Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Многочлены, определяемые равенствами Тс(х) = 1, Т„(х) = 2 " х х совп(ахссовх) при п = 1, 2, ..., называются полипом а ми Ч ебыш е в а. Среди всех многочленов и-й степени с коэффициентом при х" > равным единице, полипом '-1ебышева Т„(х) имеет наименьший на сегменте — 1 ( х < 1 максимум модуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов Чебышева функции образ».ют ортонормированную на сегменте — 1 < х ( 1 систему. 3 . В теории вероятностей часто применяется так называемая с и с т ема Радемахера ) 6„(х) = х(2" х) (и= О, 1, 2,...), гдо»г(1) = абп(вш 2я»1. Доказывается, что эта система ортонормирована на сегменте 0 < х < 1. 4 . В раде исследований по теории функций находит применение так э~ называемая с и с т е м а Х а а р а ), являющаяся ортонормированной на сегменте 0 < х < 1.
Элементы этой системы Х„(х) определяются Лля всех и! и = О, 1,... и лля всех к, принимаюп»их значения 1, 2, 4,..., 2". Онн имеют внд 2к — 2 2к — 1 ~/2' при ( х < 2 лч 2"чл »»х 2к — 1 21» Х. (х) = 2. „„— «, 2" »» 2" 0 в остальных точках [О, Ц. Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого же вида, как функция уг2" вкпх на сегменте [ — 2»"е 1, 2»" е~»]. Для каждого фиксированного номера и при увеличении значешля к эта ступенька сдвигается вправо. Всюду вне соответствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно равна нулю. Пусть в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве т» задана произвольная ортонорь»ированная система элементов 1»рь1.
Рассмотрим какой угодно элемент ) пространства г». ) Радемакер немецкий математик (род. 1892 г.). ) Хаар немецкий математик (1885 -1933). ~ 1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБН1ИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 317 ~ь = ()', Фь)., Й = 1., 2, ... Естественно назвать конечную сумму и Н = ~~',Ьфь (10.13) ь=1 и-й частичной суммой ряда Фурье (10.12). Рассмотрим наряду с и-й частичной суммой (10.13) произвольную линейную комбинацию первых и элементов ортонормированной системы )узь) ь ~ 'С„фь (10.14) в=1 с какими угодно постоянными числами С1 ~ Сг~ ° .
° Сь. Выясним, что отличает п-ю частичную сумму ряда Фурье (10.13) от всех других сумм (10.14). Договоримсяназывать,велипзпу!)~ — ф! отклонением у от З (по норме данного евклидова пространства). Имеет место следующая основная теорема. Теорема 10.о.
Среди всех сумм вида (10.14) наименьтее отклонение от элемента ~ ею норме данного евклидова прострапства имеет и-л частичном сумма (10.13) ряда Фурье элемента 7'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая ортопормированность системы (фь) и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать П 2 п П , "'С,ф„— У = , ''С,Ф, — У, '~'С,ф, — У ь=1 в=1 В=1 = ~ С„'(Ф„, ф,) — 2 ~ 'С,У, ф„) + (У, У) = в=1 в=1 ь и п =~ сь-2~ С,К+~Л =~ (С,-Ь)'-~Д+~и . Определение 5. Назовем рядом Фурье элемента 7" по ортонормированной системе )Фь) ряд вида ~~', Ьфь, (10.12) ь=1 в котором через 7ь обозначены постоянные числа, называемые коэффициентами Фурье элемента ~ и определяемые равенствами 318 ГЛ. 1О РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (10.17) ) Ф. Бессель — немецкий астроном и математик (1784-1846). Итак, и и п ,'! Сй1!!й — 1" = ~~! (Сй — 7й) + ~~~~~ — гг 7й.
(10.15) й=1 й=1 й=1 В левой части (10.15) стоит квадрат отклонения суммы (10.14) от элемента 7 (по норме данного евклидова пространства). Из вида правой части (10.15), следует, что указанный квадрат отклонения является наименьшим при Сй = 7й (ибо при этом первая сумма в правой части (10.15) обращается в нуль, а остальные слагаемые в правой части (10.15) от Сй не зависят).
Теорема доказана. Следстпвие 1. Длл произвольного элемента 7' данного евклидова пространства и любой ортонормированной глютелсы, ( 1Рй) при произвольном выборе. постолниь!х Сй длл любого номера тг. справедливо неравенство п и 2 — 7й < ~! Сйфй — 1" . (10.16) й=1 й=.1 Неравенство (10.16) является непосредственным следствием тождества (10.15).
Следствие 2. Длл произвольного элемента !" данного евклидова пространства, любой ортонормирова1сной системы (111й) и любого номера и справедливо равенство и 2 и ~Ы. — ~ = ~~Л2- ЕФ й=-1 й=1 часто называемое тоэ!сдествам Бессели 1). Для доказательства равенства (10.17) достаточно положить в (10.15) Сй = 1й.
Теорема 10.4. Длл любого элемента )' данного евклидова прос1пранства и любой ортонормированной системы (е(!й) справедливо следрюшее неравенство: ~~й'< ~~й', (10.18) й=-1 называемое неравенством Бессели. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неотрицательности левой части (10.17) следует, что для л ю бог о номера и 7г < ~~~~~2 (10.19) й=1 1 1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБН1ИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 319 ~/2я ~ ( угя уся ) ь=! (10.20) где коэффициенты Фурье ~ь и ~ь определяются формулами — 1 1 7„= — Д(х) сов Кх с1х, Д„= — О'(х) вшах с1х (й = 1, 2, ... ). уся ' ~/я Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно-непре- рывной на сегменте — я < х < я функции 1(х), имеет вид (10.21) Отклонение 1(х) от 8(х) по норме в этом случае равно так называемому среднему квадратичному отклонению (10.
22) Впрочем, в теории тригонометрических рядов Фурье принята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (10.20), так и неравенства Бесселя (10.21). Именно тригонометрический ряд Фурье (10.20) обычно записывают в виде — О+ ~~1 (овсовых+ Ььвшйх), 2 в=1 (10.20') Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в левой части (10.18), обладает ограниченной последовательностью частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в неравенстве (10.19) к пределу при и — 1 оо (см. теорему 3.13 из вьш.
Ц, мы получим неравенство (10.18). Теорема доказана. В качестве примера обратимся к пространству всех кусочно- непрерывных на сегменте — я < х < я функций и в этом пространстве к ряду Фурье по тригонометрической системе (10.11) (этот ряд принято называть тригонометрическим ряд о м Ф у р ь е). Для любой кусочно-непрерывной па сегменте — я < х < я функции 1(х) указанный ряд Фурье имеет вид 320 ГЛ. 00 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ где 0 = '--'- = —,)' П ) й' гг аь = —" = — ) 1 (х) соз 'кх дх, г' г (10.23) бь = — ' = — ) 1'(х) вт Их Йх Уг угк гг (к=1,2, ...). При такой форме записи неравенство Бесселя (10.21) принимает вид — '+~ (а~~+б~~) < — )' 1"г(х)дх.
(10.21') гг= 1 — к 3 а м е ч а н и е. Из неравенства Бесселя (10.21') вытекает, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте — к < х < к функции 1(х) величины ая и бв (иазываемые т р и г о и о м е т р ическими коэффициентами Фурье функции 1(х)), стремятся к нулю при й — > гх0 (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (10.21')). й 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать произвольную ортонормированную систему (угь) в каком угодно бесконечномерном евклидовом пространстве Л.
Определение й. Ортонормировапная система (фь) называется замкну той, если для любого элемента Г" данного евклидова, пространства Л и для любого полоэгсительного чи; ела е найдется такая линейная комбинация (10.14) коггечггого числа элементов (фь), отклоггегсие которой от 1 (по норме пространства Л) меггьше е. Иными словами, система (грь) называется замкнутой, если любой элемент у данного евклидова пространства Л можно приблизить по норме этого пространства с любой степенью точности линейными комбинациями конечного числа элементов (фь). Замечание 1.
Мы опускаем вопрос о том, во всяком ли евклидовом пространстве существуют замкнутые ортонормированные системы. Отметим, что в гл. 11 изучается важный подкласс евклидовых пространств — так называемые г и л ь б е рт о в ы пространства и устанавливается существование в каждом таком пространстве замкнутых ортонормированных систем. г 2 замкнутые и пОлные ОртОИОРмиРОВлнные системы 321 Теорема 10.5. Если ортонормированная система тгг!!й) явллется замкнутой, то для тобаго элеменп!а з" ро,ссматриваемого евклидова пространства неравенство Бессез!я !10.18) переходит в точное равенство ч Зт2 и Зт Я 2 й=1 (10.24) 71 1шг ~! Тйгрй — 1 = 0 й=! (10.26) Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение этой теоремы непосредственно вытекает из равенства !10.17) и из предыдущей теоремы.
3 а м е ч а и и е 2. В пространстве всех кусочпо-непрерывных на сегменте — к < х < к функций сходимость по норме (10.26) переходит в сходимость на этом сегменте в с р е д н е м (сы. и, 3 8 2 гл. Ц. Таким образом, если будет доказана замкнутость тригонометрической системы !10.11), то теорема 10.6 ) М. Парсеваль - французский математик, умерший в !836 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
