Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Е п=1 Е Теорема 8.21 (теорема Фату). Если последовательность измеримых и суммируемых на мноэ1сестве Е функций О'„(х)1 сходится почти всюду на Е к предельной функции 1'(х) и если существует постоянная А такая, что для всех»омеРов и, спРаведлиоо неРавенство ) )1а(х)~ дх < А, то пРедельнаЯ функция 1" (х) суммируема 11а множестве Е и для псе справедливо неравенство (')1" (х) ~ дх < А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение функции йп(х) = 1п) ~~ь(х)~ 1) и заметим, что каждая функция 8п(х) Ь)п. неотрицательна и измерима 2) на множестве Е и что последовательность (8„(х)) убывает на множестве Е и для почти всех точек Е сходится к )~(х)!. Кроме того, для любого номера и всюду на множестве Е справедливо неравенство 8.(х) < ~У (х)~, (8.50) из которого (в силу мажорантного признака суммируемости неотрицательной измеримой функции, см.
конец и. 4) вытекает суммируемость 8п(х) на множестве Е. Применяя к последовательности ~8п(х)) теорему 8.20, мы получим, что 1пп ) 8„(х) йх = ) ~1(х)) Йх. (8. 51) ньюс и Е Так как для любого номера и, в силу (8.50), ) дп(х) дх < < ) ~~„(х)~ дх < А, то из (8.51) получим, что ) (Г(х)~ дх < А. Е Е Теорема доказана. ) Эта запись означает, что для каждого т значение 8 (х) является точной нижней гранью значений ~1 (х)), ~1 н(н)~, з) Изыериыость 8 (х) на Е вытекает из теоремы 8.12 предыдущего параграфа. 270 МЕРА И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ 7. Классы Лебега т Р(Е).
Напомним, что линейное пространство Л называется нормированным, если выполнены следующие два требования; 1) известно правило, посредством которого каждому элементу 7 пространства Л ставится в соответствие вещественное число называемое нормой этого элемента и обозначаемое символом ~~~~~д, 2) указанное правило удовзгетворяет следующим трем аксиомам: 1'. ))~))д > О, если у" ф О '), ((~))д — — О, если у = О. 2'. ()Л~!)д — — )Л) ))~))д для любого элемента 7" и любого вещественного числа Л. 3'. Для любых двух элементов 7" и д справедливо так называемое неравенство треугольника ~~7+й~~д < ~~~~~д+ + Ы~д Будем рассматривать в линейном нормированном пространстве Л пРоизвольнУю последовательность элементов 17п).
Определение 1. Последовательность 1Я элементов линейного нормированного пространства й называется ф у нд а,м е н т а л ь и о й, если 1пп ))~ — уп()д — — О. гп>п Определение я. Роворят, что последовательность 17п) элементов линейного нормированного пространсгпва Л с х од и т с я в Л к элементу этого пространства у", если 1пп ((~„— 1(( = О. Такого родасходимостьназываютеще сходимостью по норм е или сильной сходи мастью в Л. Легко доказать,что всякая сходяизаяся в тт' последовательность элементов (Я всегда является фундаментальной. В самом деле, если существует некоторый элемент 7 такой, что !)~п — Х))д — т О при и — у со, то из неравенства треугольника !!1т Яп~~д ~ ~~~1т У!~д+ !1Х,)п~~д сразу же следует, что й ~~У -У„~~д=о.
тоько и — гсо Естественно возникает вопрос о том, является ли всякая фунДаментальнаа послеДовательность элементов 17п) схоДЯЩейсЯ в Л к некоторому элементу у пространства Л. ы ) 0 обозначает нулевой элемент линейного пространства д 272 МЕРЛ И ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГЛ Доказательство.
Пусть (уп(х)) произвольная фундаментальная последовательность элементов пространства Ь" (Я). Положим ео = впр Цш — ('„))„ гп>п (точнаЯ веРхнЯЯ гРань величины й1ш — )я~~„беРетсЯ по множеству всех и~,, удовлетворяющих неравенству т > и).
Из условия фундаментальности последовательности ( Я вытекает, что еп — э О при п -+ ж. Отсюда следует, что можно выбрать подпоследовательность номеров нь (й = 1, 2, ...) такую,что будет сходиться ряд 1) (8.52) Из установленного в дополнении 1 к гл. 10 вып. 1 неравенства Гельдерн ) ~ ~у(. ) 8(св) ~ г1, < (» У(я) Р" 1 ) (3' ~8(ш) ~ 1л) р > 1, д = ~) вытекает, что при р > 1 ( р — 1г Ю-...(*) -~-ь(*)~1 < Р...( ) -~пь(*)~~ (У ' 1*) ь" Е < спь )Е( а из последнего неравенства и из сходимости ряда (8.52) вытекает сходимость ряда ) (8.53) ы ) Достаточно взять пь таким, чтобы выполнялось неравенство вее < 2 в) В указанном дополнении неравенство Гельдера установлено для интеграла Римана.
В случае интеграла Лебега достаточно установить это неравенство лишь для ограниченных функпий 1 (т) и 8(я), но для таких функций это доказательство проводится по той же схеме, что и для интеграла Римана (достаточио рассмотреть л е б е г о в с к о е р а з б и е н и е множества Е). ) При р = 1 неравенство Гельдера применять не нужно, ибо ряд (8.83) совпадает с (8.82). 273 ДОПОЛНЕНИЕ 1 Из сходимости ряда (8.33) и из теоремы 8.20 (см. формулировку этой теоремы в терминах ряда) заключаем, что почти всюду на Е сходится ряд а стало быть, и ряд Но это означает., что а-я частичная сумма указанного ряда, равная ]по,(х) сходится почти всюду на .Е к некоторой функции 7" (х).
Далее., посколькУ ]]ут(х) — ~„ь(х)]] < ст пРи любом номере тп и любом пв ) т и поскольку (у (х) — уоь(х)] — э ]у, (х) — у(х)] при й — э оо почти всюду на Е, то по теореме Фату 8.21 ]]угв(х) — у"(х)]] < г (при любом номере т), а это и означает сходимость последовательности (7" (х)) в ТР(Е) к 1(х).
Теорема доказана. 8. Заключительные замечания. Центральныал моклентом теории Лебега является аамкнутосгпь относительно операции предельного перехода и в теории измеримых множеств (теоремы 8.3 и 8.8), и в теории измеримых функций (теорсма 8.13), и в теории интеграла (теорема 8.22).
Мы проводили все изложение для случая одной переменной. В случае п переменных схема построения теории остается той же самой, но за исходное (основное) множество вместо интервала (а, 6) следует взять открытый и-мерный параллелепипед П (аь < хь < бь) (для чисел аь допускаются значения — оо, а а=1 для чисел Ьь -значения +ос). В 11;мерном случае качественно новым моментом теории является только так называемая теорема Фубини о сведении п-кратного интеграла Лебега к повторному интегралу меньшей кратности. Мы не будем останавливаться на этой теореме.
ДОПОЛНЕНИЕ 1 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ Не ограничивая общности, будем рассматривать функции, определенные на сегменте ]О, 1]. Для каждой такой функции у(я) введем так называемые функции Бара т(х) и ЛХ(т), являющиеся в каждой точке соответственно верхним и нижним пределами в этой точке рассматриваемой 274 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕЕЕГА 1пп ] [Ф (х) — сэ (х)] дх. = ] [ЛХ(х) — т(х)] Ах. ' 'о о Остается заметить,что 1 [ Ф„(х) дх = Я„, о (8.55) (8.56) ) В случае, если в произвольно малой окрестности точки х функция Х(х) не ограничена снизу (сверху), мы полагаем нижний (верхний) предел Х(х) в этой точке равным — оо (-)-оо).
г) В дальнейшем все интегралы в дополнении 1 понимакттся в смысле Лебега. функции Х(х) ) . Итак, по определению т(х) = 1пп Х(тр), ЪМ(х) = 1пп Х(у). у -т ' т -т Заметим, что функции Бара можно определить и по другому: т(х) = 1пп шХ Х(у), М(х) = 1пп ьпр Х(у)~, г-тОЭО (,И т г-то-~-о 1 где св (х) - 6-окрестность точки х (в случае, если х — граничная точка [О, Ц, вместо 6-окрестности следует брать соответственно правую или левую 6-полуок1эестпость то ткн х). Очевидно, функоия Х(х) непрерьшна в ттточке хо тогда и только тогда, когда Х(хо) = т(хо) = ЛХ(хо). Теорема 8.хо.
Для тпого чтобы ограниченная на сегментпе [О, Ц функпя Х(х) была интпегрпруема по Роману ни этлом сегментпе, необходимо и остпатпочтто, чтобы этпа функция была непрерывной почти всюду на сегмента [О, Ц. Доказательство. Для любого номера п разобьем сегмент [О, Ц тш,й — 1 )т1 па 2" интервалов сз,," = (, — ) (й = 1, 2, 3, ..., 2") и введем в рас- 2" 2" смотрение две ступенчатые функции у (х) и Ф„(х), полагая на каждом интервале гас, функции ут„(х) и Ф (х) соответственно равными шХ Х(у) а( ) и епр Х(у), а в кочках lс/2" (к = 1, 2,..., 2") обе функции р;,(х) и Ф (х) а( равными нулю. Тогда для каждой точки х ф Е/2", взяв стягиваюшуюся к х последовательность интервалов т5, ,мы получим,что !пп сэ„(х) = тп(х), 1пв Ф„(х) = М(х). (8.54) Таким образом, сходимость (8.54) имеет место и о ч т и в с ю д у на сегменте [О, Ц.
Так как ступенчатые функции ут„(х) и Ф„(х) заведомо измеримы на [О, Ц, то из (8.54) и из теоремы 8.13 следует, что и функции Бара тп(х) и М(х) измеримы на [О, Ц. Из (8.54) получим, что почти всюду на [О, Ц 11ш [Ф„(х) — со„(х)] = ЛХ(х) — т(х). Из последнего соотношения в силу следствия из теоремы 8.19 вытекает, что 275 ДОПОЛНЕНИЕ 2 где Я„и в„. соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие разбиению (А~,"~) (к = 1., 2, 3, ..., 2"). Из (8.58) и (8.5б) следует, что 1 !пп (з„— в ) = )т(ЛХ(х) — т(х)) дх, о так что (в силу гл. 10 вып. Ц необходимое и достаточное условие инте- 1 грируемости по Риману приводится к равенству ) (ЛХ(х) — т(х)) дх = О.
о Но последнее равенство в силу условия эквивалентности нулю неотрицательной измеримой и суммируемой функции (см. и. 4 $4) означает, что М(х) — т(х) = 0 почти всюду на (О, 1). Теорема доказана. ДОПОЛНЕНИЕ 2 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТО74НОЕ зтСЛОВИЕ ИНТЕГРИР отЕМОСТИ ОГРАНИтТЕННОЙ Ф зтНКЦИИ ПО ЛЕБЕГЪ' Теорелла 8.24. Длл того чтобы огриниченнал на измеримом множестве Е функция Х(х) лвлллась интегрируемой на этом множесп)ве по Лебегу, необходимо и достатао 1по, чтобы зта функция были измерима на множестве Е. Доказательство.
Доказательство достаточности составляет содержание теоремы 8.1б, поэтому в доказательстве нуждается лишь необходнмосз'ь. Пусть функция Х(х) ограничена и иптегрируема по Лебсгу на изморимом множестве Е. Это означает, что верхний и нижний интегралы Лебегз от этой функции равны друг друту, и, стало быть, существует последовательность разбиений То = (Е(")) множества Е такая, что соответствующие последовательности верхних (5„) и нижних (3 ) сумм удовлетворяют условию л„— з„< 1/и, причем каждое последующее разбиение Т„= (Е " ) -(з) ( — 1) является измельчением предыдущего разбиения Т, 1 = (Еь ). (Для построения такой последовательности разбиений достаточно там, где это необходимо, брать произведение вводимых разбиений.) Напомним, что по определению где 1)Х и т, — соответственно точная верхняя и точная нижняя гра( ) ни Х(х) на множестве Е("). Определим две последовательности функций (Х (х)) и (Х (х)), положив функцию Х„(х) равной ЛХ, на множестве Е„, а функцию Х (х) рваной т'") на множестве Е("'.
Очевидно, что для каждого номера п обе функции 7„(х) и Х (х) измеримы на множестве Е (ибо эти функции являются линейными комбинациями характеристических функций измеримых множеств Е, ). Кроме того, очевидно, что последовательность (Х„(х)) не возрастает, а последовательность ( Х (х)) не убывает на множестве Е,причем для 276 МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ любого номера п в каждой точке множества Е справедливы неравенства (х) < 7'(х) < 7„(х). (8.57) Положим Д(х) = 1пп 7„(х), Д(х) = 1пп 7 (х). Из (8.57) заключаем, что в каждой точке х Д(х) < 7(х) < У(х), (8.58) причем в силу теоремы 8.13 функции Дх) и Д(х) измеримы на множестве Е.
Из теоремы Б. Леви 8.20 получим, что !пп ) [з „(х) — 7 (х)) Юх = ) [У(х) — Дх)) йх. (8.59) Изопределенияфункцийу (х) ну (х) вытекает, что ) [7„(х) — 7 (х)~ их= Е = Я вЂ” я„, причем по построению 1пп (8„— я„) = О. В силу (8.59) ато приводит к равенству ) [7(х) — 7(х)) г(х = О. Из последнего равенства и из неогрицательности и измеримости функции [7(х) — Дх)] в силу п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
