Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Для формулировки еще одного следствия введем новое понятие. Пусть 0 ( гт < 1. Определение 3. Будем говорить, что функциями" (х) удовлетворяет в данной точке х справа (слева) условию Гельдера порядка о, если функция 2'(х) имеет в точке х правое (левое) предельное значение и если сугцествуюп такая постояггггая М, что для всех достаточно малых полоогсительных (отрицагаельных) 2 справедливо неравенство ~Х(х + г) — у(х + о)~ < М /1у(х + г) — Х(х — ои < М) Очевидно, что если функция 1(х) имеет в данной точке х правую (левую) производную, понимаемую как предел 1пп ( ' ) ( ) 1пп (х ) ~( ) ), то функция 7" (х) Г-ГОРО гз- о — о заведомо удовлетворяет в этой точке т справа (слева) условию Гельдера любого порядка сг < 1.
Следствие я (условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке). Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции 2"(х) сходился в данной гаочке х бесконечной прямой, досагапгочно, чтобьг функция 2" (х) удовлетворяла в точке х справа условию Гельдера какого-либо положительного порядка ог и в точке х слева условию Гельдера 5 5 БОлее тОчные УслОВЛЯ РаВнОмернОй схОдимОсти 355 какого-либо полозгсительного порядка сгг (и тем более достаточно, чтобы функция )'(х) имела в точке х правую и левую производные).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что из того, что функция )(х) удовлесворяет в точке х справа (слева) условию Гельдера порядка сг1 (порядка ег2), вытекает существование постоянной М1, (постоянной М2) такой, что для всех достаточно малых положительных (отрицательных) 2 справедливо неравенство (10.75) (неравенство (10.76)). Но изложенное нами доказательство теоремы 10.17 использует лишь неравенства (10.75) и (10.76) и кусочную непрерывность и периодичность 1(х).
П р и и е р. Нс вычисляя коэффициентов Фурье функции сов х при — к < х < О, ~(х) = 1/2 прн х = О, угх прн 0 <х<н, мы можем утверждать, что тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится в точке х = 0 к значению 1/2, ибо функция д (х) имеет в этой точке левую производную и удовлетворяет в этой точке справа условию Гельдсра порядка сг2 = 1/2. 7. Суммнруемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических. Гйы уже отмечали, что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной н периодической (с периодом 2к) функции может быть расходящимся (см. и.
1). Докажем, что этот ряд тем не менее всегда суммируем (равномерно на всей бесконечной прямой) методом Чезаро (нлн методом средних арифметических) ) . Теорема 10.18 (теорема Фейера г) ). Если функция 1(х) нсирсрывна на сегменте ( — к, к] и удовлетворяет условию ф( — к) = г"(к), то срсднис арифметические частичных сумм сс пгригоно.истричгского ряди Фурье Во(х, У) ~-Е,(х, У) Ф...~-Е.,(эц б) сходигпся (к этой функции) равномерно на сегменте ( — к, к] (о, в случае, если функция с периодом 2я продолэкгна на вгю бесконечную прямую, равномерно на всей бегконечной прямой). Доказательство.
Из равенства (10.55) для Е„(х, г) получим, что — 1 о.(х ф) — 1, [~гш((г+-) 1] дг (1078) 2 вш — о=о 2 ') См. дополнение 3 к гл. 13 вып. 1. г) Л. Фейер доказал свою теорему в 1904 г. Л. Фейер — венгерский математик (1880 1959). 12* 356 ГэЬ 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Для вычисления суммы, стоящей в (10.78) в квадратных скобках, просуммируем тождество / 2 в)п — е)п (lс -> — ) 1 = сое кг — соя (/с + 1)1 2 г, 2) по всем а = О, 1, ..., и — 1.
В результате получим э иг 2 сйп — ~ в1п (/с -Р— ) 1 = 1 — сов иг = 2 сйп 2 С помощью последнего равенства (10.78) приводится к виду е ис о„(х, Г) = — / 7(х+1) 1 з1п 2 (10. 79) 2 в(п 2 Из (10.79) в свою очередь немедленно следует,что г иг сйп — / ', 41=1, (10.80) ип т 2в(пэ 2 ибо левая часть (10.80) равна среднему арифметическому частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции 7" (х) = 1, а все указанные частичные суммы тождественно равны единице (см. и.
2). Фиксируем произвольное е > О. Согласно теореме Вейерштрасса 10.9 найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что ~ ~(х) — Т(х) ~ < е) 2 (10.81) для всех х из бесконечной прямой. В силу линейности средних арифметических ст„(х, 7) = стл(х, Г" — Т4-)ол(х, Т), так что (о„(х, с) — Т(х)) < )о„(х, э" — Т) + )и (х, Т) — Т(х)(. (10.82) Записав равенство (10.79) для функции ( с" (х) — Т(х)], мы получим, учитывая , иг сйп неотрицатсльносгь называемой я д р о м Ф е й о р а функции и 2 е)п 2 используя оценку (10.8Ц н равенство (10.80), ~ст„(х, ( — Т~ < з тй з иг сйп шп < — уГ )Д(х -Р1) — Т(х -Р 1)) М < †. — ~ й = —. (10,83) 1 /' 2 е 1 с 2 яи 2 2 Неравенство (10.83) справедливо для любого номера и.
Заметим теперь, что тригонометричский ряд Фурье многочлена Т(х) совпадает с этим многочлеиом. Отсюда следует, что все частичные суммы о'„(х, Т), начиная с некоторого номера ие, равны Т(х). Но зто позволяет нам для фиксированного выше произволыюго е > 0 отыскать номер тУ такой, что ~о„(х, Т) — Т(х)~ < етс2 (10.84) при всех и > Х и всех х. Из неравенств (10.82), (10.83) и (10.84) заключаем, что ~о„(х, 7) — 7(х)~ < < е при всех и > йт и всех х. Теорема доказана. 1 5 БОлее тОчные УслОВЛЯ РлвноыеРнОЙ схОДимОсти 357 8. Заключительные замечания.
1'. При решении ряда конкретных задач приходится раскладывать функцию в тригонометрический рял Фурье не на сегменте [ — к, к)., а на сегменте [ — 1, 1), где 1 произвольное положительное число. Для перехода к такому случаю достаточно во всех проведенных выше рассуждениях заменить переменную х на — х. Конечно, при такой линейной замене переменной останутся справедливыми все установленные нами результаты. Эти результаты будут относиться к тригонометрическому ряду Фурье 2 — ~ + ~ (ая соа — Ьх, + Ьь в!и — Ьх) (10. 85) ь=! со следующими выражениями для коэффициентов Фурье ! ао = — / 1(!)Ж, (10.86) а! = — [ 7'(Ь)сов — 12д1, Ье = — [ 1Яв!В~Ь1Ю вЂ” ! — ! (1=1,2, ...). Мы не будем заново формулировать все установленные теоре- мы, а лишь отметим, что во всех формулировках сегмент [ — к, к) следует заменить сегментом [ — 1, 11, а период 2к периодом 21.
2'. Напомним, что функция )'(х) называется ч е т н о й, если она удовлетворяет условию 7'( — х) = ! (х), и нечетной, если она удовлетворяет условию ! ( — х) = — ! (х). Из вида (10.86) тригонометрических коэффициентов Фурье вытекает, что для четной функции 1 (х) равны нулю все коэффи- циенты Ьь (й = 1, 2, ... ), а для нечетной функции 7"(х) равны нулю все коэффициенты ае (Ь = О, 1, 2, ...). Таким образом, четная функция ~(х) раскладывается о тригонометрический ряд Фурье только по косинусам ио ч к — + р аь сов — йх, 2 ! ь=1 а нечетная функция 7'(х) раскладывается в тригонометриче- ский ряд Фурье п!олько по синусом Е с к Ьь вш — кх. ь=! 3'.
Приведем весьма часто употребляемую к о м п л е к с н у ю ф о р м у з а и и с и тригонометрического ряда Фурье (10.85). 358 ГЛ. 1О РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Используя соотношения ) — г — lгх - . г — Йх е 1 = сов — Йх — 1аш — кх, е 1 = сов — Йх+1гйп — кх, легко убедиться в том, что тригонометрический ряд Фурье (10.85) с коэффициентами Фурье (10.86) приводится к виду — г — йх .2. сгг е. (10.87) в котором комплексные коэффициенты св имеют вид гг — ы се = — / 7'(2)е 1 <Й 21 г (10.88) и выражаются через коэффициенты (10.86) по формулам 2 ' 2 2 4'. Чрезвычайно важной для приложений является задача о вычислении зна гений функции по приб.лиженпо заданным коэффициентам Фурье этой функции.
Рсшсгние этой задачи при помощи так называемого метода регул яризации приводится в приложении в конце настоящего выпуска. 8 6. Интеграл Фурье В случае, когда функция усх) задана на всей бесконечной прямой и не является периодической ни с каким конечным периодом, эту функцию естественно раскладывать не в тригонометрический ряд, а в так называемый и н т е г р а л Ф у р ь е. Изучению такого разложения и посвящен настоящий параграф. Всюду в этом параграфе мы подчиним функцию у(х) требованию абсолютной интегрируемости на бесконечной прямой ( — сог сю), т. е. потребуем, чтобы существовал несобственный интеграл ,)" йх)~дх (10.89) ') Эти соотногнения являются непосредственными следствиями формулы Эйлера, установленной в и.
3 г 5 тл. и Договоримся о шседующей терминологии. Определение. Будем говорить, чпю функция у гх) и р и н а о'- лежит на бесконечной прямой ( — оо, сю) классу 359 ИНТЕГРЛЛ ФУРЬЕ Е! и писать )(х) Е Б!( — со, оо), если функция )(х) интегрируема (в собственном смъюле Римана) на любом сегменте и если сходится несобственный интеграл (10.89). 1. Образ Фурье и его простейшие свойства. Лемма 4. Если 7'(х) б 1 !( — оо, оо), гпо для гиобой точки у бесконечной прямой — оо < у < оо существуегп несобственный интеграл ) У(У) = з' ""1(х)ах: (10.90) называемый образом (или преобразованием) Ф ур ь е функции !'(х). Более того, функция ~(у) непрерь!вна по у в каждой точке бесконечной прямой и стремится к нулю при уэоо, т,.
е. 1!ш )Г'(у)) = О. (10.91) 1у)-э со доказательство. Из равенства )е~"1(х)) = (~(х)(, из сходнмости интеграла (10.89) и из признака Вейерштрасса (см. теорему 9.7) вытекает равномерная по у сходимость интеграла (10.90) на каждом сегменте бесконечной прямой, а отсюда, в силу непрерывности функции ем У по у, из теоремы 9.9 следует непрерывность интеграла (10.90) по у (на каждом сегменте, т. е. в каждой точке бесконечной прямой). Остается доказать соотношение (10.91). Фиксируем произвольное е > О. В силу сходимости интеграла (10.89) можно фиксировать А > 0 такое, что — А оо ~ )'(х) ~ дх + ) ) )'(х) ~ дх < е/3. (10.92) — оо л При так фиксированном А (в силу (10.92)) будет справедливо неравенство е'*" 1(х) ах + —, (10.93) 3 и для доказательства соотношения (10.91) нам остается дока- 2 зать, что интеграл, стоящий в правой части (10.93), меньше — е для всех достаточно болыпих ~у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
