Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Теорема полностью доказана. 3. Существование в Ь~ замкнутой ортонормированной системы, состоящей из счетного числа элементов. Для построения в ь2 замкнутой ортонормировапной системы элементов будем исходить из существования в ь2 счетного всюду плотного множества элементов 1м 22, ...,,1„, ... Мы докажем, что замкнутая ортонормированная система может быть построена с помощью конечных линейных комбинаций ) элементов всюду плотного множества 1ы 12, ..., 1„, ...
Такой способ построения ортонормированной системы обычно называют процессом ортогонализации. ') То, что такое множество йг счетно, вытокаот иэ счетности всех рациональных чисел и иэ счетности числа всех многочленов различной степени. ) Говорят, что элемент Ф„является линейной комбинацией элементов , у „если найдутся вещественные числа оы ае,, оы такие, что Ф„= а1 б т оеуе э'- о У» пространство гд БУДем считать, что сРеДи элементов ГМ 12, ..., ув, ... нет линейно зависимых ) элементов (иначе при последовательном увеличении номера и мы удалили бы из совокупности (уо) каждый элемент ув, являющийся линейной комбинацией элементов 11 ~ 12: ~ 2 и — 1) .
Построим систему попарно ортогональных ненулевых элементов Ф1, Ф2, ..., Ф„, ... таких, что для любого номера п каждый из элементов Ф1, Ф2, ..., Ф„, является линейной комбинацией элементов уг, у2, ..., у"„и, наоборот, каждый из элеъ1ентов является линейной комбинацией элементов Ф1, Ф2,, Фв ). Докажем методом математической индукции, что указанная система элементов Ф1, Ф2, ..., Ф„, ...
может быть последовательно определена с помощью соотношений Ф1=Л, (21; Ф1) У1 Ф2) ° ° (21 Ф вЂ” 1) 21 (У2,Ф) (Л,.Ф) (Ь,Ф. ) Л при п>2. (У~, Ф1) (ув, Ф2) ° ° ° (1 Ф вЂ” 1) 2 (11.22) Ясно, что элемент Ф1, определяемый соотношением (11.2Ц, является ненулевым (ибо в противном случае для любого номера п оказались линейно зависимыми элементы 1Н 12, ..., 1о. Таким образом, при п = 1 выполнены все указанные выше требования.
Предположим тепергп что система Ф1, Ф2, ..., Ф„ построенная с помощью соотношений (11.21), (11.22), удовлетворяет всем указанным выше требованиям, и убедимся, что тогда этим требованиям удовлетворяет и построенная с помощью тех же соотношений система Ф1, Ф2, ..., Ф„. 1Лз (11.22) ясно, что элемент Ф„представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (1, 12, ..., 1в и, таким образом, является ненулевым (иначе бы оказалась нулевым элементом указанная линейная комбинация, т. е. элементы )и 12, ...
..., ('„оказались бы линейно зависимыми). Далее, поскольку элементы 11, 12, ..., у 1 линейно выражаЮтСя ЧЕРЕЗ Ф1, Фв, ..., Фн 1 И ПОСКШ1ЬКу МИНОР СтаящЕГО В правом нижнем углу определителя (11.22) элемента 1'в равен ) Это означает,что ни один из элементов 1„ совокупности (зв) не является линейной комбинацией конечного числа других элементов этой совокупности. 2) На языке линейной алгебры это означает, что линейная оболочка, натянутая на элементы Фп Фэ,..., Ф, совпадает с линейной оболочкой, натянутой на элементы тп уе, ..., Г„. 394 ГЛ. 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ~~Ф„1~~ 1) и поэтому отличен от нуля, из равенства (11.22) следует, что и элемент )и линейно выражается через Ф1, Ф2, ..., Ф„. Наконец, из (11.22) сразу вытекает, что элемент Ф„ортогонален каждому из элементов Ф1, Ф2, ..., Фв 1. В самом деле, если й -.
любой из номеров 1, 2, ..., Ьп — 1, то, умножая обе части (11.22) скалярно на Фь, мы получим в правой части определитель, й-й и и-й столбцы которого одинаковы. Из равенства нулю такого определителя следует, что (Ф„, Фь) = О для всех й = 1, 2, ..., и — 1. Тем самым индукция завершена, и система Ф1, Ф2, ...
..., Ф„, ..., удовлетворяющая указанным требованиям, построена. Положив теперь для каждого номера и, озп = Фв/ ~~Фа~~, мы ПОЛУЧИМ ОРтОНОРМИРОВаННУЮ СнетЕМУ 9~Ы ~>2, ., 9~в, ... ЗамкнУтость постРоенной пал~и системы (1ов) сРазУ вытекает из того, что каждый элемент всюду плотного множества ( 1„) является линейной комбинацией конечного числа элементов системы (~рв). Из счетности всюду плотного множества элементов (и )2, ... ..., ~„, ...
вытекает, что построенная нами замкнутая ортонормированная система содержит не более чем счептое число элементов. Но число элементов этой системы не мол)сет быть конечным, ибо это означало бы, что пространство А2 является конечномерным 2) . Тем самым мы окончательно доказали существование в 1Р замкнутой оргонормированпой системы, состоящей из счетного числа элементов. Заметим в заключение, что замкнутую ортонормированную систему элементов Е часто называют о р т о н о р м и р о в а иным базисом 2).
4. Изоморфизм пространств я ~ и 12 и следствия из него. В пространстве 1~(Е), точно так же, как и в пространстве 1, вводятся понятия слабой сходимости последовательно- 2 сти элементов и слабой компактности множества элементов. ) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно записать равенство (11. 22) для номера (и — 1) и умножить его скачярно на Ф„ ') То что размерность пространства ье(Е) равна бесконечности, сразу вытекает из того, что для любого наперед заданного номера и в этом пространстве существует и линейно независимых элементов 1, я, я, ..., х" з) Система элементов (1г„) называется б а з и с о м пространства ьэ(Е), если любому элементу 1 пространства ьэ(Е) однозначно соответствует разложение этого элемента в ряд 2 с„1э„с постоянными коэффициентами с„, =1 сходящийся к элементу 1 по норме пространства ь (Е).
пгостглнство ь' 395 Определение 1. Последовательность (г'„(х)) элементов пространства Ба(Е) называется с л а б о с х о д я щ е й с я к элементу 1" (х) этого пространства, если для лзобого элемента н(х) пространства 1Р(Е) справедливо соогпношение (А в") ~ (1 и) пра и — ~ со или, что то эсе самое, / (я(х)й(х) йх -з ) 1(х)Е(х) Йх пРи и — з со. н ь Так же элементарно, как и для случая з~, доказывается, что из сходимости (1п(х)) к 1'(х) по норме Ьа(Ь) вытекает слабая сходимость (~п(х)) к 1(х). Конечно, сэзабая сходимость элементов Аг(Е) не влечет за собой сходимости по норме Аг(Е) (примером может сззужить любая ортонормированная последовательность элементов пространства Ь (Е)). Определение 2.
Бесконечное множество М злеменпзов пространства Аг(Е) называется с л а ба к о м п а к т н ьз м, если из любой принадлежащей мноэюеству М последовательности элементов (1'„(х)) можно выделить слабо сходящуюся подпосззедовательноспзь. В полной аналогии с тем, как это было сделано для пространства 1, в пространстве А вводится попятив линейного непрерывного функционала. Определение Я. Функционал 1(1), определенный на элементах 1" пространства Б~(Е), называется л и н е й н ым, если для любых двух элеменпсов 1' и и пространглава Б~(Е) и длл любых вещественных чисел о и (э' справедливо равенство 1(о~+ + Ра) = г(У) + Ф(й). Договоримся там, где это будет удобно., называть элемонты 1 пространства Бг(Е) точками этого пространства.
Определение ~. Функционал 1(1), определенный яа элементат, 1" пространсзпва 1 (Е), называется непрерывным в т о ч к е 1о .этого простразютва, если для любой последовательности (~„) элементов 1г(Е), сходящейся по норме 1Р(Е) к элементу 1е, числовая последовательность 1(1" ) сходится к з(,1о). Определение б. Фуззкционал 1(1) называется просто н еи р е р ы в н ы м, если он непрерывен в каждой точке 1' пространства Ьг(Е) . Как и для случая 1~, легко доказать, что если линейный функционал в Бг(Е) непрерывен хотя бы в одной точке Б~(Е), то он непрерывен всюду на Ьз(Е), т. е.
гзросто непрерывен. ГЛ. П ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО Естественно возникает вопрос о перенесении на случай пространства Тг(Е) доказанных для пространства Р теоремы 11.2 об общем виде линейного непрерывного функционала и теоремы 11.3 о слабой компактности всякого ограниченного (но норме) множества. Мы установим глубокую связь между пространствами Ег и 1, которая позволит нам сразу же установить справедливость для пространства Е только что упомянутых теорем.
Введем следующее фундаментальное понятие. Определение 6. Два произвольных евклидовых пространства Л и Л' называютпсл из о лг ар фи им и, если между элементами этих пространств можно установишь взаимно однозначное соответствие так, что при условии, что элементы х' и у' просгпранства Л' являются образами элементов х и у пространства Л, выполняются следующие требования: 1) элемент х'+у' пространства Л' является образом элемента х+ у просгпранства Л; 2) при любом вещественном А элемент Лх' пространства Л' является образом элемента Ах пространства Л; 3) скалярные произведения (х', у') и (х, у) равны друг другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
