Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так как каждая функция Т„,(х) непрерывна па сегменте [ — к, и], то по теореме 1.8 и функция 1'(х) непрерывна на сегменте [ — к, к]. Для любого е > 0 найдется многочлен Тп(х) такой, что ]1(х) — Тг,(х)[ < е,г2 длЯ всех х из сегмента [ — и., и]. Стало быть, ]~( — к) — Т„( — к)] < е(2, ]~(п) — То(п)] < егс2. Из последних двух неравенств и из вьггекающего из условия периодичности (с периодом 2п) равенства Тп( — п) = Т„(л) заключаем, что ]1( — к) — 1(п)[ < е, откуда 1( — к) = 1(к) (в силу произвольности е > 0).
2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. Опираясь на теорему Вейерштрасса, докажем следующую основную теорему. Теорема 10.10. Тригонометрическая сиспгема (10.11) является замкнутой '), т,. е. для любогй кусочно-непрерывной на сегменте [ — к, и] функции 1" (х) и любого положительного числа е найдется тригонометрический мпогочлен Т(х) такой, что [[1(х) — Т(х)]] = < е. (10.34) Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что для любой кусочно-непрерывной па сегменте [ — и, к] функции 1(х) и для любого е > 0 найдется непрерывная на этом сегменте функция Г(х), удовлетворяющая условию г'( — и) = г'(к) и такая, что < е/2. (10.35) ) А стало быть (и силу теоремы 10. 7) и и о л и о й.
г 3 ЗАыкнутость тРиГОИОУ!етРис!ескОЙ системы 327 В самом деле„достаточно взять функцию Г(х) совпадающей с Г(х) всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции 7(х) и точки х = к, а в указанных окрестностях взять Г(х) линейной функцией так, чтобы Г(х) являлась непрерывной на всем сегменте [ — л., к] и удовлетворяла условию Г( —.Г) = Г(к).
Так как кусочно-непрерывная функция и срезающая се линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва Г(х) и точки х = к достаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (10.35). По теореме Вейерштрасса 10.9 для функции Г(х) найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что для всех х из сегмента [ — к, к] справедливо неравенство [Г(х) — Т(х) [ < г,!(2ъ'2к). (10.36) Из (10.36) заключаем, что < е/2. (10.37) ЦГ( ) — Т(. )Ц = Из (10.35) и (10.37) и из неравенства треугольника для норм Ц Г (х) — Т(х) Ц < Ц Г (х) — Г(х) Ц + ЦГ(х) — Т(х) Ц вытекает неравенство (10.34).
Теорема доказана. 3 ам е чан и е 1. Из теорем 10.10 и 10.7 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (10.11) является полной. От- /2 сюда в свою очередь вытекает, что система (~ — зшпх~ (и = = 1, 2, ... ) является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерььвных на сегменте [О, я] (или соответственно на сегменте [ — к, 0]). В самом деле, всякая кусочно-непрерывная на сегменте [О, к] функция 1(х), ортогональная на этом сегмен- 12 те всем элементам системы (~! — вшпх~, после нечетного продолжения на сегмент [ — к, О] оказывается ортогональной на сегменте [ — к, к] в с е м элементам тригонометрической системы (10.11).
В силу полноты системы (10.11) эта функция равна нулю на [ — к, я], а стало быть, и на [О, к]. Совершенно аналогично до- 1 /2 кань!вается, что система —, ~! — сов пх (и = 1, 2, ... ) являет- ,у- ~1 ся полной на множестве всех функций., кусочно-непрерывных на сегменте [О, я] (или соответственно на сегменте [ — к, 0]). 3 а м е ч а н и е 2. Можно показать, что среди ортонормированных систем, указанных в 1 1, системы, образованные с помощью полиномов 328 ГЛ. )0 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Лежандра, нолнномов Чебышева н функций Хаара, являются замкнутымн, а система Радемахера замкнутой не является. 3.
Следствия замкнутости тригонометрической системы. Следстпвие 1. Для любой кусочно-непрерьсвной на сегмен; те [ — к, к] функции «(х) справедливо равенство Парсе- валя со сс с "— ' с.~с,, 'с.сс) =-') с'с,)с, ссс.сс) к=с (вытекает из теоремы 10.5). Следстпвие в. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной на сегменте [ — к, сг] функции «(х) сходится к этой функции на укаэанном сегменте в с р е д н, е м (вытекает из теоремы 10.6 и замечания 2 к этой теореме).
Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной на сегменгпе [ — к, к] функции «(х) можно почленно интегрировать на эгпом сегменте (вытекает из предыдугцего следствия и из теоремы 1.11 гл. 1). Следсгпвие л. Если две кусочно-непрерывные на сегмен; те [ — к, к] функции «(х) и 8(х) имесот, одинаковьсе тригонометрические ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сегмегипе (вытекает из теоремы 10.8).
Следствие б. Если гприго)юлсетрическийряд Фурье кусочно-непрерывной на сегменгпе [ — -г, сг] функции «(х) сходится равномерно на псков)ором содержасцемся в [ — к, к] сегменте [оо б], то он сходится на сегменте [а, б] именно к функции «(х). Доказательство. Пусть Е(х) . та функция, к которой сходится равномерно па [а, б] тригонометрический ряд Фурье функции «(х). Докажем, что г'(х) = «(х) всюду на сегменте [а, б]. Так как из равномерной сходимости на сегменте [а, б] вытекает сходимость в среднем на этом сегменте (см. гл. 1, 8 2.
и. 3), то тригонометрический ряд Фурье функции «(х) сходится к функции г'(х) на сегменте [а, б] в среднем. Это означает,, что для произвольного е ) 0 найдется номер и), начиная с которого п-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье Ев(х) удовлетворяет неравенству ( е«2. (10.39) [[Е(х) — Е.(х)[[ = С другорг стороны, в силу следствия 2 последовательность ов(х) сходится к «(х) в среднем на всем сегменте [ — кс к], а стало быть, и на сегменте [а, б], т. е, для фиксированного нами 1 1 НРОСТЕЙП1ИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 329 произвольного е > 0 найдется номер нг, начиная с которого < егг2. (10.40) Из (10.39) и (10.40) и из неравенства треутольника ЦГ(х) — 1(х)Ц < ЦГ(х) — Я„(х)Ц + ЦЯ„(х) — 1(х) Ц вытекает, что ЦГ(ге) — 7(х)Ц < е. Из последнего неравенства и из произвольности е > 0 следует, что ЦГ(х) — ф(х)Ц = О, а отсюда на основании первой аксиомы для нормы заключаем., что Г(х) — 7(х) есть н у л е в о й э л е м е н т пространства кусочно-непрерывных на [а, Ъ) функций, т.
е. функция, тождественно равная нулю на сегменте [а, Ъ). Следствие 5 доказано. Замечание 1. Конечно, в следствии 5 сегмент [о, Ъ) может совпадать со всем сегментом [ — и, л.), т. е. из равномерной сходгтмоетп ряди Фурье функции 1'(х) на всем сегменте [ — и, л) следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к фунт'ции ) (х). 3 а м е ч а н н е 2. Совершенно аналогичные следствия будут справедливы и для ряда Фурье по любой другой замкнутой ортонормированной системе в прострелютве кусочно-непрорывных на произвольном сегменте (аз Ъ) функций со скалярным произведением (10.2) и нормой (10.8). Примерами таких систем могут служить указанные в 8 1 ортонормированные системы, связанные с полиноъшми Лежшгдра и Чебышева, и система Хаара. 8 4.
Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье 1. Вводные замечания. В математической физике и в ряде других разделов математики существенную роль играет вопрос об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье функции 7 (х) сходится (к этой функции) в данной точке т сегмента [ — и, и). Еще в конце прошлого века было известно, что существуют непрерывные на сегменте [ — к, я) функции, удовлетворяющие условию 7( — к) = 1(н), тригонометрические ряды Фурье которых расходятся в наперед заданной точке сегмента [ — и, и) (или даже расходятся па бесконечном множестве точек сегмента [ — к, я), всюду плотном на этом сегменте) ) .
) Первый пример такой функции был построен фршщузским математиком Дю Буа Ралмоном в 1876 г. ззо ГЛ. 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Таким образом, одна непрерывность функции 7'(х) на сегменте ( — к, к] без дополнительных условий не обеспечивает не только равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции, но даже сходимости:этого ряда в наперед заданной точке указанного сегмента. В этом и в следующем параграфах мы выясним, какие требования следует добавить к непрерывности функции 1" (х) (или ввести взамен непрерывности у(х)) для обеспечения сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а также для обеспечения равномерной сходимости указанного ряда на всем сегменте ( — и, к] или на какой-либо его части.
При изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной (или даже строго непрерывной) на сегменте [ — к, к] фу.пкции ('(х) сходиться хотя бы в одной точке этого сегмента? Положительный ответ па этот вопрос был получен только в 1966 г. Этот ответ является следствием фундаментальной теоремы, доказанной в 1966 г. Л. Карлесоном ) и решившей знаменитую проблему Н. Н. Лузина 2), поставленную еще в 1914 гл тригонометрический ряд Фурье любой функции у'(х), для когаорой сугцествует понимаемый в смысле Лебега интеграл ] 7"г(х) дх, сходитпся к этой функции почти всюду на сегменте ( — к, и] ') .
Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только любой кусочно-непрерывной, но и любой интегрируемой на сегменте ( — и, к] в собственном смыште Римана функции 7'(х) сходится к этой функции почти всюду на сегменте ( — к, к] (ибо для такой функции существует интеграл ] 1 (х) дх в смысле Рима— л на, а стало быть, и в смысле Лебега). ) Л, Карлесон — современный шведский математик.
Полное доказательство теоремы Карлесона можно найти в сборнике переводных статей: «Математикам 1967. Т. Н, ай 4. С. 113.132. ~) Николай Николаевич, Лузин — советский математик, основатель современной московской математической школы по теории функций (1883 — 1950). Постановку проблемы Лузина, решенной Карлесоном, и других его проблем можно найти в книге Н. Н.
Лузина «Интеграл и тригонометрический ридм Мв Лл Гостехиздат, 1951. з) ) УОпределение интеграла в смысле Лебега и сходимости почти всюду на данном сегменте см. в гл. 8 этой книги. г 4 ИРОстей!Иие УслОВиЯ РАВнОмеРнОЙ схОдимОсти 331 Заметим, что ею>и функция 1!х) интегрируема на сегменте [ — к, к] не в смыюге Римана, а только в смыс>>е «)ебега> то тригонометрический ряд Фурье этой функции может не сходиться ни в одной точке сегмента ~ — к, к]. Первый пример интегрируелюй на сегменте ~ — к> к] в смыюге Лебега функции 1 !х) со всюду расходящимся тригонометрическим рядом Фурье был построен в 1923 г. советским математиком А. Н. Колмогоровым ') . 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Договоримся о следующей терминологии. Определение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
