ф в ее точке Р определяется как направление вектора дт = тис1н + т,ели в этой точке ). Рассмотрим в точке Р два направления слп: сЬ и дн: дв. Угол ~р между этими направлениями определяется по известной из аналитической геометрии формуле для косинуса угла 1е между векторами сЬ' = тиди + тис1н и бт = т„бе + т,бн: сов ьэ = Ит' Йт~ ' Из этой формулы, учитывая соотношения (12.31), получаем для соэ оэ следующее выражение: Е би би -Р Р(йи би -Р сЬ би) -'с С бе би сов оэ = Ение -Е 2Гдиди -Л Сбег Ебие "; 2Рбиби-Р Сбие Угол между кривыми Лл и Ь2 на поверхности Ф, пересекающимися в точке Р, определяется как угол между направлениями касательных к Ьл и А2 в точке Р.
Отметим, что если кривая на поверхности определяется параметрическими уравнениями и = = н1г), и = п(г), то направление дн: с1н в точке этой кривой определяется вектором Йт = т Йи + т„сш = (т„н + т,н~)М. Итак, зная первую квадратичную форму, .можно с помощью (12.3б) вычислять углы между направлениями на поверхности. Вопрос об изъ1ерении площадей областей на поверхности был подробно рассмотрен нами в гл. 5. Напомним, что если ооласть П на поверхности определяется посредством задания параметров и и о в области й их изменения, то площадь и области П может бьггь вычислена по формуле (ель формулу (от.18)).
Таким образом, зная первую квадратичную форму, можно измерять площади областей на поверхности. Все факты, которые могут быть получены путем измерений на поверхности с помощью первой квадратичной формы относятся к так называемой внутренней геометрии поееряностей. Две различные поверхности могут иметь одну и ту же внутреншою геометрию. Простейшим примером таких поверхностей О ) Очевидно, этот вектор расположен в касательной плоскости в точке Р.
1 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии пОВБРхнОстей 441 может служить плоскость и параболический цилиндр. Заметим, что поверхности, имеющие одинакову.ю внутреншою геометрию, называются изометричиьиии. 2. Вторая квадратичная форма поверхности. Пусть Ф регулярная поверхность, определяемая радиусом-вектором т = = т(и, и), а п(и, и) единичный вектор нормали к этой поверхности, определяемый соотношением (т„т,] (т„т, ] (12.
37) ](т,1 „]] ~ТС вЂ” Е" Второй квадратичной формой П поверхности называется выражение П = — с]т г1п. (12.38) Так как дт п = О ~), то йс]т п) = О, т. е. с1йт п = — с]тг1п, и поэтому вторая квадратичная форма может быть также определена с помощью соотношения П = с] т . и. (12.39) Поскольку с]'т = ты„ди2 + 2т„,с]ис]и + т ди2, то, согласно (12.39), вторая форма может быть записана следуюшим образом: П = (т„п) Ии~ + 2(т,п) Ии ди + (т„,п) ди~.
(12.40) Для коэффициентов второй формы ис|юльзуются обозначения т п=А, т „п=М, тяп=Я. (1241) Обращаясь к выражению (12.37) для ть, получим с помощью (12.41) следующие формулы для коэффициентов второй формы: 1 ть тт М т т т, 1. те т т, (1242) , ТС -' Г ',/ГС - Р ',/йо - Ре ' 3. Классификация точек регулярной поверхности. Исследуем вопрос об отклонении поверхности от касательной плоскости в данной точке. Пусть Ф --- регулярная (дважды дифференцируемая) поверхпостгч т = т(и, и) - определяющий ее радиус;вектор, п(и., и) . единичный вектор нормали, Р(и, и) фиксированная точка поверхности, пр вектор п(и, и) в точке Р ), М точка поверхности, отвечающая значениям параметров и + Ьи, и+ Ьи (рис. 12.9).
~т..... и...л =,;-~=э:~*, -, --- ь" .... окзе, ]]ты„]] = ч'ЕС вЂ” Ез. ) Вектор от лежит в касательной плоскости к поверхности и поэтому Йт и=О. ) В дальнейшем нижний индекс Р вектора будет означать, что вектор берется в точке Р. 442 ОснОВы теОРии кРиВых и пОВеРхнОстей Гл. 12 Пусть ггг основание перпендикуляра, опущенного из М на касательную плоскость л в точке Р, 6. - величина, абсолютное значение которой равно расстоянию от М до л.
При этом знак 6 положителен, если направления векторов АМ и пр совпадают, и отрицателен в противоположном случае. Очевидно, 6 = г!Л.т пр„ (12.43) где Ьт = т1и + гли, и + глп) — т(и., и) = = РМ. Так как и и и - независимые Рис. 12.9 переменные, то можно считать Ьи = = сги, гли = сЬ, и поэтому, используя формулу Тейлора (см. формулу (12.4)), получим Ьт = (11т) р + -(г1 т) р + Ю2. (12.44) 2 В этом соотношении дифференциалы вычислены в точке Р, .а....,,...
имч...е..г, г,...,=, аз~ге. и,' формул (12.43) и (12.44) получаем для 6 следующее выражение: 6 = — и' тр. пр+ И2. пр. (12.45) 2 Так как йзтр пр представляет собой вторую квадратичную форму Пр, вычищенную в точке Р, а Яэпр = о(р2), то соотношение (12.45) может быть переписано следующим образом: 6 = — Пр + о(р ). (12.46) 2 Обращаясь к формуле (12.46), можно сделать предположение, что главное влияние на величину 6 оказывает первое сла- 1 гаемое -Пр и поэтому пространственное строение поверхности 2 вб.лизи регулярной точки определяется второй квадратичной формой в этой точке.
Следующие рассуждения подтверждшот это предположение. 1'. Вторая квадратичная форма Пр является зггакооггределеииой (ггпу — М2 > 0). В этом сл чае ' ) (Пр) > Ар~, А > О. Отсюда и из соотношения (12.46) вытекает, что величина 6, сохраняет определенный знак для всех достаточно лгалых значе- ) Убедиться в справедливости неравенства ~ИР~ > Аре можно, например, следуюгдим образом. Имеем: ~Ир~ = ~ь дне+ 2ЛХИидв+ Лггггг~~ = ~Ьсовг а+ -Р 2ЛХ сов осип а -г- йг вгпг а~рг, где сова = гги/р, сбп о = Игггр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
