Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 80
Текст из файла (страница 80)
1 ) 1Лбо для каждого влемента хе = — ач имеющего норму, равную еди- Ы нице, справедливо неравенство ((Ахе, хе)! < и. ГЛ. 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Из последнего неравенства следует, что для произвольных элементов х и у пространства Н, для которых ~~х~~ = ~~у~~ = 1, ~(Ах, у)~ < р. (11.51) Положив в (11.51) у = Ах/ ~~Ах~~, получим, что для всех элементов х, для которых )(х)) = 1, справедливо неравенство (Ах, Ах)сс ))Ах(( < р, а стало быть, и неравенство ))Ах)) < р. Тем самым ))А)! < р.
Теорема доказана. 3. Понятие вполне непрерывного оператора. Определение. Действующий из Н в Н оператор А называется вполне непрерьсвным, еслионотобраэюаеспкаэн.- дое ограничеспсое (по норме) мссоэссество элементов Н в компактное множество. Иными словами, оператор А называется вполне непрерывным, если для любой последовательности (х„) элементов Н такой, что ~~хо~~ < С = сопз$, найдется подпоследовательность (х„„) (й = 1, 2, ... ) такая, что соответствующая подпоследовательность (Ах„,) сходится по норме Н.
Напомним, что линейный оператор А является непрерывным тогда и только тогда, когда он является ограниченным, т. е. тогда и только тогда, когда он всякое ограниченное (по норме Н) множество отображает снова в ограниченное. Поскольку компактное множество является ограниченным ), то всякий вполне непрерывный оператор является непрерывным. К этому следует добавить, что не всякий непрерывный линейный оператор является вполне непрерывным. Например, тождественный оператор Е вида Ех = х является непрерывным, но не является впоане непрерывным: достаточно рассмотреть отображение ограниченного множества, пе являющегося компактным. Докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть А действующий из Н в Н линейньгй вполне непрерывный оператор. Пусть далее (х„) произвольная последовательссость элементов Н, слабо сходящаяся, к элементу хв и такая, чгао ((хв!) = 1 для всех номеров п. Тогда последовательность (Ах„) сходится к эляменсау Ахе по норме Н. Доказательство. Так как оператор А является линейным и вполне непрерывным ), то, сосласно предыдущему пункту, существует сопряженный оператор А* и для каждого элемента х„и произвольного элемента у справедливо равенство (Ахп, у) = (х„, А*у).
Из этого равенства и из слабой сходимости (х„) к хе получаем, что при п — 1 оо для любого элемента у ') См. п. 3 ~ Ь ) А стало быть, н непрерывным. ь 4 ВпОлне непвегыВные сАЫОсОпгяженные ОпеРАтОРы 413 пространства Н (Ахп, у) — ~ [хо, А*у) = (Ахо, у), аэто означает, что последовательность (х„) слабо сходится к элементу Ахо. Докажем теперь, что последовательность (Ах„) сходится к Ахо и по норме Н. Предположим, что (Ахп) не сходится к Ахо по норме Н.
Тогда найдется е .г 0 такое, что для некоторой подпоследовательности элементов (хр,л) (Ь = 1, 2.....) будет справедливо неравенство ]]Ах, — Ахо]] ) е (11.51') В силу того, что оператор А является вполне непрерывным и в силу условия ]]х„]] = 1 из последовательности (х,) можно выделить подпоследовательность (х„,) (р = 1, 2, ... ) такую, что соответствующая по>дпоследовательность (Ах,) сходится по норме Н. Так как в силу доказанного выше подпоследовательность (Ах„„) слабо сходится к элементу Ахо, то эта подпоследовательность и по норме Н сходится также к элементу Ахо. Но этому противоречит неравенство (11.51'), справедливое для всех номеров ть (и тем более для всех номеров пр).
Полученное противоречие доказывает лемму. Замечание. Доказанная лемма является следствием более общего утверждения: действующий иэ Н в Н оператор А является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда он любую слабо сходяийуюся последовал>ьельность (хп) элемен>пов Н отображает в последовагаельность (Ах„), сходящуюся по норме Н. Доказательство этого утверждения мы приводить пе будем. Убедимся теперь в том, что интегральный оператор А, определяемый равенством (11.40) [с непрерывным в квадрате [а < л < Ь] х [а < э < Ь] ядром К[л, э)) является вполне непрерывным оператором. Пусть (х„(л)) произвольная последовательность элементов Л [а, Ь], ограниченная по норме Л [а, Ь], т. е.
такая, что для всех номеров и ]]х„(л)]] < С. [11 52) Достаточно доказать, что соответствующая последовательность 4>упкций уп(ь) = Ах„(ь) является равномерно ограниченной и равностепенпо непрерывной на [а, Ь]. [Тогда из этой последовательности., в силу теоремы Лрцела 1.12, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на [а, Ь] и тем более по норме 1>[а, Ь]). Из (11.52) и из неравенства Коши — Буняковского вытекает неравенство ь Гь 1 ь/а ]у„(ь)] = 3'К(~, э)х„(в) дв < ~Г к'(1., э) дв~ ]]х„]], а а ГЛ.
11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО доказывающее равномерную ограниченность последовательности (у„(1)) на [а, Ь] ') . Далее заметим, что из непрерывности и вытекающей из нее равномерной непрерывности ядра К (г, з) на квадрате [о, < 1 < 6] х х [а < з < 5] следует, что для произвольного е > О найдется б > О такое,что [тт (11, В) К(12, З)[ < (11. 53) при всех з из [а, 6] и всех 11 и 12 из [а, 5] таких, что [11 — Х2[ < б. Из (11.52) и (11.53) и из неравенства Коши-Буняковского получим,что Ь ]ув(12) — у (11) [ < [']Л (12, з) — К(11, з)] ]х (з) [ дз < Ь /ь .,*--.— /! *1 1!за С с--ь 1 1 1'1 з =' а при вСЕх 11 и 12 иэ [а, 5] таких, чтО ]11 — 12[ < б.
Последнее неравенство доказывает равностепенную непрерывность последовательности 1у„(1)) на [а, 5] и в силу сказанного выше завершает доказательство того, что оператор (11.40) является вполне непрерывным. 4. Существование собственных значений у линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора. Определение, Вещестоенное число Л называется с о бственным значением оператора А, если сущес1пвует ненулевой элемент х пространсн1ва Н, удовлетворяющпй условию Ах = Лх.
Нри этом указанный элеменгп х называется с о бе т в е инымм эл ем е н гном оператора А, опте 1ан1щим собственному значению Л. Если оператор А является линейным, то из условия, что х является собственным элементом А, отвечающим собственному значению Л, вытекает, что, каково бы ни было отличное от нуля вещественное число о, элемент стх также является собственным элементом А, отвечающим собственному значению Л.
Поэтому все собственные элементы линейного оператора А естественно считать н о р м и р о в а н н ы ы и, т. е, удовлетворяющими усло- ви1О ]]Х]] = 1. Важность понятия собственных элементов заключается в том, что действие па них оператора сводится к умножению па некоторую постоянную Л. ') Достаточно заметить, что ядро ТГ(1, в) непрерывно на квадрате [о, ( ( 1 < Ь) х [а < в < Ь). 1 4 ВпОлне непрерыВные слыосОпРЯженные ОперлтОРы 415 Не у каждого оператора, А существуют собственные значения ). Докажем шгедующую основную теорему. Теорема 11.12. У всякого действующего из Н в Н линейного самосопрязюениого вполне непрерывного оператора А существуеп! хотя бь! одно собственное значение Л, удовлетворязощее условии! ]Л] = ]]А]]. Среди всех собственных значений, оператора А зто собствеггнос значение является наибольшим по модулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через М и т соответственно точнук! верхнюю и точную нижни!ю грани скалярного произведения [Ах, х) на множестве всех элементов х пространства Н, удовлетворяюп1их условию ]]х]] = 1, т. е. положим М = еч!р [Ах, х), т, = )пГ [Ах! х). [11.54) ]] ]]= хен хен Ради определенности будем рассматривать случай ]М] > ]гп] (случай ]М] < ]т] рассматривается совершенно аналогично). Так как ]М] > ]т], то М > О. Докажем, что число Л = М является собственным зна гением оператора А.
По определению точной верхней грани найдется последовательность 1хп) элементов Н такаЯ, что (Ах„, х„) — У Л и ]]х„]] = = 1. Так как последовательность 1хп) ограничена [по парме Н), то в силу теоремы о слабой компактности любого ограниченного [по норме Н) бесконечного киножества найдется подпоследовательность последовательности 1хгг), слабо сходЯщаЯсЯ к некоторому элементу хо пространства Н. Эту подпоследовательпость ') Например, интегральный оператор [11.40) при а = О, Ь = г, К[х, о) = 2 "зш [и + Цх в!в па не имеет ни одного собственного значения. =! В самом деле, пусть <р[х) — произвольный элемент А~[0, я], для которого ) К[х, з)ог[з) г1з = Л!Р[х), и пусть 1Ьо) — коэффициенты Фурье в разложео ( ъ'2 ьш пх ! нии Зг[х) по пол н о й ортонормированной на [О, я] системе ) Если Л = О, то из обобщенного равенства Парсеваля ~ 2 Ь в!в [и-ЬЦх = =! = О, откуда следует, что все Ь„= 0 и х[х) = О.
Если же Л Р' О, то из равенства ] К[х, з)!о[в) г1о = Луг(х) и из свойств ядра К[х, в), обеспечивао ющик равномерную сходимость ряда Фурье функции Зг[х), мы получим, что 2 2 "1ы в!и [и Ч- Цх = Л з Ь сбппх. Так как Л ~ О, то из последнего =1 =! равенства вытекает, что все Ь„= 0 и !о[х) = О. 416 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. М мы перенумеруем заново, т. е. снова обозначим ее через (х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
