Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Теорема доказана. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНК11ИИ 245 3 ам е чан и е. В силу теоремы 8.10 измеримость (ллри любом вещественном а) любого из трех множеств (8.19) можно принять за новое определение измеримости функции 1(х) на многкестве Е, эквивалентное определению, сформулированному выше. 2. Свойства измеримых функций.
1'. Если функция з'г',х) измерима на множестве Е, то она измерима и на любой измеримой части Ег множесгпва Е. Доказательство непосредственно вытекает из тождества Ел '1Э > а) = Ел П Е 11 > а1 и из теоремы 8.6. 2'. Если множество Е предсгпавляет собой конечную или счетную сумму измеримых множеств Еь и если функция г" 1х) измерима на каждом множестве Ев. то Э"1х) измерима и на мноэгсестве Е. Доказательство непосредственно выл екает из тождества Е ~~ > а) = ) ) Е„~~' > а) и из теореьлы 8.3. п=1 3'. Любая функция г"1х) измерима на множесгпве Е меры нуль. В самом деле, любое подмножество множества меры нуль измеримо и имеет меру нуль.
Определение 1. Две определенные на измеримом множестве Е функции э"(х) и 8(х) называются эквивалентн ы, м и на этом множеспгве, если множество Е [~ ф. 8] имеет меру нуль. Для обозначения эквивалентных (на множестве Е) функций 1(х) и 8(х) часто используют символику 1 — 8 4'. Если функции г <х) и 8(х) эквивалентны на множестве Е и функция 1(х) измерима на Е, то и функция 8(х) измерима на Е. Доказательство. Воложилг Ео = Е и у'-8), Е1 = ЕЛ<Ее. Так как на Ег функция 81х) совпадает с ~(х), то (в силу свойства 1') 8(х) измерима на Ег. Согласно свойству 3' фх) измерима и на Ео, а поэтому, согласно свойству 2', фх) измерима и на Е. Определение 2.
Мы будем говорить, чггю некоторое свой- ство А справедливо почти всюду на множестве Е, если мн<гжество то<>чек Е, на котаором это свойство несправедливо, имеет меру гп1ль. Следстпвие из свойства 4ь. Если функция 1г'х) непрерывна почти всюду на измеримом множестве Е, то г" г'х) измерима на Е. Доказательство. Заметим сначала., что если функция 1(х) непрерывна на замкнутом множестве Е, то 1(х) ллзмерллма 246 ГЛ. 8 МЕРЛ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ на Е, ибо множество Е [«> а] при любом вещественном а замкнуто, а стало быть, и измеримо.
Предгюложим, что «(х) непрерывна па произвольном измеримом множестве Е почти всюду и обозначим через .й подмножество всех точек разрыва «(х), имеющее меру нуль. В силу свойств 2' и 3' достаточно доказать измеримость «(х) на множестве Ег = Е 1 В. Согласно теоРеме 8.9 найдетсЯ множество Ьз типа Е (см.
п. 2 8 2), содержащееся в Е1 и такое, что ]Ез] = ]Е1] = ]Е]. В силу тех же свойств 2' и 3' достаточно доказать, что «(х) измерима на множестве Ея. Но Еа (как множество типа г' ) представимо в виде счетной суммы замкнутых множеств Ев, на каждом из которых «(х) непрерывна и потому (в силу сделанного выше замечания) измерима. А тогда в силу свойства 2' функция «(х) измерима на Еа, 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что непрерывность функции «(х) почти всюду на множестве Е следует отличать от эквивалентности «(х) на множестве Е непрерывной функции. Так функция Дирихле «(х) = 1, если х рационально, и «(х) = О,.
если х иррационально, не является непрерывной пи в одной точке сегмента [О, Ц (см. гл. 4 вып. 1)., однако зта функция эквивалентна на сегменте [О, Ц непрерывной функции 8(х) = О, ибо «(х) ф 8(х) только на множестве всех рациональных точек сегмента [О, Ц, которое счетно и потому имеет меру нуль ) . З.Арифметические операции над измеримыми функциями. Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма 1. 1) Если функция «(х) измерима на мпво~состое Е, то и функция ]«(х)] измерима на этпом множестве. 2) Если «(х) из,мерима на множестве Е, а, С вЂ” любая постоянная, гпо каждая из функций «(х) + С и С «(х) измерима на множестве Е. 3) Если «(х) и я(х) измеримы на множестве Е, то множество Ь' [«> я] измеримо. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Достаточно учесть, что для любого неотрицательного а, Е[]«] > ] = Е [«> ] (.] Е [«< — ] и привлечь теорему 8.3.
Коли же а < О, то Ь[]«] > а] совпадает с Е и также измеримо. 2) Достаточно для любого вещественного а воспользоваться ) Тот факт, что счетное множество точек имеет меру, равную нулю, вытекает из тооремы 8.8 и из того, что мера множества, состоищого из одной точки, равна нулю. 247 измнгимык Функции соотношениями Е[1+С >а] = Е[)' >а — С], Е[1'> — ] при С>0, Е [С . э' > а] = Е[('< — "] при С>0. С Если же С = О, то С ('(х) = 0 и также измерима.
3) Пусть (ть) все рациональные точки бесконечной прямой ( †, оо). Достаточно учесть, что Е У > 8] = 0 (Е У > гь] П Е[8 < ь]) ь.=1 и воспользоваться теоремами 8.3 и 8.6. Лемма доказана. Опираясь на лемму 1 докажем следующую теорему. Теорема 8.11. Если функиии 1(х) и 8(х) принимают на множестве Е конечные значения и измеримы на этом множестве, гпв каждая из функций 1'(х) — 8(х), ~(х)+8(х), 1 (х).8(х) и ~(х)(8(х) (для частного ((х)(д(х) двполнтпельнв требуется, чтобы все значения 8'(х) были отличны от нуля) измерима, на множестве Е. Доказательство. 1) Для доказательства измеримости разности 1'(х) — 8(х) достаточно заметить, что для любого вещественного а множество Е [1" — 8' > а] совпадает с измеримым (в силу леммы 1) множеством Е [1" > 8+ а]. 2) Для доказательства измеримости суммы 1'(х)+8(х) достаточно учесть, что ~+8 = 1 — ( — 8) и что функция 8(х) измерима согласно лемме 1.
3) Чтобы доказать измеримость произведения двух измеримых функций., убедимся сначала, что квадрат измеримой функции является измеримой функцией. В самом деле, если а < О, то множество Е [1"2 > а] совпадает с Е и потому измеримо. Если же а > О, .то множество Е [12 > а] совпадает с измеримым (согласно лемме 1) множеством .Е []1" ] > т/а]. Из измеРимости квадРата измеримой функции и из измеримости суммы и разности измеримых функций, в силу соотношения 1 д = — (~+8) — — (1 — х), 2 Г 2 4 4 вытекает измеримость произведения 1(х)8(х).
4) В силу измеримости произведения двух измеримых функций для доказательства измеримости частного ) ~8 достаточно доказать измеримость 1Я8, но она вытекает из теорем 8.3 и 8.6 248 МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ> ЛЕБЕГЛ и из соотношения Е [и > 0] П Е [д < — 1 при а > О, Е[ — >а| = Е [и > 0) при а = О> Е [8 > О) ( ) Е [8 < -1 при а < О. и использовать теорему 8.3. Обозначим теперь нижний и верхний пределы последовательности (уп(х)) соответственно через у(х) и у(х).
Для доказательства измеримости у(х) и У(х) на множестве Е достаточно заметить,что дх) = зпр(шуях)), 7(х) = шГ(зпрЯх)), п>1 й>п п>1 й>п и воспользоваться доказанным выше утверждением. Теорема доказана. ') В гл. 3 вып. 1 доказано суп!»ствование нижнего и верхнего пределов у лк>бой ограниченной последовательности. Здесь мы договариваемся считать, что если последовательность не является ограниченной снизу (сверху), то ее нижний (верхний) предел равен — сс (-Ьоо). 2> ) Запись Э>(х) = 1в(я„(х) означает, что в каждой точке х значение З>(х) является точной нижней гранью значений в этой точке я> (х), Е2(х), ... Анююгичный смысл имеет запись >(>(х) = варя„(х). Теорема полностью доказана.
4. Последовательности измеримых функций. Докажем несколько важных утверждений, относящихся к последовательностям иЗмеримых функций. Теорема 8.12. Если ()'„(х)) последовательность измеримых на множестве Е функций., то как нижний, так и верхний пределы втой последооатель>юсти ') лвллютсл измеримыми на множестве Е функциями. Доказательство. Сначала убедимся в том, что если последовательность ~8п(х)) состоит из измеРимых на множестве Е функций, то каждая из функций ~) >р(х) = шу8 (х) и у>(х) = и = вари„(х) является измеримой на множестве Е.
Достаточно при!!ять во внимание соотношения Е[р<о')= (.) Е[а < ), и=-1 Е [у> > а) = О Е [ип > а~ и=! 249 измеРимые Функ11ии Теорема 8.18. Если последовательность измеримых на множестве Е фупаций )~„(х)) сходится, почти всюду но, Е к функции 1" (х), гпо функция 1"(х) измерима на множестве Е. Доказательство. В случае, когда последовательность (Ях)) сходится к ('(х) не почти всюду, а в с ю д у на Е, утверждение теоремы об измеримости 1'(х) сразу вытекает из теоремы 8.12.
Если же (Тп(х)) сходится к 1(х) всюду па Е, кроме множества Ев меры нуль, то ('(х) измерима па Е 1 Ев в силу теоремы 8.12 и измерима на Ео как на множестве меры нуль (свойство 3' из и. 2), и потому измерима на множестве Е = = (Е 1, Ео) (]Ее (в силу свойства 2' из и. 2). Теорема доказана. Введем теперь важное понятие сходимости последовательности и о м е р с на данном множестве. Определение. Пусть функции 1п(х) (и = 1, 2, ...) и 1'(х) измеримы на множестве Е а приьиамаюгп почпги всюду на Е конечные значения.
Говорят, что последовательность (1п(х)) сходится к1"(х) по мере нампоэкестве Е, если для любого положительного числа е 1пп ].Е []1 — 1„] > е]] = О, (8.20) т. е. если для любых положительных е и б найдется номер Х такой, что при и > Х справедливо неравенство ]Е [])' — зп] > е]] ( д. Л.
Лебег доказал следующую теорему. Теорема 8..Ц. Пусть Е измеримое мноэкество конечной мерьц и пусп1ь функции 1п(х) (и = 1, 2, ... ) и 1'(х) измеримы на множеславе Е и принимают почти всюду на Е конечные значения. Тогда из сходимости последоватпельиости (1"„(х)) к 1(х) почти всюду на Е вытекает сходимость (1п(х)) к 1'(х) и по мере на множестве Е.
Доказательство. Положим А = Е[](] = +со], А„= = Е []('„] = +со], В = Е1 Е [ 11п1 1'„= /'], С = А+ В+ (] Ап. П-~СО п=1 Тогда по условию теоремы ]С] = 0 и всюду вне множества С последовательность (1„(х)) сходится к 1 (х) и все функции 1„(х) и 1 (х) имеют конечные значения.
Для произвольного е > 0 положим Е„= Е []1' — 1'„] > е], Лп = () Ея. Тогда, поскольку Еп содержится в Л„„справедлиь=п во неравенство ]Еп] ( ]Лп],и для доказательства (8.20) достаточно доказа1пьь что ]Л„] — 1 0 при п — 1 сс. Обозначим через Л пересечение всех множеств Л1, Лаи ... и убедимся в том, что ]Лп] — 1 ]Л] при п — 1 со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
