Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Отсюда и из доказанного в этом пункте утверждения вытекает, что если в 432 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12 данной точке к кривой существует соприкасающаяся плоскость, то при любой параметризации кривой вектор т '(1) параллелен этой плоскости. Если рассматривать параметр ( как время, то тл(() будет вектором ускорения при дви,,,л женин точки по кривой А по закону т(г). Та)4У ким образом, при любом способе движения по г(1) г. кривой вектор ускорения в данной точке расположен в соприкасающейся плоскости кривой в этой точке.
Поэтому соприкасающуюся плоскость называют также плоскоспгью ускорений. Прямая., проходящая через точку Р крит(1) вой Л перпендикулярно касательной в этой точке, называется нормалью. Нормаль, рас- О положенная в соприкасающейся плоскости, Ряс.(2.7 называетсЯ главной ноРмалью кРивой, а нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, б и н о р м а л ь ю кривой.
Вывод уравнений этих прямых предоставляется читателю. 4. Кривизна кривой. Пусть Р.—. произвольная фиксированная точка регулярной кривой Л без особых точек и М вЂ” точка этой кривой, отличная от Р. Обозначим через ~р угол между касательными в точках Р и М, а через 1 длину дути РМ 1) (рис. 12.7). К р и в и з н о й й1 кривой Л в точке Р называется предел отношения (а1'1 при 1-+ О (т.
с. при М вЂ” 1 Р). Справедливо следующее утверждение. Регулярная, (дважды диффвренцируемая) кривая Л бев особы в точек имеет в кавюдой точке определенную кривизну й1. Перейдем к доказательству этого утверждения. Пусть точки Р и М кривой отвечают соответственно значениям й и 1+ Ь1 параметра. Вычислим яшар и 1. Так как кривая Л регулярна, то г'(1) ~ О в любой точке А, и поэтому ~(г'(1)г'(( + 211))~ ~г О)пг(1+~ХИ' И-(Х1 1= / /г'(т)/дт = !г'(т*)/Ь1 = /т'(()/Ы+ 6Ь(, (12.13) (12.14) где б -+ О при Ьг — ~ О. Отметим, что при преобразованиях выражения для 1 мы воспользовались формулой среднего значения для интеграла и непрерывностью функции т' (().
) Так как кривая ь регулярна, то любая ее дуга Р717 спрямляема. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРИВЫХ 433 Преобразуем выражение (12.13) для зшсо. По формуле Тей- лора г'(1 + Ьг) = т'Я + г' (1)1а1+ сеЬ1, се -э О при Ьг — 1 О. С помощью этой формулы выражение (12.13) для в)п р прини- мает следующий вид: в)п, = ""' '")'Д 14 )г'(1))з + "1 (12.15) где ф — 1 О и у — 1 О при с11 -+ О. Обращаясь к формулам (12.14) и (12.15) и используя при ~р ~ О тождество р р в1пр 1 сйпр при ~р = О отношение — равно нулю), получим ( р р )(г'(1)гв(1))! -Р,9 (12.16) ~г~(1))3 где )з' и 1т стремятся к нулю при 1а1 — + О. Так как ~р — э О при ст1, — 1 — э О, то,~ э 1 при й1 — э О.
Поэтому из соотношения (12.16) в1п р следует, что при Ы вЂ” 1 О, т. е. при М вЂ” 1 Р, предел — существует р и равен . Утверждение доказано. ~г~(1)~3 Итак, при условиях утверждения кривизна к1 существует и может быть найдена по формуле )[т'Яг" (1))~ ~ . (1))з (12.17) Й1 = ~тл(1)~. (12.18) О ) Если длина дуги является параметром, то из формулы ы.м / ~г'(т)~Ат в силу произвольности 1 и 111 следует, что ~т'(1)~ = 1 в любой точке кривой. Диффорепцируя соотношение и' Я = 1, получим 2т'ЯглЯ = О, т.
е. вектор тл(О ортогонален вектору и'Я. 3 а м е ч а и и е. Если в качестве параметра на кривой выб)зана длина дуги 1, так что г' = г(1), то )г'(1)~ = 1 и вектор г (1) ортогонален вектору г'(1) ) . В этом случае, очевидно, формула (12.17) примет следующий вид: 434 ОснОВы теОРии кРиВых и пОВеРхнОстей Гл. 12 5. Кручение кривой. Пусть Р произвольная фиксированная точка регулярной кривой Х без особых точек и М - точка этой кривой, отличная от Р.
Обозна |им через ср угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и М, а через 1 длину дуги РМ. Абсолютным кручением ]йа] кривой Л в точке Р называется предел отношения ~р,Ч при 1 — ~ О (т. е. При ЛХ вЂ” > Р). Справедливо следующее утверждение.. Регулярная [тризкдьс дифференцируемая) кривая Х без особью точек имеет в каждой точке, где кривизна отлична ога нуля, определенное абсолютное кручение. Перейдем к доказательству этого утверждения.
Пусть точки Р и ЛХ кривой Х отвечают соответственно значениям Х и 1+ лг параметра. Нормали к соприкасающимся плоскостям в Р и ЛХ определяются векторами [т'тв)р и [т'т")м По формуле Тейлора с у тетом равенства [т тп] = О получим [тате]м = [т тп]р + [[т тп])РХху+ свЬХ = = 1т'тп] р + [т'тю]РХХ1+ сеЫ, [12.19) где сх — ~ О при сзт — + О.
Для вычисления предела у/1 при 1 — > О нам понадобится значение синуса угла уз между нормалями к соприкасающимся плоскостям в точках Р и ЛХ. Для этой цели найдем модуль векторного произведения [т'тв]р и [т'тп~йс и произведение модулей этих векторов. С помощью (12.19) получим [[т т ] р [т т ]и] = [[т т ] р[[т т ) р + [т т ]р1з1+ свЬт)]. Отсюда, используя распределительное свойство векторного произведения и известную формулу [а[Ьс]] = Ь(ас) — с[аЬ) для двойного векторного произведения, найдем [[т т~1р[т тлеем] = тр[т тпт )РХх1+ХдЫ„ где 13 = [[т'тп] рсх] и поэтому 13 — ~ О при схг — > О.
Из последнего выражения для [[т'тв]р[т'тл]м] получаем следующую формулу: ][[т'тп]р[з'тп]м]] = ~]тгр]][т'титл')р]1з1+ уЫ, [12.20) где у — ~ О при сзг — ~ О. Путем аналогичных рассуждений получается также с.чедующая формула; ][т'тл]р] . ][т'тв]м]] = ~[т'те]р + ДХЛ1, [12.21) гдер — ~ОприЫ вЂ” ~О. ') Выражения [и'тл)р и [т'тл)м означыот, что векторное произведение [т т ) вычислено в точках Р и М соответственно.
43о НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРИВЫХ Из формул [12.20) и [12.21) получаем нужное нам выражение для в)сс ух 8[пср = [[с'[ [[г'глг"')[+ у)слС [г'г'"с' + дстс Отметим, что в этом выражении значения производных векторной функции т[с) вычислены в точке Р. Обращаясь сс выражению [12.14) для 1, используя только что полученную формулу для ешср и известный предел э 1 при вш сэ ср — э О, мы убедимся, что предел — при 1 — с О существует и равен эс [[г'с"гл')[ [с англ)2 Итак, в условиях утверждения абсолютное кручение ]Юг] существует и может быть найдено по формуле [12.22) Определим к р у ч е и и е йг кривой с помощью равенства [12.23) Докажекл, что кручение )сэ не зависипс от вьсборсс парссмепсризации кривой и поэтому является определессной геометрической сеарактерисспикой данной кривой Перейдем к другой параметризации кривой при помощи параметра т.
Обозначая дифференцирование по параметру т точкой, получим по правилу дифференцирования сложной функции следующие формулы: т =тт с с т = тт + (члены, линейно выражающиеся через т) с сс .. с2 т = тт + (члены, линейно выражающиеся через т и т)). ... ,з Из этих формул вытекшот соотношения [т т т ) = (ттт)тс, [т~т~~] = ~[тт~ тс . Таким образом, [г'глгл') [ггг) сг'г"[с Сгг Мьс убедились, что йг не зависит от выбора параметризации кривой.
сс ) Лбсолсотссая величина [Ес[ определена геометрически. Поэтому от параметризации может зависеть лишь знак выражения [г'гл)е 436 ОснОВы теОРии кРиВых и НОВеРхнОстРЙ Гл. !2 6. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. В п. 3 этого параграфа мы ввели понятия нормали и бинормали кривой. Эти прямые вместе с касательной являются ребрами трехгранного угла, называемого естественным трехг р ан н и ко м. Пусть параметром 1 на кривой Ь является длина дуги. Тогда г'(1) = 4 единичный вектор касательной к А. Выберем единичный вектор и главной нормали коллинеарным вектору гл(1) '), а в качестве единичного вектора бинормали возьмем вектор Ь = [4п].
(12.24) Таким образом, векторы 4, и, Ь образуют правую тройку, т. е. (впЬ) ) О. Векторы 4, п и Ь являются функциями длины дуги. Найдем разложения производных 4', и', Ь этих функций по векторам 4, п и Ь. Так как 4 = г'Я, то 4' = тпЯ. Поэтому вектор Й' коллинеарен п; 4 = <хп. Согласно замечанию и. 4 этого параграфа сх = й! (сх = ~4'~ = = ~гл(1)~ = й!), и поэтому 4 = й!п. (12.25) Обратимся теперь к вектору Ь. Так как этот вектор единичный, то вектор Ь ортогонален Ь.
Докажем, что вектор Ь ортогоналеп также и 4. Дифференцируя тождество (64) = О,. получим (Ь'4) + (64') = О. Так как, согласно (12.25), .(Ы') = йх(Ьп) = О, то (Ь'4) = О, а это и означает, что вектор 6' ортогонален 4. Из проведенных рассуждений вытекает, что вектор Ь~ коллинеарен п, т. е Ь' = !хи. (12. 26) Докажем, что !х = — йз. Пусть аз --угол между соприкасающимися плоскостями кривой в точках, отвечающих значениям параметра 1 и 1+ Ы. Очевидно, угол между векторами Ь(1) и Ь(1+ ьх1) также равен со, поскольку вектор Ь ортогонален соприкасающейся плоскости.
Поэтому, учитывая, что 1шх — = йз, ээ и!-эо ~х! получим !Ь'|= 1пп ( ) () = 1пп ~' =/й /. лье Ж и!- 0 Л! Следовательно, так как )Д = )Ь |, справедливо соотношение ф( = = )йэ). Пусть векторы Ь' и п одинаково направлены. Из формулы ' ) Согласно замечанию п. 4 этого параграфа вектор гл (!) ортогонален воктору й и лежит в соприкасающейся плоскости кривой. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРИВЫХ 437 главнои при возрастании 1 Ь' = — Й2и. (12.28) Найдем теперь выражение для п'. Используя правило диффе- ренцирования векторного произведения и формулы (12.25) и (12.28), получим п' = [Ы]' = [Ь'1] + [ЬФ'] = — Й2[п1] + )с1 [Ьп] = — Й11 + Й2Ь.
Объединяя в одну таблицу формулы (12.25), (12.28) и только что найденное выражение для п', получим следующие формулы, называемые формулами Ф рене ); 1 =Й1и, '= — Й 1+Й Ь, (12. 29) Ь' = — Йзп. Формулы Френе называют также основными формулами теории кривых. Из формул Френе следует, что если известны кривизна Й1 и кручение Й2 кривой Х, то могут быть найдены производные век- торных функций 1, и и Ь (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
