Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Но зто означает, что найдется некоторая окрестность о(х) фиксированной нами точки х, содержащая точку у . В силу неравенства у~ < у < х зта же окрестность о(х) содержит и точку у. Отсюда следует, что и 1(х) содержит у, и доказательство того, что 1(х) .-- интервал, завершено. Можно сказать, что 1(х) представляет собой н а и больши й интервал, содержащий точку х и содержащийся в С. Убедимся теперь в том, что если интервалы 1(хй) и 1(хзг) построены для двух различных фиксированных точек х> и хя ллножоства С, то зти интервалы либо не имшот общих точек, либо совпадают между собой. В самом деле, если бы интервалы 1(х~ ) и 1(ха) содержали общую точку х, то они оба содержались бы в 1(х) и потому совпадали бы. Построив для каждой точки х свой интервал 1(х), мы отберем теперь интервалы, не содержащие общих точек (т. е.
попарно непересекающиеся). Каждый такой интервал содержит хотя бы одну рациональную точку (это известно из гл. 2 вьш. 1). Поскольку множество всех рациональных точек счетно (см. вып. 1., гл. 3, 8 4, п. б), то число всех попарно непересекающихся интервалов 1(х) не более чем счетно. Так как сумма всех таких интервалов составляет множество С, то теорема доказана.
Следстпвие. Всякое замкнутое мноо>сестоо точек бесконечной прямой получается удалением из бесконечной прямой конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов. 235 измнгимын множнства я 2. Измеримые множества 1. Внешняя мера множества и ее свойства. Вся излагаемая в этом параграфе теория принадлежит А.
г1ебегу. Отправным пунктом этой теории является привлечение в качестве основного (исходного) множества интервала Ь = (а, 6), длина или мера которого считается известной и равной числу ~Ь~ = 6 — а ) О. Пусть Š— произвольное множество на числовой прямой. П о к р ы т и е и Я = Я(Е) множества Е назовем всякую конечную или счетную систему интервалов 1Ь„), сумма которых содержит множество Е. Сумму длин всех интервалов )2„), составляюгдих покрытие Я = Я(Е), обозначим символом о(Я). Итак, о (5) = ~~~ ~Ьо) < оо. (Е)* < ~~ ~Ея~*.
(8.1) /с=1 Доказательство. Фиксируем произвольное е ) О. По определению меры ~Еь~* как точной нижней грани, для каждого номера Й найдется покрытие Яь(Еь) множества Еь системой интервалов (Ь~) (и = 1, 2, ... ) такое, что ~', ~~1.'1~ Ж~Г+ —,',. к=1 (8.2) О ) Символически тот факт, что миожество Е~ содержится в Еи обоаиачается так: Е1 С Ее. Определение. В н е ш н е й м е р о й множества, Е называется точная нижняя грань о(Я) на мноокестве осев покрьы тий Я = Б(Е) множества Е. Внешшою меру множества Е будем обозначать символоми ~ Е ~ *.
Итак, по определению (Е~' = 1пГ о.(Я). 3(Е'~ Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с длиной этого интервала. Выясним основные свойства внешней меры. 1'. Если мнотсестоо Ег содержится в Ег 1), то )Е1)*< )Ег!'. Для доказательства достаточно заметить, что любое покрытие Ее является одновременно покрытием и Еь 2'. Если множество Е представляет собой сумму конечного или счетного числа множеств )Еь) (символически Е = Ц Еь), то к=а оо 236 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ Обозначим через Я покрытие всего Е, объединяющее все 1юкрытия Яь (й = 1, 2, ... ) и состоящее из всех интервалов (Ьь,') ()с = 1, 2, ...; п = 1, 2, ...
). Так как Я является покрьггием Е, то ~Е~* < сг(Я), но п(Я) = ~; 1=1 в=1 Из последних двух соотношений и из (8.2) получим )Е)* < ~()ЕЕ)*+ — ) = ~ )Еа)*+ е. а=1 /с=1 Неравенство (8.1) доказано. Договоримся называть расстоянием между множествами Е1 и Е2 точную нижнюю грань 1засстояний между двумя точками множеств Е» и Е2 соответственно. Будем обозначать расстояние между множествами Е1 и Е2 символом р(Е1: Ей Е 3' Если р(Е1, Ег) ) О пзо Ф1 0Е2~ 1 Доказательство.
Положим б = -р(Е1, Е2). Для про- 2 извольного е ) О и выбранного нами д ) 0 найдется покрытие Я(Е) множества Е = Е1 ( ) Е2 такое, что сг(Я) < ~Е~* + е и длина каждого интервала покрытия ~Ьо~ меньше д ) . Очевидно, что интервалы Ь„, покрывающие точки Е1, не содержат точек Е2 и, наоборот, интервалы, покрывающие точки Е2, не содержат точек Е1. Иными словами, взятое нами покрытие Я(Е) распадается на сумму двух покрытий Я(Е) = Я1 (Е1 ) + Я2(Е2), первое из которых Я1 покрывает Е1, а второе Я2 покрывает Е2. Итак, мы получаем, что :з'1(Е1) + Вг(Ег) < ~Е~ + е.
Отсюда следует, что (Е1 ('+ )Е2(* < )Е)*+ с и, стало быть (в силу произвольности е), )Е1)* + )Е2(* < (Е)'. Так как на основании свойства 2' справедливо и обратное неравенство (Е)* < )Е1)* + + )Е2!', то )Е(' = (Е1!' + )Е2!". Свойство 3' доказано. В частности, свойство 3' справедливо, если Е1 и Ез ограничены, замкнуты и пе содержат общих точек. ') Это вытекает из того, что для произвольных е > О и д > О существует покрытие 5(Е) множества Е такое, что о(5) < (Е)* + е и (Ь,й < 6 (щ)я каждого интервала Ь покрытия Я).
Чтобы убедиться в этом, достае точно, взяв покрытие Я, для которого п(Я ) < ~Е~* + —, разделить каж- 2 дый интервал покрытия Я' на интервалы длины> меныпей 6, н концы этих последних интервалов покрыть интервалами, общая сумма длин которых меньше е)2. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 237 4'. Для произвольного множества Е и произвольного числа е ) О найдется открытое множество С, содержащее Е и такое, что )С)* < (Е!'+ е. Доказательство. Достаточно взять в качестве С сумму всех интервалов, составляющих покрытие Б(Е) множества Е, для которого о(Я) < (Е)* + е.
2. Измеримые множества и их свойства. Определение 1. Множество Е называется из м е р им ы м, если для любого положительного числа е найдется открытое множество С, содерэ)сащее Е и такое, что в~ешнял мера разности С ~ Е меньше е. Внешнюю меру измеримого множества Е назовем м е р о й этого множества и обозначим символом ~Е~. Из этого определения следует, что мера множества Е равна нулю тогда и только тогда, когда равна нулю внешняя мера этого множества.
Докажем ряд утверждений, выясняющих основные свойства измеримых множеств. Теорема 8.2. Всякое открытое множество измеримо, причем мера его равна сумме длин составляющих его попарно не пересекающихся иптервалои Доказательство очевидно (достаточно в определении измеримости взять С = Е и заметить, что то шая нижняя грань о(Я) достигается на покрытии Я, совпадающем с разбиением Е на сумму попарно непересекающихся интервалов). Теорема 8.8.
Сумма конечного или счетного числа измеримых мноэюеств является, измеримым множесгпвом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е = ( ) Еп, причем каждое Е„ п=1 измеримо. Фиксируем произвольное е ) О. Для каждого множе, ства Е„найдется содержащее его открытое множество С„такое, что ~Са ~ Е„(* < е 2 ". (8.3) Положив С = () С„, заметим, что множество Е содержится в С п=з и что разность С ~ Е содержится в сумме ( ) (С„~ Ьп).
Но топ=1 гда из свойства 2' внешней меры (см. предыдущий пункт) и из неравенства (4.3) получим ~С~Е~*<~~ (С,,~Е„~*<с~ 2 "=е. и=-1 а=1 Теорема доказана. 238 МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ Теорема 8.4. Всякое замкнутое множество Е измеримо. Доказательство. Проведем доказательство в два шага. 1'. Сначала предположим, что множество Е о г р а н и ч е н о.
Фиксируем произвольное е > О. Согласно свойству 4' внешней меры (см. предыдущий пункт) найдется открытое множество С, содержащее Е и такое, что 1СГ < ~ЕГ+е (8.4) Согласно свойству 7' из 8 1 множество С'1Е является открытым. Поэтому, согласно теореме 8.1, множество С ~ Е представимо в виде суммы С ~ Е = О 2ла попарно не пересекающихся интер'а=1 валов 2л„. Теорема будет доказана, если мы установим, что ~С1Е!'=~)Ь ( <е, (8.5) а=1 Для каждого интервала 2а = (а, 6) и для каждого числа о из Ь вЂ” а интервала О < а < — договоримся обозначать символом Ьа 2 ИНтЕрВаЛ Ьа = (а + О, Ь вЂ” а), а СИМВОЛОМ Ьа СЕГМЕНТ 2Л а = Ь вЂ” а = ~о + о, Ь вЂ” а). Если же ет > —, то 2аа будет обозначать пустое множество, для которого рл ~ = О. Для каждого номера и а а ПОЛОЖИМ Еа = Ц,Л~~.
ОЧЕВИДНО, ЧтО ~Е~~~' = ) ) Д~Ь~. МНОжсЬ=1 Ь=1 ство Еа„согласно свойству. 6' из 8 1, является замкнутым. Так как это множество не имеет общих точек с замкнутым множеством Е, то (в силу свойства 3' внешней меры) !Е:+ ЕГ = )Е."Г+ ~ЕГ. (8.6) С другой стороны, поскольку множество Е„+ Е (при любом а > О и для всех номеров и) содержится в С, то (в силу свойства 1' внешней меры) ~Е„+ ЕГ < 1СГ. (8.7) Из (8.4), (8.6) и (8.7) получим, что !Е:Г+ ~ЕГ < ~ЕГ+ е (8.8) (для всех ск > О и всех номеров и). Так как множество г" ограничено и его внешняя мера )Р)* < оо, из (8.8) получим, что (Е„(* < е (8.9) (для всех а > О и всех номеров и). Переходя в (8.9) к пределу сначала при а — > О + О., а затем при и — + оо, мы получим 239 ИЗМЕРИМ|ЫЕ МНОЖЕСТВА неравенство (8.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
