Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В этом случае мы можем по напгему желанию продолжить эту функцию на полупрямую — оо < х < 0 либо четным, либо нечетным образом и пользоваться для этой функции либо косинус-преобразованием Фурье., либо синус-преобразованием Фурье. П р и м е р. Рассмотриы на полупрямогл 0 < х < оо функцию 1'(х) = е а*, где а > О. Продолжая эту функцию четным образом на полупрямую — со < х < О., получим прямое и обратное косинус-преобразования Фу рье Г(д) = 2 1 Е СОВХдс1Х = 2о 1) а- -'г уо ®д) иногда называют косинус-образом Фурье), 7"(х)= — а ''"' г1д=е" (х>0). о ) Напомним, что интеграл (е ~ соевую элементарно вычисляется двукратным интегрированием по частям (см. вып.
1, гл. 6). 368 ГЛ. 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Продолжая ту же функцию на полупрямую — оо < х < 0 нечет- ным образом, т. е. полагая е а* при х>0, Т"(х) = 0 при х=О, — е ~~х~ при х<0, мы получим прямое и обратное синус-преобразования Фурье д(у) = 2 Е ока)ПХуе(Х = 1) а,г -1- уг 0 (1'(у) иногда называют сину с-о б р а з о м Фурье), — ах д(х) = — ~ г1у = 2 1 узгиу:с ( е при х) О, к/ аз+уз ~, 0 при х=О. о 4. Некоторые дополнительные свойства преобразования Фу- рье.
В атом пункте мы остановимся на некоторых дополнительных свойст- вах преобразования Фурье, довольно часто встречающихся в приложениях. Лемма б. Пусть при некотором целом неотрицательном числе к функцил (1 -1- ~хО" ф(х) й То( — оо,оо). Тогда обрао Фурье (10.90) функ- ции ф(х) дафференцируем к. раз по переменной у, причем производную по у любого порядка т (т = 1, 2,, к) можно вычислять дифференцирова- нием под знаком ингпеграла (10.90), т. е. по формуле 1(у) = / е'""(1х) ф(х) дх (т = 1, 2,, к). (10.111) ду'" Доказательство.
Из справедливого для любого т (т = 1, 2,..., 1с) неравенства е" гз(х) = (е' " (1х) 1(х)! < (1 Ч- )х~) )у(х)( и из сходимости несобственного интеграла ) (1Ч-)х!) )У(х)! дх в силу приз- нака Вейерштрасса (т. е. теоромы 9.7) вытекает равномерная по у (на каж- дом сегменте) сходимость интеграла, стоящего и правой части (10.111), для любого т = О, 1> ..., к, В силу теоремы 9.10 это обеспечивает существо- вание производной по у любого порядка т = 1, 2, ..., к и справедливость формулы (10.111). Лемма доказана. Лем.ма б. Пусть функция ф(х) имеет в каждой точке х все произ- водные до порядка к ) 1 включительно, причем сама функция ф(х) и про- изводнал порядка к абсолютно интсгрируемм на бесконечной прямой и для любого т = О, 1, ..., (к.
— 1) справедливо соогпиотсние 1пп ~ ~ =О. (10.112) ю ) См. предыдущую сноску. 369 ИНТЕГРЛЛ ФУРЬЕ Тогда длл преобразования Фурье Ду) функции Дх) при )у~ -э оо справед- лива оценка ®у)! = оЙу! ). (10.113) Доказательство. Рассмотрим для любого Л ) 0 интеграл л е"" дх дхь Интегрируя ого й раз по частям, мы получим формулу г, дее!х) ~ дв-'б!х)))т ~, дь-ге!х)з)л ... -!- ! — г) у / е 'г)(х)дх.
б(х) = — / е "гу!у) ду, 2п д (10.115) причем в силу. леммы б справедлива оценка Щу)! < С(1-~-)зд~) ', обеспечи- вающая абсолютную и равномерную (относительно х) сходимость интегра- ла, стоящего в правой части (10.118), на всей бесконечной прямой. ') Х!. Планшерель — французский математик (род. в 1885 г.). -л Устремляя в полученном равенстве Л к со и учитывая, что в силу (10.112) все подстановки обращаются в нуль, получим е ~г дх = ( — гу) ~ е " 1(х) дх = ( — 1у) 1'!у). , гд 1!х), л 1, г дх" Учитывая, что интеграл, стоящий в левой части последнего равенства, в силу леммы 4 стремится к нулю при )у~ -э со, мы и получим оценку (10.113).
Лемма доказана. Теорема 10.20. Пушпь функц я Дх) и ее вспорол производная вбсолзотно интегрируемм гщ бесконечной прямой ( — ж, оо), причем сами функ; ция ) !х) и ее первая производнал стремлтсл к нулю при ~х~ -э оо. Пусть далее функция 8(х) абсолютно интегрируема на бесконечной прлмои" ( — оо., оо), Тогда справедливо следуюшее равенство: ~(х)фх) дх = — ! Д~у)8 (у) ду, (10.114) 2г З назьгваемое обобщенным равенством Парс сваля или равенс т вам План те р е лл ') . (В этом равенстве ~(у) и 8(у) суть обрзвы Фурье функций ~(х) и 8(х) соответственно, а 8*(у) обозначает величину, комплексно-сопряженную 8(у).) Доказательство В силу теоремы 10 19 в каждой точке т справедливо равенство 370 ГЛ.
10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Умножая обе части (10.115) на 6(х) и интегрируя по х в пределах от — Л до Л, будем иметь л 1 л ,) 7(хлд(х:)с(х = — ) 6(х) ~ ) е *""7(у)ду~ с(х. (10.116) 2п 'л В силу отмеченной выше равномерной по х сходимости интегршга (10.115), в правой части (10.116) можно изменить порядок интегрирования относительно х н у, и лгы получим г л Пх)б(х) с(х = — ) ~ 1 ем"6(х) с(х~ Д(у) с(у (10.117) 2х' л (звездочка означает комплексное сопряжение).
В силу неравенства ~* 1* ) е'*"6(х) сгх~ 'Ег(у)( < ( )6(х)~ сгх С(1Ф ~у!) и признака Вейерштрасса интеграл, стоящий в правой части (10.117), сходится равномерно относительно Л на бесконечной прямой — оо < Л < со. Стало быть в (10.117) можно перейти к пределу при Л э со, осуществляя в правой части (10.117) переход к пределу под знаком интеграла. Теорема доказана. й 7.
Кратные тригонометрические ряды и интегралы Фурье 1. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм. Пусть функция Х переменных 7(хг, хз, ..., хА ) определена и интегрируема в Х-мерном кубе — гг < хь < г (гг = = 1, 2, ..., Х). Этот куб мы обозначим символом П. Кратный тригонометрический ряд такой функции удобно записывать сразу в комплексной форме, используя для сокращения записи понятие скалярного произведения двух 1лг-ьгерпых векторов. Пусть х = (хг, хв, ..., хм) вектор с произвольными вещественными координатами хг, х2, ..., хан а и = (пг, ггв, ..., Ггк) вектор с целочисленными координатами пг., и2, ..., ил.
Кратным тригонометрическим рядом Фурье ф у н к ц и и 7 (х) = 7 (хг, ху, ..., хА ) называется ряд вида е — г(хп) (10.118) пг= — со пл.= — сс вкоторомчислауп,называемые коэффициентами Фурье, определяются равенствами гп — 1пгпе.,пл = (2я)-~ ('...
О(у„..., уА)е (Уг"" '-"п') у у- (10.119) *з 7крлтные тРиГОнОметРические РЯДЫ и интеГРллы ФУРье 371 а символ (хп) обозначает скалярное произведение векторов х и п, равное х,п7 +... + хипа. Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (10.118) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в Х-мерном кубе П) системе 7), образованной с помощью всевозможных произведений элементов одномерной тригонометрической системы, взятых от переменных хн хг, ..., хл соответственно. Эту ортонормированную систему принято называть кратной тригонометрической системой.
Как и для всякой ортонормироваппой системы, для кратной тригонометрической системы справедливо н е р а в е н с т в о Б е с с е л я, которое имеет вид ,'~ ... ~~ (Я~ < (2к) ~1 ... О~(хы ..., хл)дхю.. дхУ. (10.120) где ('(хп ..., хк) любая непрерывная в Х-мерном кубе П функция. Рассмотрим вопрос о сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке х = (х7, ..., хн) абсолютно, то вопрос о его сходи- мости (в силу теоремы Римана 13.10 из вып. 1) зависит от порядка следования его членов (или, что то жс самое, зависит от порядка суммирования по индексам пы пгн ..., пл ). 1Пироко распространены два способа суммирования кратного тригонометрического ряда Фурье —.
с ф е р и ч е с к и й и и р я м о у г о л ь н ы й. Сферическими час тичпыми суммами кратного тригонометрического ряда Фурье (10.118) называются суммы вида взятые по всем целочисленным значениям пн пэ, ..., 7~у, удовлетворяющим условию )и! = п7 + п~ ~+... + п~~ ( Л. Говорят, что кратный триго7юметрический ряд Фурье (10.118) суммируем в данной точке х сферическим мегаодом, если в э77юй гпочке существует предел 1пп 8л(х, 1).
Л вЂ” э со Прямоугольными частичными суммами кратного тригонометрического ряда Фурье (10.118) называ7отся суммы О ) Нри этом скалярное произведение двух любых функций определяется как интеграл от произведения этих функций по кубу П. ГЛ. 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ вида тн Кприг.зтн(Х~ з ) ~~ °,~~ ~зпе т= — т~ пя= — тн Говорят, что кратный гпригономегпрический ряд Фурье (10.118) суммируем в данной точке х прямоугольным методом (или методом Принсгейма), если в этой точке суи1ествует предел тя -эсо (при стремлении к бесконечности каждого индекса тм тг, ... ..
п1к) Оба метода суммирования имеют свои преимущества и свои недостатки. При рассмотрении кратного тригонометрического ряда Фурье как ряда Фурье по ортонормированной системе естественно располагать его члены в порядке возрастания ~п~ и иметь дело со сферическими частичными суммами. Прямоугольные частичные суммы применяются при исследовании поведения кратных степенных рядов около границы области сходимости. Следует отметить, что определение суммы ряда как предела прямоугольных сумм (в противоположность определению,. опирающемуся на предел сферических сумм) не накладывает никаких ограничений на бесконечное множество частичных сумм этого ряда.
Прежде чем формулировать уг човия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье, определим некоторые характеристики гладкости функции Х переменных. 2. Модуль непрерывности и классы Гельдера для функции Ж переменных. Пусть функция Ж переменных З (х) = 1(хь ха, ..., хн) определена и непрерывна в Х-мерной области Р. Определение 1. Для каждого б ) О назовем модулем н е и р еры в ности функции 1'(х) в области Р точную верхьиою грань модуля разности (1'(х') — 1'(хо) ! иа множестве всех точек х' и х", когпорые принадлежат области Р и расстояние р(х', хо) между которыми ме~ыие б. Будем обозначать модуль непрерывности функции 1'(х) в области Р символом ю(б, 1").
Определение х. Для любого н из полусегмента О < и < 1 будем говорить, что функция 1(х) принадлежит в области Р классу Гельдера С с показателем и, и писать 1"(х) Е е С" (Р), если модуль непрерывности функции 1'(х) в области Р имеет порядок ю(д, 1") = о(6 ) при О < и < 1 и ю(6, 1') = 0(6' ) при н = 1. 1 7кРлтные тРиГОнОметРические РЯДЫ и интеГРллы ФУРье 373 Пусть теперь о л ю б о е (не обязательно целое) п о л ож и те ль н о е число: о = 7+»с, где т--целое, а »с принадлежит полусогмснту 0 (»с < 1.
Определение д. Будем говорить, что функи,ия 1'(х) принадлежит в областпи Р классу Ге'льдера Са с показателем с» ) О, сс писать 1 (х) Е Ссс(Р), если все частньсе производные функции )'(х) порядка т непрерывны в области Р и каждая частлная производная порядка г принадлежит классу С (Р), введенному в определенис(, 2. 3. Условия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
Начнеь( с установления простейших условий абсолютной и равномерной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье. Теорема 10.в1. Если функция 1(х) периодически (с периодом 2к по каждой из переменных) продолжена на все прострв»ютво Е~ и обладает в Е)У непрерывными производссыми порядка з = (счс(2)+1, где [сч/2) оелая часть с(села Х(2, то кратнъсй спригонометрический ряд Фурье функции 1(х) сходится (к это(с функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве Е~. Д о к а з а т е л ь с т в о. Договоримся обозначать символом д=1 '( д"'1 коэффициент Фурье производной с номером и = дх-,) ')' сс д*'" 1 = (пс,пг,...,пк). Производя интегрирование по частям, получим, что ~ ) = ть~„(для любого 17 = 1, 2, ..., с»С), так с' д1 ч) дхс что ~ (х ) = Я(((711(+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
