Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 74
Текст из файла (страница 74)
') Для нулевого влсмопга О неравенство (11.б) справедливо при любой постоянной С, ибо в силу линейности функпионала 1(0) = 1(Ох) = О 1(х) = О. НРОстРлнс гВО р 383 при ~ем ((Ц = ))а3. Доказательство. Пусть (еь~- -замкнутая ортонормированная система (11.3), аь = 1(еь) (й = 1, 2, ...). Убедимся в том, что последовательность вещественных чисел (аы аг, ..., а„) представляет собой элемент пространства 1~, т.
е. убедимся в сходимости ряда 2 а~~. ь — 1 Для любого номера и положим Яп = 2 аьеы Тогда в силу ь.=1 линейности функционала п п 1(Я„) = ~~~ аь1(еь) = ~~~ а~~ — — ~~Я„~( . (11.9) ь=! ь=1 С другой стороны, из теоремы 11.1 и из определения нормы линейного непрерывного функционала (11.7) следует, что ИФ.)~ < й. Ф !!. (11.10) Из (11.9) и (11.10) получим, что 3Я„~~ < ~~13 или, что то же самое, п ~4<йг (11.11) ь=1 Последнее неравенство, справедливое для любого номера и, доказывает сходимость РЯда, 2 аь, т.
е. доказывает, что последо- 2 в=1 вательность (ам овь ..., о,„, ...) представляет собой некоторый элемент 1г, который мы обозначим через а. Пусть теперь х = (хм хг, ..., х,„, ... ) -- произвольный элемент 1~. Тогда в силу замкнутости ортонормированной системы Норму линейного непрерывного функционала 1(х) будем обозначать символом ~~1~~.
Итак, по определению ((1)! = впр —. (11. 7) ер 11*~! Справедлива следующая основная теорема. Теорема 11.2 (теорема Рисса). Длл каждого линейного непрерывного функционала 1(х) существует один и только один элемент а прострапства 1г такой, что длл всех элементов х просгпранства 1 справедливо равенство Цх) = (а, х)., (11. 8) 384 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. 11 111.3) частичная сумма ряда Фурье 2 хеее сходится по норме а=1 1~ к х при и — э оо. В силу непрерывности функционала отсюда следует, что Но из линейности функционала и из равенства ае = 1(ее) вытекает,что / и и и 1( ~~) хеее) =,'т х1Цев) = ~ хааы )с=( (с=1 ь=! Стало быть, мы доказали, что 1пп / хеае =11х), но это и означает, что нами установлено равенство 111.8) с однозначно определенным элементом а, координаты которого равны 1(ее). Остается убедиться в том, что )(1() = ))о((.
Из справедливого для лклбого номера и неравенства 111.11) сразу же следует, что '0а'0 < Я . 111.12) С другой стороны, из уже доказанного пахли равенства 111.8) с поклощью неравенства Коши-Буняковского ) ((а, х)( < ()а)) х х ((х)) получим, что (11х)) < ))а)(. ()х((, откуда в силу определения нормы 111.7) вытекает, что '0Ц < ((а(). (П.13) Из 111.12) и 111.13) заключаем, что )(1)) = ((а((.
Теорема полностью доказана. Доказанная теорема устанавливает общий вид всякого линейного непрерывного функционала в пространстве 1 . 3. О слабой компактности ограниченного по норме 1 множества. Определение 1. Миоэ(сество Е элементов 1г называелпсл ограниченным (или ограниченным по норме), если существуепл постолннал ЛХ такал, чгао )(х)) < М длл всех элемеиплов х множества Е. ') Согласно теореме 10.1 иоравеиство Коши †Буняковско справедливо для любых двух элементов всякого евклидова пространства. 385 ПРОСТРЛНСТВО Е Определение 2.
Бесконечное множество Е элементов 1г называется к ам и а к и) н им, если из любой прпнадлеэкащей множеству Е последовательности элементов (хо) моэ)сгсо выделить сходящуюся по норме1 подпоследовательность ухз„). Очевидно., что всякое компактное мноэ)сество Е элементов 1 являегпся ограниченным ) . В евклидовом пространстве к о н е ч н о г о числа измерений верно и обратное утверждение: всякое содержащее бесконечное число алементов ограниченное множество Е является компактным (теорема Больцано — Вейерштрасса). Но в б е с к он е ч н о м е р н о м пространстве, каковым является 1, из ограниченности бесконечного множества элементов Е уже не вытекает коьшактность этого множества. Например, множество (еь) всех элеъ)ентов ортонормированпой системы (11.3) является ограниченным (ибо нормы всех элементов равны единице), но не является компактным (ибо для сходимости последовательности элементов по норме 1г необходимо, чтобы норма разности двух элементов с номерами к.
и к + 1 стремилась к нулю при й — у сс, а для любой подпоследовательности, составленной из элементов (11.3), ~~~ее — е)~)' г = ))ех)) + )(е!)) = 2 для любых 1с и 1, не равных друг другу). Естественно попытаться ввести понятие компактности множества в более слабом (чем в определении 2) смысле, с тем, чтобы любое (содержащее бесконечное число элементов) ограниченное множество оказалось компактным в таком слабом смысле. Определение 3. Последовательность (х„) элементов просп)ронсгпва 1 ноэъюае)пся ела бо сходя щ е й сл к элеме)ппу хо этого пространства, если для л)обого элемента и пространства )г справедливо соотпоше)1 ие (х„„а) -+ (хо, а) при п, -+ оо.
Заметим, что из сходимости (х„) к хв по норме 1 и из неравенства Коши--Буняковского вытекает слабая сходимость (х„) "*,""'))*', ) — )*» )) =)(*. — *» )) с Л* — МГ))')) для любого элемента а. Слабая сходимость (х„) к хо, вообще говоря, не влечет за собой сходимость )хг,) к хо по норме 1г. Например, последовательность (ег) всех элементов ортопормированпой системы (11.3) слабо сходится к нулевому элементу О, ибо для любого элемента а пространства 1 справедливо неравенство г ') В самом деле, из неограниченности множества Е вытекало бы существование последовательности принадлежащих Е элементов, лля которых последовательность норм является бесконечно большой.
Любая подпоследовательность такой последовательности расходится по норме 1,что противоречит условию компактности множества Е. 13 В. зь Ильин и Зс Г. Позняк, часть П 386 ГЛ. 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО Бесселя ) 1„(еы а) < ~0а~0~, согласно которолеу (е„, и) — 1 а=1 — 1 (О, а) = О при и — 1 оо. Въ1есте с тем вылив доказано, что ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Еь) НЕ СХОднтея ПО НОРМЕ ~2. Сходимость по норме 12 (в отличие от слабой сходимости) часто называют сильной сходимостью.
Определение 4. Весконечное множество Е элементов 12 называется слабо комп а кп1н ым, если из любой принадлежащей множеству Е последовательности элементов (хн) можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Справедлива следующая фундаментальная теорема. Теорема 11.о. Всякое состоящее из бесконечного числа элементов ограничетгое мноэюество в 12 является слабо компактнь1м. Доказательство. Пусть Е- произвольное ограниченное подмножество 12, содержащее бесконечное число элементов, (ха) — произвольная последовательность элементов Е.
Условие ограниченности множества Е позволяет утверждать, что Ох„0 < < М, где ЛХ некоторая постоянная. Но тогда из соотношения 2 'Охп0 = ~ х~ь вьггекает ограниченность для любого номера й Ь=-1 числовой последовательности Й-х координат х„я элементов х„. Стало быть, в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса (см. теорему 3.3 из вып.
1) из последовательности (хп) можно выделить подпоследовательность элементов (х„) такую, что первые ко- (1) ординаты этих элементов образуют сходящуюся числовую последовательность, затем из (хв ) можно выделить подпоследо- (П вательность элементов (х„) такую, .что как первые,. так и вто- 121 рые координаты этих элементов образуют сходящиеся числовые последовательности и т.
д. После й шагов мы выделим подпогледовательность элементов (хп ), у которой каждая из первых Й 1к1 координат образует сходяшуюся числовую последовательность. Положим у„= хй ). Очевидно, что (у„) является подпоследовательностью исходной последовательности элементов (х„) и что последовательность, образованная л ю б о й координатой элементов у„, является сходящейся числовой пошгедовательно- СТЬЮ, т. Е. ЕСЛИ Ув = (У„1, У„2, ..., У„Ы ... ), тО ДЛЯ КажДОГО Й последовательность упь сходится при и — 1 со. Обозначим ) Согласно теореме 10Л неравенство Бесселя справедливо для каждого элемента и любой ортонормированиой системы в произвольном евклидовом пространстве.
ПРОСТРЛНС ГВО Р 387 ~у„'й <Ме й=1 (11.14) и тем более 2 <М2 (11.15) й=1 (для л ю б о г о фиксированного номера Х и для всех номеров и). Переходя в (11.15) к пределу при п — ~ оо, мы получим, что .ч 2 С < М для любого номера Х, а, это и означает, что пой.=1 следовательность ф, ~з, ..., ~й, ...) представляет собой некоторый элемент 1', который мы обозначим через ~. Остается доказать, что последовательность (у„~ слабо сходится к этому элементу (, т.
с. доказать, что для любого элемента а = (ам а2, ..., ай, ... ) пространства 1 справедливо соотно- 2 шение 1ш1 (у„, а) = ф а) или, что то же самое, соотношение ,';у. ж =,';Ь й=1 й=1 Б силу того, что 1пп увй = ~й, и в силу теоремы о почленном переходе к пределу (см. теорему 1.6) достаточно доказать, что ряд д„й ай (11.16) й=1 сходится равномерно относительно всех номеров п. Фиксируем произвольное е > О.
Из сходимости ряда 2 ай ~вытекает сущестй=1 вование такого номера ше,что т-~-р й.=т-~-1 для всех ш > шв и всех натуральных р (р = 1, 2, ... ). (11.17) ш* через Сй предел последовательности й-х координат элементов у„, т. е. положим Сй = 1пп д„й (к = 1, 2, ... ) и убедимся в том, и-~ао что последовательность ф, ~е, ..., Сй, ...) представляет собой некоторый элемент пространства Р, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
