Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Теьи самым для случая ограниченного множества г' теорема доказана. 2'. Если замкнутое множество Е, вообще говоря, не является ограниченным, то мы представим г' в виде суммы Е = '! ) Е„, о=! где Ео пересечение замкнутых множеств Е и ~ — и, г!). Согласно доказанному в первом шаге каждое Еа измеримо !ибо оно замкнуто и ограничено), а поэтому. в силу теоремы 8.3 измеримо и множество Е. Теорема полностью доказана. Теорема 8.5. Если л!ножестео Е измеримо, то и его дополнение СЕ измеримо. Д о к а з а т е л ь с т в о.
По определению измеримости множества Е для любого номера и найдется содержащее Е открытое множество С, для которого (С„, !, Е!' < —. (8.10) Пусть Е„= СС„. Поскольку. СЕ! '! СЕг = Ег !! Е! для любых множеств Е! и Ег (проверьте это сами), то СЬ"| СС„= С„!!Е и, стало быть. СЕ !, Е„= С„~ Е.
Из последнего равенства следует, что для любого номера и СЕ!, Д ЕйсС„!!Е. (8.11) й=! (Напоминаеы, что запись Е! С Ев, означает, что Е! принадлежит Ег.) Из (8.11) и из свойства 1' внешней меры получим, что для любого номера п СЕ!, Ц Ей < ~С.1Е~*, й=! а из последнего неравенства и из (8.10) получим, что СЕ~ОЕй <-' й=! (для любого номера п). Но это означает, что внешняя мера, а стало быть, и мера множества Ео = СЕ!! Ц Рй равна нулю, т, е. й=! множество СЕ равно сумме измеримых множеств Ео и ! ) Гй й=! !последнее множество измеримо в силу теорем 8.4 и 8.3). Теорема доказана.
240 МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ ГЛ. 8 Следствие. Для п1ого чтобы множество Е было измеримо, необходимо и досп1аточно, чтобы для любого положительно- го числа е нашлось замкнутое множество Г., содержащееся в Е и такое, что внешняя мера разности Е 11 Г меньше е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Измеримость множества Е эквива- лентна измеримости СЕ (теорема 8.5)., т.
е. эквивалентна тре- бованию, чтобы для любого е > О нашлось открытое множест- во С,. содержащее СЕ и такое, что ~С 11 СЕ~* < е. Но указанное требование (в силу тождества СЕ1 '1 СЕг = Ез 11 Е1) эквива- лентно требованию, чтобы для любого е > О нашлось замкнутое множество Г = СС, содержащееся в Е и такое, что Е 1 Г~* = = ~СГ '1 СЕ~* = ~С 1, СЕ~* < е. Следствие доказано. 3 а меч ание 1. Содержащееся в только что доказанном ш1едствии условие измеримости может быть принято за новое определение измеримости, эквивалентное определению, сфор- мулированному в начале этого пункта.
Теорема 8.6. Пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств является измеримым, множеством. До к азат ель ство. Будем обозначать пересечение мно- жеств Е1, Ез, ... символом П Еп, В силу тождества П Еп ги ьь п=1 п=1 = С~ ) ) СЕ„| (проверьге это тождество сами) доказываемая п=1 теорема сразу вытекает из теорем 8.3 и 8.5. Теорема 8.7. Разность двух измеримых множеств явля- ется измеримым м1южеством, Доказательство вытекает из тождества А 1 В = А (СВ) и из теорем 8.5 и 8.6. ереходим теперь к доказательству основной теоремы тео- рии меры. Теорема 8.8. ЛХера суммы конечного или счетного числа попарно непересекаюшихся, измеримых мнооюеств равна сумме мер этих мнозюеств, Доказательство.
Пусть Е = Ц Еп, причем множестп=1 ва Е„измеримы и попарно пе пересекаются. Рассмотрим отдельно два случая. 1) Сначала предположим, что все Е„о гран и ч е н ы. Заметим, что для случая, когда все Еп замкнуты и их -"конечное число, доказываемая теорема сразу вытекает из свойства 3' внешней меры (сы. и. 1 этого параграфа), Пусть теперь Е„-- произвольные ограниченные попарно непересекающиеся множества. В силу следствия из теоремы 8.5 для любого е > О и для каждого номера п найдется замкнутое множество Гп, содержащееся 241 измвримыв множвствл Ц Е '~'Щ п=1 и=1 (8.12) С дРУгой стоРоны, из Равенства Е„= (Е„1, Г„) 1) Еа вытекает (в силу свойства 2' внешней меры), .что ~Е„( < ~Е„11Е„~+ ~Р„~ < < (Еи) + —, так что го т ~ ~Е„,~ Е ~Е„~+ п=1 и=1 (8.13) (для любого конечного тп). Из (8.12) и (8.13) заключаем, что для любого конечного ьп (8.14) Учтем теперь, что сумма всех множеств Ео содержится в Е.
Отсюда, следует, что для любого номера ьп так что (в силу (8.14)) для любого номера т !Е„! < !Е! + 18 15) Переходя в (8.15) к пределу при т — 1 1ю, мы получим, что ~ !Е„! < !Е~ + и=1 и, стало быть, на основании произвольности е > 0 )Е„! < )Е!. и=! (8.16) ) Так как измеримость всех фигурирующих в доказательстве л~ножеств нами уже установлена, то мы можем всюду вместо верхной меры писать просто меру. В Е„И таКОЕ, ЧтО 1) ~Ев 1 Рп~ < —.
ТаК КаК ВСЕ МНОжЕСтВа 2 ° ' Ра ограничены, замкнуты и попарно не пересекаются, то для любого конечного гп в силу сделанного выше замечания МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ Теперь остается заметить, что из равенства суммы ! ) Еп мноп=1 жеству Е и из свойства 2" внешней меры вытекает обратное неравенство (Е! < ~~! )Еп!. (8.17) п=1 Из неравенств (8.16) и (8.17) вытекает утверждение доказываемой теоремы (для случая ограниченных множеств Еп), 2) Пусть теперь множества Еп не являются, вообще говоря, ограниченными. Тогда мы обозначим символом Е~~ ограниченное множество Е~~ = Еп П(к — 1 < ~х~ < 11) (напомним, что знак П означает пересечение).
Из равенства Е = О ! ) Е~~ и из рассмотренного выше слу=1 Ь=! чая следует, что )Е) = ~~> ~) ~Е1~ = ~~1 )Е„(. Теорема полностью доказы1а. 3 а м е ч а н и е 2. Фундаментальное свойство меры, устанавливаемое теоремой 8.8, называется о-аддит ивн о ст ь ю меры.
Для того чтобы сформулировать еще одно свойство меры, введем новое понятие. Определение 2. Назовем множество Е м н о ж е с т в о м т и и а Сг, если Е представимо в виде пересечения счетного числа оппкрытых множеств Сп, и м нож ест в ам т ил а Р, если Е представимо в виде суммы сче1лного числа замкнутых множесто Гп. Теорема В.у. Если множество.Е измеримо, то найдутся множество Е! типа Г, содержищееся в Е, и множество Ег типа Ся, содерэ1сащее Е, для которых ~Е! ~ = )Е) = (Ез).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Б силу измеримости Е и следствия из теоремы 8.5 для любого номера и найдутся открытое множество Сп, содержащее Е, и замкнутое множество Рп, содержащееся в Е, такие, что ~Е1!Р„~ < —, !С„'1Е~ < —. (8.18) Положим Е! = '! ) Гп, Еа = П Сп. Так как для любого номера и и —.-1 Е 11 Е! С Е !, Р„, Ег !, Е с Сп 1, Е, измеримые Функции то в силу (8.18) и свойства 1' внешней меры ~Е1Е1! < —, )Еа1,Е! < —.
В силу произвольности номера п отсюда следует, что )Е~1Е1! = О и (Еа '1Е! = О. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 3. Отметим, что существуют н е и з и е р им ы е множества. Для их построения достаточно принять во внимание, что на единичной окружности существует счетное число попарно непересекающихся и конгруэнтных ) друг другу множеств., объединение которых равно множеству всех точек этой окружности. Таковыми являются множество Ьо всех точек окружности, любые две из которых нельзя совместить друг с другом поворотом на угол и. сг, где и, любое целое, а сг фиксированное иррациональное число, и все множества Ев, которые получаются из Ео поворотом на угол н о.
Если бы Ео было измеримо, то были бы измеримы и все множества Е„, причем ~Е„~ = ~Ее~ для всех целых п. Но тогда в силу теоремы 8.8 мы получили бы, что 2н = '2 )Ев), что невозможно ни при каком значении Е„. й 3. Измеримые функции 1. Понятие измеримой функции. Договоримся называть расширенной числовой прямой обычную числовую прямую — ос < ж < оо с добавлением двух новых элементов — сс и +ос. Для распространения арифметических операций на расширенную числовую прямую договоримся считать, что а+(+со) = +со, а + ( — сс) = — сс (для любого конечного а); (+со)+ + (+ос) = +ос, ( — сс) + ( — ос) = — сс: (+ос) — а = +ею., ( — ос)— — а = — оо (для любого конечного а), (+со) — ( — сс) = +ос, — сс — (+ос) = — сс; а (+со) = +со при а > О, О (+со) = О, ах х(+ос) = — ос при а < О; (+со) (+со) = +со, (+ос) ( — ос) = = — сс, ( — ос) ( — сс) = +ос, О ( — сс) = О, а ( — сс) = — ос при 1 а > О, а ( — ос) = +со при а < О; — = (жос) — при любом а а конечном а ~ О, — = О при любом конечном а.
ж оо Неопределенными остаются только следующие операции: (+ос) + ( — сс), (+ос) — (+ос), ( — сс) — ( — сс), — ~. ж ос 1» ) Под термином «конгруэнтные» в данном случае нужно понимать множества, одно иа которых может быть совмещено с другим посредством поворота в плоскости окружности на некоторый угол. 244 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕББГЛ Всюду в дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать функции, определенные на и з м е р и м ы х множествах о б ы ч- н о й числовой прямой и принимающие значения, принадлежа- щие расширенной числовой прямой.
Примером такой функции может служить — со при х < — 1, 1(х) = 0 при — 1<х<1, +ос при х > 1. Договоримся всюду в дальнейшем обозначать символом Е [!" удовлетворяет условию А] множество всех принадлежащих Е значений х, для которых !'(х) удовлетворяет условию А. Например, Е [1' > а] — множество тех принадлежащих Е зна- чений х, для которых 1(х) > а. Определение. Функция 1'(х), определеннал на измеримом множестве Е, называетпсл измеримой на зпьом мнозн;е- стве, если длл любого веществе!Иного числа а лп!ожество Е [1' > а] измеримо.
Теорема 8.10. Длл измеримосгпи функции 1'(х) на множе- стве Е необходимо и досипаточгно, чтобы одно из следующих трех мнотсеств Е[( > а], Е[!" < а], Е[!' < в] (8.19) было излсеримо при любом вещественном а. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Из определения измеримости функ- ции 1 (х) из элементарных соотношений [ ° =Й ~ "-'1, п=! .[ ~ ]=Я ~~ и=! и из теорем 8.3 и 8.6 вытекает, что измеримость (при любом ве- щественном а) множества Е [~ > а] является необходимым и дос- таточным условием измсримости функции !" (х) на множестве Е.
2) Из соотношения Е [)' < а] = Е У, Е [1" > а] и из теорем 8.3 и 8.7 вытекает, что измеримость (при любом вещественном а) множества Е [1" < а] является необходимыъл и достаточным усло- вием измеримости функции 1(х) на множестве Е. 3) Наконец, из соотношения Е [1 < а] = Е !, Е [1 > а], из тех же теорем 8.3 и 8.7 и из доказанного в 1) вытекает, что измери- мость (при любом вещественном а,) множества Е [1 < а] являет- ся необходимым и достаточным условием измеримости функции 1'(х) на множестве Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
