Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Естественно, это условие будет необходимым и достаточным для независимости интеграла ) Р дх+ Я ду от выбора кривой Т, соединяющей любые данные точки А и В области Р. Теорема 7.В. Пусть функции Р(х, у) и Я(х, у) и их частные производные непрерывны в о д и о с в и з н о й области Р. Тогда каждое из трех условий 1, 2, 3 теоремы 7.7 эквивалентно следуюгцему (чегавер«тому) условию 4.
дР дЯ вЂ” — в Р. ду дх Доказательство. Применим схему: Мы уже доказали утверждения 1 — «2 — + 3. Докажем, что 3 — «4 и 4 -+ 1. Первый шаг: 3«4. Пусть в области Р существует функди ди ция и(х, у) ~акая, что ди = Р дх+Я ду. Тогда — = Р, — = с« дх ' ду Таким образом, условие 4 выполнено. Отметим, что для доказательства шага 3 -+ 4 не требуется условия односвязности области Р. Второй шаг: 4 — «1.
Пусть выполнено условие 4. Тогда в каждой точке области Р справедливо равенство — — — = О. (7.40) Если Р расположенная в Р замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересече , ограничивающая область Р* (область Р односвязна, и поэтому каждая точка области Р* принадлежит Р), то, применяя формулу Грина к области Р* и используя (7.40), получим Г Рг*.~аг~=П (— ' „; — '— ;„) г'ь=~ В случае, когда Ь имеет конечное число точек самопересечения и является ломаной с конечным числом звеньев, то для 206 ФОРмУлы ГРинл, стОксл и ОстРОГРлдскОГО Гл. 7 каждой петли Ь кривой 7 справедливо равенство фРс1х+14ау = Х = 0, и поэтому для А справедливо равенство фРс1х+ ЦЙу = 0. ь Пусть Х произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая.
Выберем для Т число Л > 0 так, как это указано в лемме 1. Разобьем Ь на части Ьь длины меньше Л (к точкам разбиения относятся и угловые точки кривой А, см. рис. 7.10). Согласно упомянутой лемме касательные в концах Мь и Хь каждой части Аь составляют угол, меньший я/8. Тогда, очевидно, для достаточно малого Л криволинейный треугольник МьХьСь (этот треугольник заштрихован на рис. 7.10), Рис. 740 в котором МьСь составляет угол мень- ший я/8 с касательной в Мы а 1уьСь нормаль к Ь в точке Хь, целиком расположен в Р и представляет собой замкнутую кусочно-гладкую кривую без самопересечений. Поэтому М„сус. С, Отсюда следует, что криволинейный интеграл по дуге МьХь равен криволинейному интегралу по ломаной МьСьХь: Р с1х + Я сну = ) Р с1х + Я ду.
Л1~ Л'с Сс Мс Ж~ Проводя аналогичные рассу>кдення для любой части Ьы мы получим в результате расположенную в 11 замкнутую ломаную Ь, для которой у Рс1х+ с1ду = фРсЬ+ Ядр. (7.41) Х ь Выше мы отмечали, что дли замкнутой, расположенной в Р ломаной Х, интеграл ф Рс1х + Яду = О. Отсюда н из (7.41) Х получаем у Рдх+ Цду = О. Теорема доказана.
4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Нами были ранее (см. п. 3 3 1, и. 3 2 2 и п. 3 3 3) введены *г 4 ПРИЛОЖИНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 207 понятия циркуляции и потока векторного поля. Напомним зти понятия. Пусть в некоторой области Р задано непрерывное векторное поле р(м) = р(х, у, г). Определение 1. Цттркуляцией векторного полл р по замкаутпой кусочно-гладкой кривой Л, располоэюенноту в области Р, нозываетсл интеграл у р~д1, ь в котором й единичный вектпор касательной к Т, а Ж дифференциал длины дуга кривой Х . Определение х.
Потоком векторного полл р через ориентпированную кусочно-гладкую поверхность Я, располоэтсенную в области Р, называется, итпеграл О рп Йт, 5 в котором п — едино тый векттюр нормали к поверхностна Я, указтлвающпй ее ориентацито, а дст элеметтт плотцади поверхности Я. Введем понятия потенциального и солепоидального векторного поля. Определение Я. Векторное поле р называется и о т е нц а ел ь н ы м в области Р, если циркуляция этпого тюля, по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой, располоэюетеной в области .Р, равна нулю.
Определение 4. Векторное поле р называется с о л е и ои д а л ь и и м в области Р, если поток этого поля через любую кусочно-гладкую несамопересекающуюсл поверхность, располоэюенную в Р и представляющую собой гранитцу некоторой ограниченной подобласти области Р, равен уулю. Для непрерывно дифференцируемых векторных полей и специального класса областей мы докажем теорему,.
содержащую необходимые и достаточные условия потенциальности поля. Предваритезтьно мы введем тюнятие птрехмерной новерхноспм но-одпосвязпой области. Трехмерная область Р называется поверхностно-односвлзной, если для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой В, расположенной в Р, можно указать такую ориентируемую кусочно- гладкую поверхность о', расположенную в Р, границей которой является В. Отметим, что для упомяну.той поверхности Я справедлива формула Стокса. Имеет место следующая теорема. Теорема 7.9. Пустпь в поверхностно-односвязной области Р задано непрерывтто дифференцируемое векторное поле р = = (Р, Я, В). Тогда эквивалентпнтл следующие три условияв 208 ФОРмУлы Ггинл, стОксл и ОстРОГРлдскОГО Гл. 7 1.
Векторное поле р = р(М) является потенциальным. 2. В области Р существует потенциальная функция и(М), т,. е. такая функция, чпсо р = Исайи, или, что то эссе, ди = Р с1х + Я ду + й дг. В этом случае для любых точек А и В из обласпги Р и для произвольной кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей эти точки и располоэгсегсгсой в Р, 3' рйд1 = и(В) — и(А) АВ (здесь й — единичный вектор касательной к кривой АВ, а сс1— дифференциал дуги).
3. Векторное поле р = р(М) являепюя безвглхревым, т. е. го1р=О вР. Очевидно, условие 3 эквивалентно соотногиениялс дР дЯ дГг дй дй дР ду дх' дг ду' дг дг Таким образом, каэюдое из условий 2 и 3 представляегп собой необходимое и достаточное условие потенциальности диффе- ренцируемого векторного поля р. Доказательство.
Применим схему: Утверждения 1 — г 2 и 2 — г 3 справедливы без предположения поверхностной односвязности области Р и доказываются в полной аналогии с соответствующими утверждениями теорем 7.7 и 7.8. Докажем утверждс.ние 3 -э 1. Пусть Ь замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в Р.По предположению, Р поверхностно-односвязная область.
Поэтому в Р сугцествует такая кусочно-гладкая поверхность Я, границей которой является Ь. По формуле Стокса (7.26) имеем ф рФ сЦ = О и го1 р ао. Ь гг Отсюда и из условия го1р = О получаем фрйд1 = О, Ь т. е. поле р является потенциальным. Теорема доказана. *т т НРилОжиния ФОРмУл ГРинА, стОксА и ОстРОГРАДскОГО 209 йнр = О. Доказательство. 1) Необходимосттсь. Пусть М вЂ” произвольная точка области Р. Рассмотрим любую сферу Я с центром в М, целиком расположенную в Р. Применяя к шару Рз с границей Я формулу Остроградского (7.33), получим )0с1 рд = Впрд (7.42) Так как поле р является соленоидальным, то и прдо = О, и Я поэтому, согласно (7.42), Ш йу рди = О. Применяя к последнеПз му интегралу теорему о среднем, мы убедимся, что в некоторой точке шара Рз йнр = О.
В силу произвольности этого шара и непрерывности поля р отсюда следует обращение в нуль йу р в точке М. Таким образом, необходимость условий теоремы доказана. 2) Достаточность. Пусть Я любая замкнутая, кусочно- гладкая, несамопересекаюсцаяся, ориентируемая поверхностть расположенная в Р. Так как Р—. объемно односвязная область, то Я является границей области Ря, также расположенной в Р.
Применяя к Рз и векторноьлу. полю р формулу Остроградского (7.33), получим соотношение (7.42), из которого и из условия Жу р = 0 следует соотношение 0 р Так как Я произвольная замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересекающаяся, ориентируемая поверхность, расположенная в Р, то последнее равенство, согласно определению, означает соленоидвльность поля р в Р. Теорема доказана. В заключение этого пункта докажем теорему о необходимых и достаточных условиях солепоидальности векторного поля в так называемых объемно-односвязных областях.
При этом пространственная область Р называется объемно-односвязнойс если любая замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересекающаяся ориентируемая поверхность, расположенная в Р, является границей области, также рассюложенной в Р. Теорема 7.10. Для тпого чтобы непрерывно дифсттеренцируемое векторное поле р было соленоида,льным в объемно-одно- связной областпи Р, необходимо и достаточно, чтобьс во всех точках Р вьсполнялось равенспсво 210 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 ДОПОЛНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛГэНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ й 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
