Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для любого Л, превосходящего с, запишем равенство 00 й СО 00 оо й )' 1(д) Ид — )' К(х) с)х = )' г)д )' ~(х, д) йх — ) йд )' ~(х, д) дх = с а с а с а 00 00 00 СО и 00 =Н3'йх, д) с)х = Вд,)'йх, д) с)х+ Н1Пх, д) 1 с й й й и (9.21) Перейдем к оценке последних интегралов в соотношении (9.21). Так как по условикз ) 1(д) дд сходится, то по данному е > 0 с можно указать такое 1т > с, что выполняются неравенства 0 < < 1 1(д)дд < е!'2 ').
Заменяя в этих неравенствах 1(д) его й выражением через интеграл, получим следующие неравенства: 0 < ) дд ) !"(х., д) с1х < е/2. Отсюда и из неотрицательпости й а !" (х, у) заключаем, что при выбранном тт ) с и любом Л > и ') Левое из этих неравенств следует из неотрицвтельпости функции 1(х, у) прит)аиу)с. *з 2 несОБстВенные интеГРАлы, ВАВисящие От НАРАметРА 289 справедлива оценка [9.23) 10 В. А. Ильин и Э.
Г. Позняк, часть П 0 ~ () дчУ [ !"1х, У) Йх < г(2. [9.22) й й Зафиксируем теперь Л так, как указано выше, и воспользуемся произвольностью выбора Л. В полуполосе ! а < х < оо., с < д < Л~ функция ~(х, у) удовлетворяет всем условиям признака Дини равномерной сходимости несобственных интегралов [см. теорему 9.8). Поэтому по данному в > 0 можно выбрать А > а так, что для любого Л > А и для всех у из сегмента [с, Л) выполняются неравенства 0 < [ Г(х, у) дх <, из которых полу- 2(Л вЂ” с) чается следующая оцейка: й со О ~< ) ду [ ~(х, у) дх < г/2. с й Обращаясь к выражению 19.21) и к оценкам [9.22) и [9.23) последних интегралов в этом выражении, мы видим, что для произвольного в > 0 можно выбрать А > а так, что для любого Л > А выполняется неравенство (9.20).
Доказательство теоремы завершено. 3. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра. Введем понятие несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра. Пусть функция ! (х, у) задана в полуоткрытом прямоугольнике П = т1а < х < 6, с < у < а). Допустим, что при любом фиксированном у из сегмента [с, д] ь несобственный интеграл второго рода ) т" (х, у) дх сходится. При а этих условиях па сегменте [с, д) определена функция ь Лу) =ХУ[х у) х [9.24) о называемая несобственным интегралом второго рода, зависящим от пароме!про у.
В теории таких интегралов важную роль играет понятие равномерной сходимости. Сформулируем это 1юнятие. Определение. Несобстпвенный интеграл (9.24) называегпся. равномерно сходящимся п о парамезпру у на сегменте [с, д), если вн сходится для каждого у из сегмента [с, с~ и для любого г > 0 можно указать таков б > О, зависящее 290 ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 только от г, что для любого а иг интервала 0 < о < д и для всех у из сегмента ~с, 4) вьтолняется неравенство Ь 11х, у) дх < г. Ь вЂ” а Е 3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов Операции над несобственными интегралами, зависящими от параметра, обоснованные в предыдущем параграфе, позволяют вычислять различные несобственные интегралы.
Рассмотрим примеры вычисления и исследования свойств таких интегралов. 1". Докажем, что интеграл ~~ мпх о (9.25) подынтегральная функция которого в точке х = 0 по опреде- лению равна единице, сходится равномерно относительно о па полупрямой 0 < а < оо. Мы получим сначала некоторые оценки. Заметим, во-первых, что Г "'91 хдх = ' ~ вЬ'+'" ) + С = Ф(о, х) + С. 1+ о" Очевидно, при о > 0 и х > 0 функция Ф(а, х) (являющаяся первообразной для функции е аа в|их) ограничена: ~Ф(а, х)~ <, < 2. (9.26) Оценим следуютций интеграл: е — '' дх (В > О). Для несобственных интегралов второго рода без труда формулируются и доказываются теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по параметру.
Отметим, что с помощью преобразования переменной х, указанных в п. 2 2' 2 гл. 3, несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра у, сводятся к зависягцим от параметра несобственным интегралам первого рода. 1 3 НРименение к несОБстВенным интеГРлллм 291 Интегрируя по частям при любом фиксированном гг > О, найдем | ох явх с х ~Ф(а, Л)) / Ф(о,х) д н Из этого неравенства и неравенств (9.26) получаем следующую оценку: е ох — гЬ (9.27) < — +2 Н ./ х' Н' Из этой оценки вытекает равномерная сходимость интеграла (9.25) по гт на полупрямой О < сг < со. Действительно, пусть е произвольное положительное число.
Выберем по этому е число А > О так, чтобы выполнялось неравенство 4 — < е. А Ясно, что тогда при )т > А, в силу оценки (9.27), для всех сг > О справедливо соотношение — ох в~их е ' ах <е, означающее равномерную сходимость по гх на полупрямой О ( гг < оо исследуемого интеграла (9.25). 2'. Используем только что полученные выводы для вычисления интеграла ) (9.28) о Отметим., во-первых, что указанный интеграл представляет собой предельное значение при сг — ~ О+О функции т'1гт), определенной соотношением (9.25).
Действительно, подынтегральная функция в интеграле (9.25) непрерывна при сг > О и х > О (при х = О эта функция считается равной единице), а интеграл (9.25) равномерно сходится по о на полупрямой О < гт < оо. Поэтому, ') Сходииость рассматриваемого интеграла была установлена в и. 2 З 1 гл.
3. ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ согласно теореме 9.9, интеграл (9.25) представляет собой непрерывную функцию а па полупрямой а > О. Отсюда следует, что 1пп 1(О) = 1 = — дх. (9.29) и — ~ОГО .1 х о Мы получим для функции 1(а) специальное представление,.
с помощью которого будет найдено значение предела (9.29). Это представление получается из выражения для производной 1'(а). Поэтому сначала мы должны убедиться в возможности дифференцирования интеграла (9.25) по параметру и под знаком интеграла. Для этой цели проверим выполнение условий теоремы 9.10 применительно к интегралу (9.25). Очевидны непрерывность подынтегральной функции и ее частной производной по параметру а при о > 0 и х > О.
Обратимся теперь к выяснению вопроса о равномерной скодимости по а интеграла — ) е хвшхдх (9.30) о от частной производной подынтегральной функции в (9.25). Фиксируем любое Ь > О. Так как при всех о > Ь справедливо неравенство ~е п*вшх~ ( е ~ и так как интеграл ) е ~*ах сходито ся, то по признаку Вейерштрасса (теорема 9.7) интеграл (9.30) сходится равномерно по о при о > Ь.
Поскольку Ь любое положительное число, мы можем дифференцировать интеграл (9.25) под знаком интеграла по параметру О при любом о > О. Итак, при о > 0 1 (о) = — е *вшхпх =— 1-Р п-' о Интегрируя левую и правую части последних соотношений, получим при а > 0 1(п) = — = — агс1яа+ С. (9.31) ,1 1 -~- о' Найдем постоянную С. Так как — < 1 при х > О, то из Б1в х х выражения (9.25) при а > 0 получим неравенство ~1(п)~ < е чхдх = —, о из которого вытекает,что йш (1(гх)) = О, НРименение к несОБстВенным интегрлллм 293 и стало быть, 1пп Т(сг) = О.
(9.32) о — ! оо Так как 1шг агс18 гх = гг/2, то из (9.31) и (9.32) находим, что С = а — !со = зггг2. Итак, пРи сг > О фУнкциЯ Т(сг) может быть пРедставлена в следующей форме: 1(сг) = — — агс18 О. 2 Отсюда и из формулы (9.29) получаем значение интеграла (9.28): х 6!их Г !г (9. 33) х 2 о 3 а меч ание. Рассмотрим интеграл К(сг) = с1х. (9.34) О Найдем значение этого интеграла для различных значений сг. При сг > О в интеграле (9.34) произведем замену переменных, полагая гхх = гь Тогда | в!пах 1 / в!ну 1 !г О о При сг < О произведем замену переменных, полагая сгх = — у (у > О). Тогда пйп у гг Тт(о) = — 1 — г1у = — —.
/ у 2 о При сг = О интеграл (9.34), очевидно, равен нулю. Итак, оо я/2 при гт > О, Тг(сг) = "" с1х= О при се=О, — Ягг2 НРи сг < О. Рассмотренный интеграл обычно называется разрывным мнозгсггтелем Дирглхле. С помощью разрывного множителя Дирихле получаем следующее аналитическое представление известной функции вяг! сг, именуемой обычно термином езнак оа ): 11.
вбп(сг) = — г1х. О ') Это наименование связыю с тем, что значения вяп о при а > О, а = О и о < О равны соответственно 1, О, — 1. 294 ИНТВГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИВ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 3 4. Интегралы Эйлера В этом параграфе мы познакомимся с некоторыми свойствами важных неэлементарных функций, называемых интегралами Эйлера ') . Эйлеровым интегралом первого рода или «бета-функцией» называют интеграл 1 В(р, О) = 1 хр 1(,1 — х)9 1«1х. О (9.35) Г(р) = ) е "хр 'дх.
О (9.36) Отметим, что в интеграле (9.36) имеются два типа особенностей: 1) интегрирование по полупрямой О < х < оо; 2) при р < 1 точка х = О является особой точкой подынтегральной функции (подыитегральная функция обращается в бесконечность). В процессе рассуждений мы будем учитывать указанные выше особенности функций В(р, д) и Г(р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
