Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 78
Текст из файла (страница 78)
в п. 7 8 4 гл. 8. 462 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. П Доказательство этой теоремы отличается от доказательства теоремы 11.6 только тем, что во всех рассуждениях вместо элементов пространства А~ следует брать элементы Н. Теорема Рисса — Фишера позволяет установить следующую фундаментальную теорему.
Теорема 11.8. Все гильбертови пространства изоморфны друг другу. Достаточно доказать, что всякое гильбертово пространство Н изоморфно пространству 1, а для этого достаточно повторить доказательство теоремы 11.7, заменяя во всех рассуждениях элементы А~ элементами Н. Из теоремы 11.8 сразу же вытекают следующие у т в с р жд е н и я.
1'. Любое ограниченное по норме Н множество, содержащее бесконечное число элементов Н, является слабо компактным. 2'. Для каждого линейного непрерывного функционала 1(Х), определенного на элементах Н гильбертооа пространства Н, существует один и только один элемент У эспого пространства такой, что для всех элементов Х пространства Н справедлиоо равенсгаво 1(Х) = (Х, У), причем ~~1~~ = впр = ~~У~~. Замечание.
Можно доказать, что всякое слабо компактное множество М бесконечного числа элементов Н является ограниченным (по норме Н). Иными словами, можно доказать, что ограниченность содержащего бесконечное число .элемеягпов подмножества ЛХ пространства Н является необходимым и достаточным условием слабой компакптости этого подмноэк.ества. 2. Эквивалентность понятий полноты и замкнутости ортонормированной системы в гильбертовом пространстве. Согласно теореме 10.7 в любом свклидовом пространстве (а стало быть, и в любом гильбертовом пространстве) всякая замкнутая ортонормированная система является полной. Сейчас мы докажем, что в гильбертовом пространстве справедливо и обратное утверждение.
Теорема 11.0. Всякая полная орпюнормированная система элементов произвольного гильбертова пространства является замкнупой. Доказательство. Пусть (Ф„) произвольная полная ортонормированная система элементов Н, а Ф любой элемент Н. Достаточно доказать, что и-я частичная сумма о'„ряда Фурье элемента Ф по системе (Ф„) сходится к этому элементу Ф по норме Н. *з 3 ЛВСТРЛКТНОЕ ГИЛЬВНРТОВО ПРОСТРЛНСТВО 403 Пусть сь = (Ф, Фь), Яп = 'у сьФы Так как ряд 2 с~~ скок=1 1=1 дится ) и так как (в силу аксиом скалярного произведения и ортонормированности системы (Ф )) при любом т ) и гп Ш т гп '0Я вЂ” оп)) = ~~1 сьфь = ,'1 сифы ~~1 сьфь = ~~> сь, ь=па1 Ь=п-~-1 в=о+1 й=па1 то последовательность 15п) является фундаментальной. Но тогда в силу полноты пространства Н найдется элемент этого пространства Фв такой, что ))Яп — Фв)) — + 0 при и — > оо.
(11.31) Остается доказать, что Фв = Ф. Для этого достаточно доказать, что элементы Ф и Фв имеют одинаковые коэффициенты Фурье г) . Фиксируем произвольный номер й. При любом п ) й в силу ортонормированности системы (Фп) и аксиом скалярного произведения и и (Яп, Фь) = ~ с1Ф1, Фь = ~ с1(Ф1, Фь) = сы (11.32) 1=1 1=-1 С другой стороны., так как на основании неравенства Коши— Буняковского ~(Н ., Фа) — (Фо, Фа)! =!(Яп — Фо, Ф1) ~ К то из (11.31) вытекает, что (Я,м Фь) э (Фв, Фь) при и -у оо. Из этого соотношения и из (11.32) получим, что (Фв, Фь) = сь = = (Ф, Фв), Теорема доказана.
Следстпвие. В гильбергповом пространстве Н полнота ортонормированной системы, зкниваленп1на ее замкнйтости. 3 а м е ч а н и е. Для неполного евклидова пространства теорема 11.9, вообще говоря, несправедлива. ы ) Сходимость этого ряда вытекает, например, из неравенства Бесселя (см. теорему 10,10).
е) В самом деле, совпш1ение всех коэффициентов Фурье элементов Ф и Фо означало бы, что элемент Ф вЂ” Фе ортогонален ко всем Ф и, стало быть, в силу полноты системы Ф„является н у л е в ы и. 404 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ГЛ. П Этот факт мы продемонстрируем следующим примером ) . Рассмотрим евклидово пространство Св всех н е п р е р ы вн ы х на сегменте [ — л, и] функций «(х) со скалярным произведением, определяемым равенством («, н) = [ «(х)й(х) дх.
я Конечно, это пространство не является полным 2) (а стало быть, и гильбертовым). Построим в этом пространстве полпуго ортонормированную систему элементов, не являюшуюся замкнутой. Процесс построения этой системы проведем в два шага. 1'. Сначала докажем, что в гильбертовом пространстве 1 [ —.г, л] существует полная ортонормироваппая система сэо, грм 2 СЭ2, ..., Ьзп, ... таКаЯ, ЧтО ФУНКЦИЯ ~РЕ(Х) ЯВЛЯЕТСЯ Р а З Р Ы В- н о й на сегменте [ — л, и], а все функции оэп(х), п = 1, 2, ..., являются н е п р е р ы в н ы и и на этом сегменте.
Положим — при 0<х<гг, 1 Фо(х) = згя 0 ггри — п<х<0,. (11.33) Ф2„(х) = '"' (п=1,2, ...), ьг2 Ф2„1(Х) = тГ2 сйп пл при — я <х< 0, тгя 0 при 0<х<я (и=1,2, ...). Сразу же заметим, что функция Фо(х) является р а з р ы ни о й на сегменте [ — згг и], а все остальные функции Фп(х) (а = = 1, 2, ...) непрерывны на этом сегменте. Кроме того, легко проверить, что функция Фо(х) ортогональна па сегменте [ — пг и] каждой из функций Ф„(т) (при всех и = 1, 2, ... ). Убедимся в том, что система 1Фо(х)) (и = О, 1, 2, ... ) хотя и не является ортонормированпой в «[ — и, и] системой, тем не менее является полной в том смысле,. что любой элемент «(х) ' ) Этот пример нам сообщил Ш. А. Алимов.
ю ) Достаточно фиксировать какую-либо кусочно-непрерывную (но не строго непрерывную) на сегменте [ — я, я] функцию «е(к) и заметить, что (в силу следствия 2 из п. 3 3 3 гл. 10) последовательность частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции «е(л) сходится к этой функции по норме Ь [ — я, я].
На основании полноты пространства б [ — я, .г] указанэ 2 ная последовательность частичных сумм является фундаментальной. Хотя каждый элемент указанной последовательности представляет собой непрерывную на сегменте [ — я, л] функцию, предел ее в Ь [ — гг, я] — функпия «е(я) . - не принадлежит С". 405 ЛБСТРЛКТНОЕ ГИЛЬБВРТОВО ПРОСТРЛНСТВО пространства Ь [ — я, л], ортогональный ко всем Ф„(х) (при и = = О, 1, 2, ... ), эквивалентен тождественному нулю.
В самом деле, пусть Г'(х) любой элемент пространства Ь2[ — я,л], ортогональный ко всем Ф„(х) (и = О, 1, 2, ...). Из ортогональности 1 (х) ко всем элементам (Ф2„1(х)) (и = 1, 2, ... ) вытекает, что на сегменте [ — л, О] функция 1(х) Г ъ'2ашпх 1 ортогональна системе ' 1 (и = 1, 2, ... ), и, стало быть, в силу полноты этой системы на [ — л, О] (установленной в замечании 1 п. 2 2 3 гл. 10) функция 1(х) эквивалентна нулю на [ — я, О]. В таком случае из ортогональности г(х) всем элементам Ф2„(х) (и = О, 1, 2, ...
) вытекает, что на сегменте [О, я] функция Г'(х) ортогональна системе —, ' (и = 1, 2, ... ), и в 1 чу соа пх силу полноты указанной системы на сегменте [О, л] (установленной в том же самом замечании 1 п. 2 2' 3 гл. 10) функция г" (х) эквивалентна нулю и на сегменте [О, х]. Таким образом, функция 1"(х) эквивалентна нулю на всем сегменте [ — я, я].
Итак. система (Ф„(х)) (и = О, 1, 2, ... ) является полной в Т~[ — х, гг]. Применяя процесс ортогопализации к системе Ф1, Ф2, Фз....., Фо, ..., мы получим ортогопалыгую систему. Фо, Фг, Ф2, ..., Ф„, ... Остается нормировать эту последнюю систему, т. е. положить ) гоо = Фо, ~р„= ' (при и = 1, 2, ...).
]74 Мы получим полную ортонормированную систему (1о„) (и = = О, 1, 2, ... ), нулевой элемент которой 1оо(х) = Фо(х) определяется формулой (11.33) и представляет собой разрывную на сегменте [ — я, я] функцию, а все остальные элементы которой, будучи линейными комбинациями непрерывных функций, являются непрерывными на [ — л, л].
2'. Возвратимся теперь к рассмотрению пространства С всех непрерывных на сегменте [ — я, л] функций и докажем, что система грг, ~р2, ...,~р„, ... является в этом пространстве полной, но не является в С замкнутой. Сначала убедимся в том, что система 1гдо) (и = 1, 2, ... ) полна в С . Пусть Ф ггроизвольный элемент Со, ортогональный ко всем ~р„при и = 1, 2, ..., т. е. такой, что (Ф,~р„)=0 при и=1,2,... ') Мы учитываем, что ]]Фо]] = 1.
4ОО ГЛ. 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО Тогда функция У = Ф вЂ” Озо(Ф, уоо) (11. 35) является элементом б [ — я, л] и удовлетворяет условиям 2 11 (2', Ози) = О при всех и = О, 1, 2, ... (11 36) В силу полноты системы (еза) (и = О, 1., 2, ... ) в т'2[ — я, и] из (11.36) вытекает, что 1' — нулевой элемент., а тогда из (11.35) и из того, что функция Ф(х) непрерывна, а функция озо(х) разрывна на [ — гг, л], вытекает, что (Ф, ого) = О. Последнее равенство в соединении с (11.34) означает, что Ф нулевой элемент, т. е. доказывает полноту в Со системы (ез„) (и = 1, '2, ...
). Докажем теперь, что система (оз ) (и = 1, 2, ... ) не является замкнутой в Со. Пусть Р.— полипом вида Р = 2 аьуоь с соь=г вершенно произвольными коэффициентами аь (а = 1, 2, ..., гг). В силу ортонормированности системы (гои) (и = О., 1, 2, ... ) и в силу аксиом скалярного произведения В' — г1 = ГГе — г е — г~ = гг1М'+ЮГ а' ОГ ЗГ) Так как множество непрерывных функций всюду полно в Ь2[ — и, г], то для элемента ого найдется непрерывная функция 1(х) такая, что ]]~ о — П < 1/2. (11.38) Но из (11.37) и (11.38) вытекает, что ]]г' — Р]] ) 1,12 для совершенно произвольного полинома Р (с любыми коэффициентами), а это и означает, что элемент 1" пространства Со нельзя приблизить по норме Т [ — я, я] линейной комбинацией элементов (озл) (и = 1, 2, ...
), т. е. означает, что система (сз„) (и = 1, 2, ... ) не является замкнутой в Со. 3 4. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве 1. Понятие линейного непрерывного оператора. Пусть Н ".произвольное гильбертово пространство. Ради удобства будем обозначать элементы этого пространства малыми латинскими буквами х, у, з, ... Если известно правило, посредством которого каждому элементу х пространства Н ставится в соответствие некоторый ') В самом деле, при п = 1, 2, ..
(11.36) сразу вытекает из (11,34) и из ортогональности его ко всем л„(в = 1, 2, ... ). Равенство (1, ла) = О вытекает из (11.36), из аксиом скалярного произведения и из того, что (1ее, еле) = 1. *г 4 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 407 элемент этого пространства у, то говорят, что в Н определен оператор А, действующий из Н в Н, и пишут, что у = Ах. Определение 1. Оператор А называется л и и е й н ы м, если для любых элементов х и у пространства Н и для любых вещественных чисел о а 11 справедливо равенство А(ох+(1у) = сг Ах+ р" Ау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
