Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 49
Текст из файла (страница 49)
По построению Лп.Р1 содержится в Л„для каждого номера и и, стало быть, 250 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ для каждого номера и Л„'1 Л = () (Ль ~ Ль,~), к=а причем множества, стоящие под знаком суммы, попарно не пересекаются. Но тогда, в силу теоремы 8.8, для каждого номера и ~Л„У,Л~= ~~ ~Л '1Л (8.21) и, в силу сходимости ряда ) Ф. Рисс - венгерский математик (1880 1956). (Лг 'у Л! = ~~~ (Ле ~ Ль ~ ), к=1 остаток этого ряда (8.21) стремится к нулю при и — > оо. Итак, ~Ли У, Л~ — + О при и — ~ оо. Но это в силу соотпошеггия ~Лн~ = = (Л У Л( + )Л( означает, что (Лн) — 1 )Л! пРи и — ь оо. Теперь для доказательства (8.20) нам остается доказать, что ~Л~ = О.
Для этого в свою очередь достаточно доказать, что Л содерзкнтсл в С. Пусть хв любая точка, не принадлежащая С. Тогда для фиксированного нами произвольного е ) О найдется номер Х(хо, е) такой, что ~~н(ха) — )(хо)) ( е при и > М(хд, е). Но это означает, что при и > Х(хе, е) точка хв не принадлежит Еи и тем более не принадлежит Л„и множеству Л, являющемуся пересечением всех Л„. Итак, всякая точка хо,не принадлежащая С,не принадле- жит и Л.
Но это и означает, что Л содержится в С. Теорема доказана. 3 ам е чан не. Подчеркнем, что из сходимости последова- тельности (1г,(х)) к функции )'(х) па множестве Е по мере не вытекает не только сходимость ( ('„(х)) к 1" (х) почти вшоду на Е,. нодажесходимость ((п(х)) к )'(х) хотя бы в одной точ- к е множества Е.
Достаточно рассмотреть пример, построенный в п. 3 8 2 гл. 1. Построенная в этом примере последовательность (1„(х)) расходится в каждой точке сегмента [О, Ц, но поскольку каждая функция ~„(х) отлична от нуля только на сегменте 1„, длина которого стремится к нулю при и э оо, то последователь- ность (1и(х)) сходитсЯ к фУпкции 1(х) = О по меРе на сегмен- те (О, 1]. Тем не менее ср. Рисе 1) доказал следующую теорему. Теорема 8.1$. Пусть Е измеримое множество конечной меры, и пусть функции 1а(х) (и = 1, 2, ... ) и 1"(х) измери- 251 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ мы на множестве Е и принимают почгпи всюду на Е конечные значения.
Тогда, если последовательностпь (~о(х)1 сходит; ся к з"(х) по мере на множестве Е, то из этой последовательности можно выделить последовательность, сходягцуюся к 1'(х) почти всюду на Е. Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем предположить, .что функции 1 (х) и 1(х) принимают конечные значения не почти всюду, а всюду на Е (в противном случае мы ввели бы те же множества А и А„, что и при доказательстве предыдущей теоремы, и проводили бы все рассуждения для множества Е 1 А1, () А„) . Из сходимости (1„(х)1 к 1" (х) по мере на а.=1 множестве Е вытекает, что для любого номера й найдется номер пь такой, что для меры множества Еь = Е Ц вЂ” ~ ь ~ > 1Я справедливо неравенство ~Еь ~ < 1/2ь.
Положим, как и при доказательстве предыдущей теоремы, Л„= ( ) Еь, Л = П Л„. ТогЙ=п ь=1 да в силу свойства внешней меры (см. п. 1 2 2) ~Л„~ < 2 ~Еь1 ь=а так что ~Л„~ < 2; 1/2ь = 1/2" 1. Таким образом, ~Л„~ — > О при Ь=к п — + со. Как и в предыдущей теореме, доказывается, что ~Л„~ — ~ — ~ ~Л~ при и — + оо. Тем самым мы получаем, что )Л~ = О. Остается доказать,что всюду вне Л подпоследовательпость (~„„(х)) сходится к 1(х). Пусть х произвольная точка Е 1 Л. Тогда х не принадлежит множеству Лн при некотором Х = = Х(х). Но зто означает, что х не принадлежит Еь при к > > Х(х).
Иными словами, ~1(х) — ~„,(х)~ < 1/й при К > М(х). Теорема доказана. й 4. Интеграл Лебега 1. Понятие интеграла Лебега от ограниченной функции. Назовем разбиением измеримого множества Е всякое семейство Т конечного числа измеримых и попарно непересекающихся подмножеств Еы Ез, ..., Ео множества Е,. составляющих в сумме множество Е.
Для обозначения разбиения множества Е будем использовать символ Т = (Еь)" или более краткий символ Т = ~Еь). Рассмотрим на измеримом множестве Е конечной меры произвольную ограниченную функцию 1(х). Для произвольного разбиения Т = (ЕР1 множества Е обозначим символами Мь и ть соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани 252 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ функции ~(х) на частичном множестве Еь и введем в рассмотрение две суммы и Ят = ~~> МЕ~ЕЕ~ и зт = ~~> ть~ЕЕ~, ь=! ь=-1 называемые соответственно в е р х н е й и н и ж н е й суммами разбиения Т = >Еь). Сразу же отметим, что для любого разбиения Т = (Еь) зт ~ ~от (8.22) Для любой ограниченной на множестве конечной меры Е функции )(х) как множество всех верхних сумм )Ят), так и множество всех нижних сумм (зт) (отвечающих всевозможным разбиениям Т = )Еь) множества Е) ограничено. Поэтому существует точная нижняя грань множества ) Ят), которую мы обозначим символом 1 и назовем верхним интегралом Л е б е г а, и точная верхняя грань множества (зт), которую мы обозначим символом 1 и назовем нижним интегралом Л е б е г а.
Определение. Ограниченная на множестве конечной ме- рыЕ функция~(х) называется интегрируемой (по Лебе г у) на этом мноэ~сестве, если 1 = 1, т. е. если верхний и нижний интеграль> Лебега эп>ой функции совпадает. При этом число 1 = 1 называется и п т е г р а л о м Л еб е г а от функции ~(т) по множеству Е и обозначается символом ) ~(х) сЬ. Е Остановимся на некоторых свойствах верхних и нижних сумм и верхних и нижних интегралов Лебега. Договоримся называть разбиение Т* = 1Е,*)~ „и з м е л ьч е н и е м разбиения Т = (Еь)~ м если для любого номера > (> = 1, 2, ..., т) найдется номер и(>), удовлетворяющий неравенствам 1 ( и(>) ( и и такой, что Е;: содержится в Е,йр Номер и(г) может оказаться одним и тем же для различных номеров г, причем сумма множеств Е;.
по всем номерам >, для которых и(>) равняется одному и тому же номеру Й, равна., очевидно, множеству Еь, т. е. )) Е,*=Ею (8.23) иб)=-й Далее договоримся называть разбиение Т = )Ег) и р о и введен нем разбиений Т1 = )ЕР ) и Та = ~Ез ), если Т интнггал тяти состоит из множеств Еп представляющих собой пересечения всевозможных пар множеств Ер и Ее, т. е. если каждое Е; рав- Ю с2) но Ер П Ее, причем перебираются всевозможные комбинации (Ц (2) номеров Р и Ч. Очевидно произведение Т дву.х разбиений Т1 и Т2 являет ся измсльчением каждого из разбиений Т1 и Т2 (причем любое другое разбиение Т, являющееся измельчением как Тм так и Т2, само является измельчением Т).
Справедливы следующие свойства верхних и нижних сумм и верхних и нижних интегралов. 1'. Если ра,збиение Т* яеляетея измелвчением разбиепия, Т, гпо зт < зт-, Бт < Ет. Доказательство. Проведем доказательство для верхи и х сумм (ибо для нижних сумм оно проводится совершенно шгалогично). Пусть Т*=(Е,*~™ является измельчением разбиения Т=(Еь)", и пусть МУ вЂ”. точная верхняя грань ~(ю) на множестве Е; *(г = 1, 2, ..., т), а Мь - . точная верхняя грань ('(т) на множестве Еь (1с = 1, 2, ..., и).
По определению измелнчения для каждого номера г (г = 1, 2, ..., ггг) найдется отвечающий ему номер м(1), удовлетворяющий неравенствам 1 < ы(г) < и и такой, что Е, "содержится в Е б), причем сумма множеств Е,*. гю всем номерам г', для которых м(г) равно одному и тому же номеру Й, удовлетворяет равенству (8.23). Добавим к этому, что для всех номеров г, для которых м(г) равняется одному и тому же номеру Й, справедливо неравенство М;е <Мь (8. 24) (ибо точная верхняя грань на подмножестве не превосходит точную верхнюю грань на всем множестве). Из определения верхней суммы и из соотношений (8.23) и (8.24) мы получим, что 1) 'гв о Я ° =2 и,")Я,")=2 ~ 2 и,")в,")1 с в=1 В=1 Ий=/с с у' и, ~ у' ~вз~ = у и, ~ве = з,.
ь=! еф=ь ь=1 ') Мы учитываем, что из (8.23) и из того, что множества Е," попарно не пересекаются, в силу теоремы 8.8 вытекает, что 2 ~ЕП = ~Ее~. О=-е 254 МРРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕББГЛ ГЛ. 8 2'. Для двух совершенно произвольна»х разбиений Т» и Тг справедливо неравенстпао зг, < Я»6. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Т .— произведение разбиений Т» и Тг.
Так как Т является измельчением каждого из разбиений Т» и Тг., то в силу свойства 1' справедливы неравенства 'Т' ~Т (8.25) Из неравенств (8.25) и (8.22) вытекает, что зг, < ЯГ»м 3'. Верх»»ий и»»из»с»»ий интегралы Лебегв связи»»ы соотгношением 1 < 1. Доказательство. Фиксируем произвольное разбиение Тя, Так как для любого разбиения Т» (в силу свойства 2') справедливо неравенство гт, < Ят„ то число ЯГ„ является о дн о й из верхних граней множества (зт1) всех нижних сумм, и, стало быть, т о» н а я верхняя грань 1 указанного множества удовлетворяет неравенству 1 < Ят,. Так как последнее неравенство справедливо для произвольного разбиения Тз., то число 1 является о д н о й из нижних граней множества (ЯЗ) всех верхних сумм, и, стало быть, точная нижняя грань Х указанного множества удовлетворяет условию Х < Х.
Сяедстпвие. Всякая функция, и»»тегрируемая по Риману, являепюя интегрируел»ой по Лебегу, причем интегралы Лебегв и Римана, от токой функции совпадают. Доказательство. Пусть Х(х) интсгрируема на Е = »а, Ь) по Риману (а стало быть, и ограничена на этом сегменте). Обозначив для такой функции символами 1 и 1 нижний и верхний интегралы Лебега и символами 1н и Хн нижний и верхний интегралы Дарбу (см. гл. 10 вып. 1), мы получим»леду»»зщие неравенства ) (8.26) Если функция интегрируема по Риману., то для нее 1»» — — 1н, а стало быть, в силу (8.26) 1 = 1, т. е.
эта функция интсгрируема по Лебегу. Более того, при 1»» —— 1н из (8.26) вытекают равенства 1н — — 1 = 1 = 1н, т. с. вытекает совпадение интегралов Римана и Лебега, ибо первый из этих интегралов равен чи»о»у 1н — — 1н, а второй числу 1 = 1. В с»»едующем пункте мы покажем, что класс функций, интегрируемых по Лебегу, является более широким, чек» класс функ- ') Ибо любое разбиение Е =»а, 6] на частичные сегменты включаотси в класс разбиений множества Е в смысле Лебега.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
