Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Далее ь д" йю=~ ) — йх'Лйх Л...Лйх'=~ 1 — 1) — йх Лйх Л...Лйх". 1 — 1 — 1 * 1 — 1 В частности, при и = 3 ы = Рйх Л йх~ — Яйх~ Лйх + й,йх1 Л йх~, дО дЛуй1 й, ~ э ~йх Л йх Л йх, 1дх1 дхз дх') и мы получаем формулу Остроградского. ГЛАВА 8 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В гл. 10 вып. 1 и в гл. 2 настоящего выпуска был изучен интеграл Римана от функции одной и соответственно п переменных. Понятие интеграла Римана охватывало класс функций, либо строго непрерывных в рассматриваемой области, либо близких к непрерывным 1лгножество точек разрыва которых имеет равный нулю и-мерный обьем). Этого понятия оказывается недостаточно в ряде фундаментальных разделов современной математики (в теории обобщенных функций, в современной теории уравнений с частными производными и в других).

В настоящей главе излагается теория более общего интеграла так называемого интеграла Лебега ), для чего предварительно развивается теория меры и так называемых и з и ер и м ы х ф у и к ц и й (являгощихся широким обобщением непрерывных функций). Основная идея интеграла Лебега, отличающая его от интеграла Римана, заключается в том, что при составлении лебеговской интегральной суммы точки объединяются в отдельньн. слагаемые не по принципу близости этих точек в области интегрирования (как это было в римаповой интегральной сумме), а по принципу близости в этих точках значений интегрируемой функции. Эта идея и позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций. Следует отметить, что многие математические теории, допускающие понимание интеграла в смысле Римана, принимают более закопченный характер при использовании интеграла Лебега.

Примером такой теории может служить теория рядов Фурье, излагаелгая с пониманием интеграла в смысле Римана в гл. 10 и с привлечением интеграла Лебега в гл. 11. Все изложение в настоящей главе ведется для случая одной переменной, но без каких-либо затруднений переносится на случай любого числа и переменных (соответствующее замечание сделано в конце главы). ) Анри дебет — - французский математик 11875 1941).

1 1 О стРУктУРе ОткРытых и злыкнутых мнОжеств 231 й 1. О структуре открытых и замкнутых множеств Будем рассматривать произвольное множество Е точек бесконечной прямой ( — со, оо). Назовем дополнением множества Е множество, обозначаемое символом СЕ и равное совокупности тех точек бесконечной прямой ( — оо, оо), которые не принадлежат множеству Е. Если назвать р а з н о с т ь ю множеств А и В совокупность тех точек множества А, которые не принадлежат множеству В, и обозначить разность множеств А и В символом А 1, В, то дополнение СЕ множества Е можно представить в виде СЕ = ( — со, оа) ) Е.

Напомним некоторые определения, введенные еще в вып. 1. 1'. Точка л называется внутренней точкой множества Е, если найдется некоторая окрестность точки т (т. е. интервал, содержащий эту точку), целиком принадлежащая множеству Е. В дальнейшем произвольную окрестность точки щ мы будем обозна гать символом п(х). 2'. Точка т называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности ц(щ) точки щ найдется хотя бы одна точка т множества Е, отличная от щ, 3'. Множество С называется от к р ы ты м, если все точки этого множества являются внутренними.

4'. Множество Е называется з ам к ну ты м, если оно содержит все свои предельные точки ') . Совокупность всех предельных точек произвольного множества Ь' договоримся обозначать символом Е', а с у м м у, или о б ъ с д и н с н и е двух множеств А и В будем обозначать символом А+ В или АЦВ ~) . Договоримся далее называть з ам ы к а н и е м произвольного множества Е множество., обозначаемое символом Е и равное сумме Ь'+ Е'. Очевидно, что для любого замкнутого множества Е справедливо равенство г' = Г.

Совокупность всех внутренних точек произвольного множества Е будем обозначать символом )п$Е в) . ' ) В частности, множество, не имеющее предельных точек, замкнуто (ибо пустое множество содержится в любом множестве). ю ) С у м м о й или объединением множеств Л и В называется множество С, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В г) Символ гпс образован от французского слова юыпецг (внутренняя часть). 232 ГЛ.

8 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ Очевидно, что для любого открытого множества С справедливо равенство 1>й С = С, Для совершенно произвольного множества Е множество 1п1 Е является открытым, а множество Е замкнутым. 3 ам е чан и е. Можно показать, что 1пФЕ является суммой всех содержащихся в Е открытых множеств, а Е является пересечением ~) всех содержащих Е замкнутых множеств.

Таким образом, ш1Е является наибольшим содержащимся в Е открытым множеством, аЕ является н аи м е пылим содержащим Е замкяутым множеством. Остановимся на простейших свойствах открытых и замкнутых множеств. 1'. Если множество Е замкнуто, то его дополнение СЕ открыто. Доказательство. Любая точках множества СЕ не принадлежит Е и (в силу замкнутости Е) не принадлежит множеству Г' предельных точек Е. Но это означает, что некоторая окрестность и(х) точки х не принадлежит Е и поэтому принадлежит СГ.

2'. Если множество С открьппо, то его дополнение СС замкнуто. Д о к а з а т е л ь с т в о. Любая предельная точка х множс",ства СС заведомо принадлежит этому множеству, ибо в противном случае х принадлежала бы С, а поскольку С. открытое множество, то и некоторая окрестность и(х) точки х принадлежала бы С и пе принадлежала бы СС, т.

е. точка х не являлась бы предельной точкой СС. 3'. Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество Е представляет собой сумму какого угодно числа открытых множеств Со (индекс сс, вообще говоря, не является номером), и пусть х произвольная точка Е.

Тогда (по определению суммы множеств) х принадлежит хотя бы одному из множеств С„, и поскольку каждое множество С„является открытым., то найдется некоторая окрестность о(х) точки х, также принадлежащая указанному множеству Сн, а стало быть, и множеству Е. 4'. Пересечение любого конечного числа открытых множеств являе>пся открытым множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество Е является пересечением открытых множеств Сы Со, ..., Си, и пусть х любая точка Е. Тогда для любого к: (1 = 1, 2, ..., и) точка х принад- ы ) П е р е сечение м множеств А и В называется множество точек, принадлежащих и А, и В. э' 1 О стРУктУРе ОткРытых и злыкнУтых мнОжестВ 233 лежит Сы и потол1у найдется некоторая окрестность оь(х) = = (х — еьм х+ еь), еь > О, точки х, также пРивадлежащаЯ Сы Если е = гпгп1е1, ег, ..., ев), то окРестность о(х) = (х — е, х+е) точки х принадлежит всем Сь и вследствие этого принадлежит Е.

5'. Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. Доказательство. Пусть множество Е представляет собой пересечение какого угодно числа замкнутых множеств Е„ (индекс ст, вообще говоря, не является номером). Заметим, что дополнение СЕ представляет собой сумму всех дополнений СЕ„, каждое из которых, согласно 1', представляет собой открытое множество. Согласно 3' множество СЕ является открытым, а поэтому на основании 2' множество Е является замкнутым. 6'.

Сум,иа г'онечного числа замкнутых множеств является замкнутым мпоэюеством, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е представляет собой сумму замкнутых множеств Р1, Е2, ...., Еа. Тогда СЕ представляет собой пересечение множеств СЕ1, СЕ2, ..., СЕ„, каждое из которых в силу 1' является открытым. Согласно 4' множество СЕ является открытым, а поэтому па основании 2' множество Е является замкнутым.

7'. Если множество Г замкнуто, а множество С открыто, то множество г" 1, С замкнуто, о, множество С 1 Г открыт,о. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что множество Е 11 С является пересечением замкнутых множеств Е и СС, а множество С 1 Е является пересечением открытых множеств СИСЕ. С помощью установленных свойств докажем теорему о структуре произвольного открытого множества точек бесконечной прямой. Договоримся всюду ниже в этой главе называть и п т е рв а л о м любое связное открытое множество точек бесконечной прямой (не обязательно ограниченное). Иными словами, интервал это либо открытый отрезок а < х < 6, либо одна из открытых полупрямых а < х < оо или — оо < х < 6, либо вся бесконечная прямая — гю < х < ос. Теорема В.1.

Любое огпкрьнпое. множеспгво точек бесконечной прямой представляет собой сумму конечного или счетного ) числа попарно непересекающихся интервалов. О ) Напомним, что с ч е т н ы м называется бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать, т. е. поставить ве взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел 1, 2, 3, ... (сьь вып. 1, гл.

3, ~ 4, и. 6). 234 МЕРЛ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ ГЛ. 8 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть С любое открытое множество, а х произвольная фиксированная точка С. Так как С является открытым, то найдется некоторая содержащаяся в С окрестность о(х) точки х. Сумму всех содержащихся в С окрестностей о(х) данной фиксированной точки х обозначим через 1(х).

Докажем, что 1(х) представляет собой и итера ал. Обозначим через а точную нижнюю грань множества всех точек 1(х) (в случае, если множество всех точек 1(х) пе ограничено снизу, мы положим а = — оо), а через 6 точную верхнюю грань множества всех точек 1(х) (в случае, .ссчи множество всех точек 1(х) не ограничено сверху, мы положим 6 = оо). Достаточно доказать, что произвольная точка у интервала (а, 6) принадлежит 1(х). Пусть у произвольная точка (а, 6). Ради ог>ределенности будем считать, что а < у < х (случай х < у < 6 рассматривается совершенно аналогично). По определению точной нижней грани найдется принадлежащая 1(х) точка у' такая, что а < у' < у.

Характеристики

Список файлов книги