Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 70
Текст из файла (страница 70)
) Комплексную функцию ! (у) = и(у) + Гп(у) вещественного аргумента у мы рассматриваем как пару вещественных функций н(у) и в(у). Непрерывность Д(у) в данной точке у понимается как непрерывность в этой точке каждой иэ функций п(у) и с(у). 360 гл.
ю РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Так как функция 1"(х) интегрируема на сегменте ( — А, А], то можно фиксировать такое разбиение Т сегмента ( — А, А], что для верхней суммы от этого разбиения будет справедливо неравенство ) А 0 < от — ) 1(х) дх < е/3. (10. 94) — А Предположим, что это разбиение Т производится при помощи точек — А = хо < х1 < х2 « ... х„= А и что Мь точная веРхнЯЯ гРань фУнкЦии 1(х) на частичном сегменте (хь 1, хь] (й = 1, 2, ..., п). Введем функцию М1, при хй 1<х<хь (й=0,1,2,...,п), Ут(х) = 0 при х=хв (й=0.,1,2,...,в).
Поскольку интеграл не зависит от значения подынтегральной функции в конечном чис11е точек, то очевидно, что .4 и ,( 1т(х) Йх = ~~~ Мь(хь — хь .1) = ~т — А в=1 так что в силу (10.94) А А ]11 (х) — 1(х)] Йх = ] [1 т(х) — 1'(х)] дх < е(й. (10.9о) — А — А Опираясь па неравенство (10.95) и учитывая, что ]е""] = 1 и что ) е""пх < 2/]у], будем иметь хг — 1 ,] 1*кУ(х) 1 = 1 '*'(У( ) -Ут(*)+Ут( )]1 < А А < ( с1™)т(х)дх + ) е1*"(12(х) — 1(х)]дх < — А —.4 и гг- А < ,'~ ]М ] ]' ео*кг1х + ] (У' (х) — ('(х)]11х < 1=1 го †— А и < — ~ ~]М~] + — < — е ]я] 3 3 6 т если только ]9] ) — > ]Мй] .
Лемма доказана. В=1 ) см. 3 2 и 3 гл. 10 вып. 1. З61 ИНТЕГРЛЛ ФУРЬЕ Следствие. Если 1(х) е А«( — сс, сс), то 11ш / созЛх Г"(х) дх = О, л 1пп / вш Лх . 1(х) дх = О. Л вЂ” ««««« 2. Ъ'славия разложимости функции в интеграл Фурье. Определение. Для каэюдой функции 1" (х) из класса Е|( — ос, сс) назовем предел Л 1шл — / е 'и"1'(у) ду = 1пп — ( ( е'"«" «1(и) ди с1у Л 2../ л 2/~/ — Л л à — '1 -гкК() Л вЂ” ~со 2к г1 2 -л (10.96) 3 а м е ч а н и е 1. В каждой точке х«значение 1'(х) в которой равно полусумме правого и левого предельных значений (в частности, в каждой точке непрерывности Г (х)) в правой части (10.96) можно писать 1" (х).
Доказательство теоремы 10 19. Так как образ Фурье ((у) (в силу леммы 4) является непрерывной функцией у, то при любом положительном Л сугцествует интеграл л л ОО т е «гг1т(у) ду = е '~~ е'ч" ('(и) ди Ну. (10.97) — Л вЂ” Л вЂ” о«« В интеграле, стоящем в правой части (10.97), можно переменить порядок интегрирования относительно у и и (так как внутренний интеграл сходится равномерно относительно у на любом сегменте [ — Л, Л). (при условии, что этот предел суигествует) р а з л о э«с е и и е м этой, функции в ант,еграл, Фурье. Докажем следующую основную теорему.
Теорема 10.1з (условие разлоэюимости функции в данной точке в интеграл Фурье). Если 1'(х) е Е«( — сс, сс) и если функция Г(х) удовлетворяет в данной точке х справа условию Гельдера какого-либо полоз«сительного порядка о«(0 < < о«< 1), а слева -- условию Гельдера какого-либо полоз«сительного порядка ог (О < аг < 1), то в этой точке т справедливо равенство ГЛ.
1О РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Меняя порядок интегрирования относительно у и и, пользуясь равенствами е'"лк *л = савла(и — х) + лвлггу1и — х), Л Л ) сову(п — х)ллу =, ) в1плУ(и — х) ллу = 0 — Л 2(Π— х) ' Л и делая подстановку и = х+ 1, будем иметь Л оо Л вЂ” - "Ч(Я бр= — ) е"' *'1лу 1( ) д: = 2я л 2л.,Л вЂ” Л вЂ” оо — Л 1 1 ол Л( *) )~ 1 / 1 ЛЛу( +Л) Итак, при любом положительном Л Л 0 СС вЂ” е '*'"1'(у)ду = — "" 1л'х+1)й+ — / " )'(х+1)лй. 2я 1 лл,/ — 00 о (10.98) Теперь учтем, что при любом положительном Л справедливо равенство лл ало Лл 11 7Г У 2 0 а стало быть, и равенство а Е ало ЛЛ ~ т Л 2 Из последних двух равенств вытекает, что при любом положительном Л ~(х+ О) = ' / у~Х+ О) аллл ЛЛ,, (10.99) 0 о "= -' Г у(х — О)вл™М.
(10.100) 2 лл/ ИНТЕГРЛЛ ФУРЬЕ Вычитая из (10.98) равенства (10.99) и (10.100), получим, что при любом положительном Л Л 1 ( .С~у г,» 1 1(в+ О) +1(х — О) 2у / 2 — Л вЂ” Ц(х+ й) — )(х+ О)) с(1+ О + — Ц(х+ Х) — ~(х — О)] "" с(6. (10.101) к / Так как функция 7(х) удовлетворяет в точке х справа условию Гельдера порядка о1 и слева условию Гельдера порядка о2, то существуют постоянные М1 и М2 такие, что для всех достаточно лсалых положительных 6 будет справедливо неравенство (10.75), а для всех достаточно малых отрицательных 1 будет справедливо неравенство (10.76). Если мы обозначим через М наибольшее из чисел М1 и М2, а через су наименьшее из чисел сс1 и сс2, то в правых частях (10.75) и (10.76) можно писать М~ 6 ~Гс причем зти неравенства будут справедливы для всех положительных (соответственно отрицательных) значении с, удовлетворяющих условисо / с ! ( б, где б - произвольное достаточно малое положительное число.
Теперь мы можем шседующим образом переписать соотношение (10.101): 1 1 Сау ~ ( Д(х+О) -~- 6(х — О) 2х / 2 — Л вЂ” Ц(х+1) — )(х+ О)) с1-1+ О О + — (1(х + К) — ) (х — О)) сЫ + — )'(х + й) сН— — 6 /с/)6 оо — 6 Х(х+0) 1' вспЛС „Дх — О) / вьвЛС 364 ГЛ. ОО РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Фиксируем произвольное е ) 0 и по нему О ) 0 настолько малым, чтобы было справедливо неравенство Мб" я (10.103) Оценивая первые два интеграла в правой части (10.102) с помощью неравенств (10.75) и (10.76) (с величиной М~1~" в правых частях этих неравенств), будем иметь — ~У(х+ 2) — 11х+ 0)] "" сН < — /~(х+ 2) — 11х+ 0)/ — < С я,1 О О < — 4~ ~Й=— О и совершенно аналогично — ~Ц(х+ 1) — 11х — О)] " пг < — I ~~(х+ 1) — 11х — О) ~ — < к / < — (1!" ~ й = —.
— 6 Из последних двух неравенств и из (10.103) получим — ~Дх+ Х) — ~(х+ 0)] г11 + О О + — [~(х+1) — ~(х — 0)] сй < —. (10.104) к/ 2 — в Для оценки третьего интеграла в правой части (10.102) введем функцию — при ~1~ ) О 614) = 0 при )4) < д. 365 ИНТЕГРЛЛ ФУРЬЕ Так как н(6) Е Аз ( — оо, оо), то в силу следствия из леммы 4 1пп ~ а(1)вшЛ1аг = 1пп — / 7" (х+6) ' д2 = О, — сп (з(>6 но зто о:значает, что для фиксированного нами прои:звольного е > 0 найдется Л1 такое, что — 7"(х+1) ~й ( ~ (при Л > Лз).
(10.105) (с(>6 Наконец, заметим, что — 6' СО Г вппЛ6, З япЛ6, З япт а6= з — ат60 — М~ 6 Л6 при Л вЂ” Л оо. Отсюда следует, что для фиксированного нами произвольного е > 0 и рассматриваемой точки х найдется Л2 такое, что Дх+О) япЛ6 ) 6(х — О) япЛС 1 е, Л > (ззри > 2), к к 4 (10.106) Обозначим через Л наибольшее из чисел Лз и Л2. Из соотношений (10.102), (10.104) — (10.106) заключаем, что Л вЂ” е '*"~(у)ду — 1(х ) Г(~ ) ( е (приЛ > Л).
2к з х 2 — Л вЂ” е '*"Ду) ау, 2п (10.107) Теорема доказана. Следстпвие. Равенство (10.96) будета тем более справедливо, если 2 (х) Е Аз( — оо, оо) и если функция 6(х) имеет в данной точке х правую и левую производные, понимаемые как пределы з — ~оз-о зл- о™ вЂ” о е Замечание 2. Предел.
стоящий в левой части (10.96), можно записывать в виде несобственного интеграла ГЛ. го РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ но следует гюмнить, что этот несобственный интеграл сходится а смысле главного значения., т. е. является пределом соответствующего собственного интеграла лишь при условии, что пределы интегрирования в этом собственном интеграле лвллютсл симметричными относгивельно нуля числами. Нельзя понимать несобственный интеграл (10.107) как предел л" 1пп — е и'"7'(у) ду Л' — г — оо 2гг у л"-» л при независимом стремлении Л' к — оо и Лг' к +со.
В следующем пункте мы будем писать вместо предела (10.96) несобственный интеграл (10.107), всякий раз понимая его в указанном нами смысле. 3. Понятие о прямом и обратном преобразованиях Фурье. Записывая .левую часть (10.96) в виде несобственного интеграла (10.107) и считая, что значение функции 7'(х) в данной точке т, равно полусумме правого и левого предельных значений., мы получим равенство (10.108) 2гг позволяющее найти функцию 7" (х) по ее образу Фурье 7" (у) и часто называемое обратным ггреобразованием Фурье.
По отношениго к этому равенству формулу (10.90), с помощью которой образ Фурье Д~гу) выражается через саму функцию 1" (х), часто называют прямым преобразованием Фурье. Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, мы придем к выводу, что образ Фурье является ангвгогом коэффициента Фурье, а обратное преобразование Фурье (10.108) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье. Рассмотрим прямое и обратное преобразования Фурье для двгух важных частных случаев: 1) для случая, когда функция 7'(х) является ч е т н о й (т.
е, удовлетворяет условикг 7'( — х) = = 7" (х)) и 2) для случая, когда функция 7" (х) является н е ч е тн о й (т. е, удовлетворяет условию 7( — х) = — 7'(х)). 1) Если 7" (х) четная функция, то из формулы (10.90) с помогцью формулы Эйлера е'х" = сов ху+ г вшху получим СО 00 Д(у) = ) соэху)'(х) дх = 2 ) )'(х) сов худх. (10.109) — 00 0 367 ИНТЕГРЛЛ ФУРЬЕ Из формулы (10.109) в свою очередь следует, что образ Фурье Д(д) также является четной функцией д. Поэтому обратное преобразование Фурье (10.108) принимает вид 7"(х) = — Д~д) сов уха = — / Д(д) сов дхс~д. (10.110) 2я / я / Формулу (10.109) часто называют прямым косинус- преобразованием Фурье, а формулу (10.110) обратным косинус-преобразованием Фурье. 2) Если 7'(х) нечетная функция, то совершенно аналогично из формул (10.90) и (10.108) мы получим прямое синус- преобразование Фурье ((д) = 2 ) )(х) э1пхдг1х о и обратное синус-преобразование Фурье ((х) = — 7'(д) эшух г1д. о Па практике довольно часто встречается случай, когда функция Дх) задана только ~в полдпрлмой 0 < х < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
