Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 73
Текст из файла (страница 73)
10 понятий замкнутости и полноты, и доказываем знаменитую теорему Рисса. Фишера, согласно которой любая последовательность чисел, ряд из квадратов которых сходится, представляет собой последовательность коэффициентов Фурье некоторого элемента гильбертова пространства в разложении по наперед заданной ортонормированной системе элементов этого пространства. В последнем параграфе доказывается существование собственных значений у так называемых вполне непрерывных сам о с о и р я ж е н н ы х о и с р а т о р о в,. действующих в гильбсртовом пространстве.
й 1. Пространство 1 1. Понятие пространства 1~. Рассмотрим множество, элементами которого являются всевозможные последовательности вещественных чисел (хм тэ, ..., х„, ... ) такие, что ряд, составленный из квадратов этих чисел (11.1) ь=~ является сходящимся. Элементы такого множества будем обозначать (как векторы) полужирными латинскими буквами: ПРОСТРЛНСТВО Р 379 ))х)! = фх, х) = ~~! х2 й=1 (11.2) ) Сходимость ряда 2 (хь -Ь у!.) сразу вытекает из неравенства (хь -Ь ь=! -Ь уь) ( 2х! -Ь уь и из сходимости рядов 2 хь и 2 у~!.
ь †! ) Формулировку аксиом линейного пространства можно найти в л!обои курсе линейной алгебры. з! ) Скодимость указанного ряда вытекает из неравенства ~ха уз ~ ( 1 ( — (х„. Ь Уье) и из схоДимости РЯДов 2 х! н 2 Р!. 2 ь=! ! — ! Х = (Х1, Х2, ..., Х„, ...), У = (У1, д2! ..., Уо, ... ) И т. Д. ЧИС- ла х1, х2, ..., х„, ... будем называть координатами элемента Х = (Х1! Х2 ° ° ° ! Хп! ° ° ° ) Определим операции шюжения элементов и умножения элементов на вещественные числа. С у м м о й двух элементов х = (х1, хг, ..., х„, ...) и р = (91, у2, ..., у„, ...) называется элемент и = (х1+ у!! х2+у2, ..., х„+у„, ...
) ) . Этот элемент мы будем обозначать символом х = х+ у. П р о и з в е д е н и е м элемента х = (х1! х2, ..., х„, ...) на вещественное ч и с л о Л назовем элемент, обозначаемый символом Лх или хЛ и Равный (ЛХ1, ЛХ2, ..., ЛХьн ... ). ЛЕгкО пРОвЕРить, чтО ОпРЕДЕ- ленное нами множество является л и н е й н ы м и р о с т р а нс т в о м, т. е. проверить выполнение всех аксиом, относящихся к сложению элементов и к умножению элементов на вещественные числа ) . Введем теперь в указанном множестве скалярное произведение двух любых элементов х = (х1! х2, ..., х„, ...
) и у = = (У1, Уа, ..., Уо, ... ), опРеДелив его как сУммУ РЯДа ) ;> ,'*и а=1 Итак, мы полагаем (х, у) = ~ хьды Легко проверить выполнех=1 ние всех четырех аксиом скалярного произведения. (Эти аксиомы можно найти в 9 1 гл. 10, а проверку их справедливости для изучаемого нами пространства предоставляем читателю). Таким образом, введенное нами множество является е в клидовым пространством. Это множество мы, следуя установившейся традиции, обозначим символом 12.
Как и во всяком евклидовом пространстве! введем в 12 норму каждого элемента х = (х1, х2, ..., х„, ... ), положив ее равной 380 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. 11 (Так как ряд (11.1) является сходящимся, то такое определение имеет смысл). Как обычно, назовем два элемента 1 ортогональными, если 2 скалярное произведение этих элементов равно нулю.
Напоминал, что ортонор миров анной системой в произвольном евклидовом пространстве называется последовательность элементов 1еь) этого пространства, удовлетворяющая двум требованиям: 1) любые два элемента этой пощгедовательности ортогональны; 2) норма каждого элемента равна единице.
Докажем, что в пространстве 12 существует з а м к н у т а я (а стало быть, согласно теореме 10.7, и п о л н а я) ортонориированная система ). Убедимся, что такой системой является последовательность элементов е1=(1,0,0,...,0,...), е2=(0,1,0, ...,О, ...), ез=(О,О;1, О, ), (11.3) 1пп 2 хьеь — х = О. в-эоо Ь=1 (11.4) Но из определения нормы (11.2)., из ортонормированности системы ~еь) и из свойств скалярного произведения вытекает, ) Определения полноты и замкнутости ортонормированной системы см.
в 1 2 гл. 10. ) Ибо тогда любой элемент х пространства 1~ можно сколь угодно точно приблизить по норме 1з частичными суммами указанного ряда Фурье. То, что эта система является ортонормировапной, очевидно (норма, (11.2) для каждого элемента еь равна единице, скалярное произведение любых двух элементов представляет собой бесконечную сумму произведений, каждое из которых равно нулю). Для доказательства замкнутости ортонормированной системы (11.3) достаточно доказать, что для любого, элемента х = = (х1, х2, ..., х„, ...
) пространства 1 ряд Фурье этого элел1ента по системе (11.3) сходится к этому элементу по норме пространства 1 ) . Так как коэффициенты Фурье (х, еь) элемента х совпадают с координатами хь этого элемента, то и-я частичная сумма ряда п Фурье элемента х равна 2 хьеь и нам достаточно доказать, что а=1 пгостглнство р 381 что в 2 а в хъе! — х = ~~с хсес — х, ~с хъес — х в=с я=! я=! а Л а = ~ хе~ — 2 ~ ~хе(еы х) + )(х)! = )(х(! — ~ хе~ —— !с=! Ь=! ь=! оо ъ х — ~с х„= А=! Сс.=! Й=п;~-! так что соотношение (11.4) вытекает из сходимости ряда (11.1). 2.
Общий вид линейного функционала в 1~. Мы будем рассматривать функции, аргу.ментами которых служат элементы 1, а значениями -" вещественные числа. Такого рода функ- 2 ции принято называть ф у н к ц и о н а л а м и (опрсделенныьси в пространстве 1г). Точнее, нашей полью является детальное изучение простейшего функционала, определенного в пространстве 1, так называемого ли ней ного функционасса.
Определение 1. Функционал 1!х), оссределепный в пространсспве1~, называется л и сс е й сс ы м, если для любьсх элемептов х и у прострассства 1~ и любьсх веществесснъсх чисел о и д справедливо равенсгаво 11ох + Ду) = сс11х) + Д(у). Пусть хв --- произвольный элемент пространства 1~. С целью геометризации терминологии мы часто будем называть этот элемент хв т о ч к о й пространства 1 . Определение е. Произвольньсй функционал 1!х) с определенный в пространстве 1, нахывается, н,епрерывным в т о ч к е хв тсространства 1, если для любой последовательности элеменпсов 1х„) пространства 1 ., сходящейся по норме г~соспсранства 1 к элеменпсу хв, числовая последовательность 2 1 х„) сходится к 1!хв). Определение 3. Функционал 1!х) называется непрер ьс в сс ы м, если он пепреръсвесс в каэссдой точке х пространства 1 .
Сразу же заметим, что в случае линейного функционала 1(х) непрерывность хотя, бы, в одной точке хв влечет за со!бой непрерывность в казюдой точке х пространства 1з. В самом деле, пусть линейный функционал непрерывен в точке хв и х-- произвольная точка пространства 1~. Обозначим символом (х„) произвольную последовательность э'сементов 1, сходящуюся по 382 ГЛ. П ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО норме 12 к х. Тогда последовательность (хв + хв — х) сходится по норме 12 к хв и из непрерывности функционала в точке хв следует, что 1(хв + хв — х) -+ 1(хв) при и — у оо. (11.5) Но из линейности функционала вытекает, что 1(хо+ха — х) = = 1(ха) + 1(хв) — l(х). Из этого равенства и из (11.5) получим, что 1(хв) у 1(х) при и — у оо, что и означает непрерывность функционала в точке х.
Определение ~. Функционал 1(х) называется о г р а н ич е н и ы м., если сугцествует постоянная С такая, что для всех элементов х простора.нство, 1 справедливо неравенство )/(х)( < Свхв. (П.б) Теорема 11.1. Для того чтобы линейный функционал 1(х) был непрерывным, необтодамо и досгпаточно, чтобы он был ограниченным. Доказательство. 1. Необходимость.
Пустьлинейный фу.пкционал 1(х) непрерывен. Предположим, что постоянной С, обеспечивающей неравенство (11.6)., не существует. Тогда найдется последовательность ненулевых элементов х„) такая, что ~1(х„)~ > пг'Ох„'О. Положим у„= х„. Так как 1 н'гх 'г ~Оу„— ОО = ~Оу„~~ = — — + 0 при и — у оо, то в силу непрерывности 1 функционала 1(у„) — 1 1(0) = 0 при и — + со, а эго противоречит 1 неравенству 1(у„) = 1(х ) > и. Необходимость доказана.
и 'О'х„О 2. Достаточность. Пусть линейный функционал 1(х) ограничен, т. е. существует постоянная С такая, что для всех элементов х справедливо неравенство (11.6). Пусть далее хв произвольная точка 1, ~хсзр прогг1вольная последовательность 2 элементов 12, сходящаяся по норме 1 к хе. Тогда в силу линейности функционала 1(хн) — 1(хв) = 1(х„— хв), так что па основании неравенства, (11.6) (1(хв) — l(хо)( = )1(ха — хв)! ( С Ох — хОО.
11з последнего неравенства следует. что 1(х„) — у 1(хв) при и — + сс. Достаточность доказана. Доказанная теорема позволяет нам ввести норму линейного непрерывного функционала. Определение б. Н о р м о й линейного непрерывного функ- Ахи ционало, 1(х) называется гпочная верхняя грань огпноигения !И на мнозсестве всех элементов х пространства 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
