Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Замечание 3. Естественно возникает вопрос о том, можно ли в теореме 10.15 ослабить требование гладкости на функцию 1(х), сохраняя утверждение этой теоремы о равномерной па сегмента ( — к, к] сжодимости тригонометрического ряда Фурье функции 1(х). Напомним., что принадлежность 1(х) на сегменте ( — к, к] классу Гельдера С по определению означает, что модуль, непрерывности Дх) на этом сегменте имеет порядок 350 ГЛ.
10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Теорема Дини — Липшица содержит окончательное (в терминах модуля непрерывности функции) условие равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции, ибо можно построить функцию 1(х)> удовлетворяющую условию 1( — х) = 1(я) с модулем непрерывности, имеющим па сегменте ( — т, я) порядок 0(1/(1п 1/6)) и с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве точек, всюду плотном на сегменте 1) В условиях теоремы 10.10 после периодического (с периодом 2я) продолжения функция 1" (х) оказывалась принадлежащей классу Гельдера С" на всей бесконечной прямой. Естественно возникает вопрос о поведении тригонометрического ряда Фурье функции 1(х), принадлежащей классу Гельдера Со только па некотором сегменте [а, Ь], а всюду вне этого сегмента удовлетворяющей лишь обычному требованию кусочвой непрерывности.
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 10.16. Пусть функция 1(х) кусочно-непререявна на сегменте [ — к, к] и периодически (с периодом 2к) продолжена на всю бесконечную прямую. Пусть далее на неко«вором сегменпге [ач Ь], имею«цем дугину, меныиую 2к, эта функция принадлежит классу Гельдерн С с произвольным положительным показвлпелем о (О < о < 1). Тогда для любого б из инлперва- Ь вЂ” о, ла 0 < б < — ' тригонол«етрический ряд Фурье функции 7'(х) 2 сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [а+б, Ь вЂ” б].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим функцию б(х), которая на сегменте [а, Ь] совпадает с 7'(х), на сегменте [Ь, а + 2к] является линейной функцией вида Ах + В., обращающейся в 1"(Ь) при х = Ьи в 1(а) при х = а + + 2к 2), и которая периодически (с периодом 2к) продолже-х 0 а я Ь 2яа+2язя х на с сегмента [а, а+ 2к] на всю бесконечную пряму ю (на рис. 10.1 жирная линия изображает график функции 1(х), а штриховая линия -- график построенной по ней функции я(х)). ы ) «Доказательство теорел~ы Дини — Липшица и построение только что указанного примера можно найти, например, в книге А.
Зигмунда «Тригонометрические ряды». Т. 1. — Мз Мир. 19бб, с. 108 и 477. е) Ус.ювие обращения функции .4х -г В в 1(Ь) при х = Ь и в 1(о) при 1(о) — 1(Ь) х = о З- 2х однозначно определяет постоянпыс А и В : А = о -1- 2я. — Ь ' (о + 2я)1(Ь) — Ь1(о) а+ 2я — 6 г 5 БОлее тОчные УслОВия РЛВнОмернОЙ схОдимОсти 351 Очевидно, что построенная нами функция й(х) удовлетворяет условию и( — к) = д(к) и принадлежит классу Гельдера С (с тем же положительным показателем о, что и 1(х)) на всей бесконечной прямой ) .
В силу теоремы 10.15 и замечания 1 тригонометрический ряд Фурье функции а(х) сходится равномерно на всей бесконечной прямой, а поэтому в силу теоремы 10.13 тригонометрический ряд Фурье функции 1'(х) при Ь вЂ” о любом б из интервала 0 < б < — сходится (к этой функции) 2 равномерно на сегменте [а+ б, 6 — б). Теорема доказана. 3 а м с ч а н и е 4. Утверждение теоремы 10.16 остается справедливым и для сегмента [а, 6), имеющего длину, р а в н у ю 2к (т. е.
для случая 6 = а+ 2в), но в этом случае при доказательстве теоремы следует, фиксировав произвольное д из интервала 0 < с < к, взять функцию д(х) совпадающей с ) (х) на ссгменб1 те [а+- а+2к — -~ линейной на сегменте [а+2к — —, а+2к+-~ 2' 2[' ! 2' 21 и периодически (с периодом 2к) продолженной с сегмента б б1 а+ — а+ 2к+ — ~ на всю бесконечную прямую.
Если же сегмент 2' [а, 6) имеет длину., превосходящую 2к, то из принадлежности 1(х) классу Гельдера Со на таком сегменте и из условия периодичности )'(х) (с периодом 2к) вытекает, что 1'(х) принадлежит классу Со на всей бесконечной прямой, т. е. в этом случае мы приходим к теореме 10.15. 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции. Определение 1. Будем называть функцию з" (х) к у с о ч н ог ель деро в ой на сегменте [а, 6), если эта функция кусочно- непрерывна на сегменте [а, 6) и если сегмента [а, 6) при помогци конечного числа точек а = хе < х~ < ха < ...
< х„= 6 разбивается на частичные сегменты [хь м хь) (6 = 1, 2, ... ...., и), на каждом из которых эта, функция принадлежит классу Гельдера С"" с некоторым положительным показателем гть (О < сгь < 1), причем при определении класса Гелъдера на частичном сегменте [хь Н хь) в качестве значений функции на концах сегмента следует брать предельные значения 1(хь 1 + 0) и ~(хь — 0) ). ) Достаточно учесть, что К(х) всюду непрерывна и что линейная функция имеет ограниченную производную и потому принадлежит классу Гельдера С при любом а < 1. в) Квк у всякой кусочно-непрерывной функции, у кусочно-гельдеровой функции значения в каждой точке хь обязаны быть рваны полусумме прввого и левого предельных значений в этой точке, т.
е. должно быть спрввехтиво равенство 1(хь) = Я2)Яхв — О) э 1(хь -в О)). 352 ГЛ. 10 Ряды и интеГРлл ФуРье Иными с;ювами, область задания всякой кусочно-гельдеровой фу.нкции распадается на конечное число пе имеющих общих внутренних точек сегментов, на каждом из которых эта функция принадлежит классу Гельдера с некоторым положительным показателем. Каждый из этих сегментов мы будем называть участком гладкости функции. Определение й. Будем называть функцию 7'(х) к у с о ч н ог л а д к о й на сегменте [а, 6], если эта функция кусочно-непрерывна, на сегменте [а, 6] и имеет но, этом сегменте кусочнонеирерывную производную ), гп.
е. если функция 1(х) кугочнонепреръ~вна на сегменте [а, 6] и ее производная1'(х) существует и непрерывно, всюду но, этом сегменпщ, за исклн1чением, быть может, конечного числа точек, в каждой из когпорих функция ~'(х) имеет конечные правое и левое предельнъ~е значения. Ясно, что всякая кусочно-гладкая на сегменте [а, 6] функция является кусочно-гельдеровой на этом сегменте. Имеет место следующая основная теорема. Теорема 10.17. Пусгпь кусочно-гельдеровая на сегменте [ — и, и] функция 1" (х) периодически (с периодом 2п) продал:мсена на всю бесконечную прямую.
Тогда гпригонометрическиа ряд Фурье функции 1" (х) сходипюя, в каждой пючке х бесконечной т1рямой к значению 1(х) = (1,12)[~(х — О) + 1" (х+ О)]., причем сходимость этого ряда является равномерной на каждом фиксированном сегментпе, лежащем внутри участка гладкости функции 1" (х) . Д о к а з а т с л ь с т в о. Утверждение теоремы в равномерной сходимости на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка гладкости, сразу вытекает из теоремы 10.16. Отсюда же вытекает и сходимость тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) в каждой в н у т р е н н е й точке участка гладкости функции 1(х) 2) . Остается доказать сходимость тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) в каждой точке соединения двух участков гладкости.
Фиксируем одну из таких точек и обозначим ее через х. Тогда найдутся постоянные М1 и М2 такие, что при любом достаточно малом положительном 6 справедливо неравенство [1" (х+1) — 1" (х+О)] < М11~' (О < гт1 < 1), (10.75) а при любом достаточно малом отрицательном 1 справедливо неравенство [1(х+1) — 1(х — 0)[ < М2.]Х] ' (О < гт2 < 1). (10 76) ) См. определение 1 из п. 2 г 4 этой главы. а) Ибо каждую внутреннюю точку участка гладкости можно охватить сегментом, лежащим внутри этого участка. 1 5 БОлее тОчные УслОВЛЯ Рс«вно«с«ВРнОЙ схОДимОсти 353 Обозначим через М наибольшее нз чисел ЛХ«и М2, а через сг наименьшее из чисел о«и с72. Тогда при ~1 ~ < 1 в правой части каждого из неравенств (10.75) и (10.76) можно писать ЛХ ~!~о.
Фиксируем теперь произвольное е > 0 и по нему д > О, удовлетворяющее неравенству (10.70) и настолько малое, что при ~ 1 ~ < 5 справедливы оба неравенства (10.75) и (10.76) и в правой части этих неравенств можно брать число М !1 !". Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 10.15, мы придем к равенству (10.7Ц и для доказательства теоремы нам остается убедиться, что в фиксированной нами точке х справедливы оценки (10.72), (10.73) и (10.74).
В замечании 2 п. 5 мы отметили, что оценки (10.73) и (10.74) справедливы для любой только кусочно-непрерывной и периодической (с периодом 2к) функции. Остается доказать справедливость для всех номеров и, оценк«! (10.72). Имея в виду, что Х(х) = (1/2) [Х(х — О) + Х(х+ О)) и что «) д / 1« у 8Н1 П .«- — ! Г 81П 71 -1; — ! 1 вп1 П -!- — ! 2яп— 2яп— 28ш — е 2 О 2 — б 2 мы можем ш«едующим образом переписать интеграл, стоящий в левой части (10.72): 11 77 яп и-«- — 1! [У(.+1) У(.)) ~,~.1= 2яп— «<6 1 1 т яп и -«-— — [Х(х+ 1) — Х(х+ О)) с«1+ 2яп— О 2 яп (и-Ь -) ! + — [Х(х + 1) — Х (х — О)) с)1.
(10.77) 2яп— эш(п+ 1/2)! ) В силу того, что функция сз(!) является ч е т н о й, 2 эш(! 772) т. е, для любого 1 удовлетворяет условию сз( — !) = «7(!). Легко убедиться, 8 а что для такой функции ) «з(!) 77! = ) ф!) 77! (достаточно в одном из этих о — 1 интегралов сделать замену ! = — т),и поэтому 8 8 о — Х ~ (!) 4! = Х .(!) И! = Х ~(!) с!Е 2 8 е — 8 12 В. А. Ильин и Ес Г. Позняк, часть 1! 354 ГЛ. ГО РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Для оценки интегралов, стоящих в правой части (10.77), воспользуемся неравенствами (10.75) и (10.76), беря в правой части этих неравенств число М~ 2 ~и.
Учитывая уже применявшуюся 1 к при доказательстве теоремы 10.15 оценку < — (при 2 ~1~ < и) и неравенство (10.70), будем иметь г <в г о 2 / 2 о 3 о — гг Оценка (10.72), а с ней и теорема доказаны. Следствие 1. Уагверждение теоремы 10.17 буделп тем более справедливо, если в ее формулировке вместо кусочно-гбльдеровой взять кусочно-гладкую (на ( — и, к)) функиию, периодически (с периодом 2к) продолженную на всю бесконечную прямую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
