Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 36
Текст из файла (страница 36)
7 Мы укажем способ специального разбиения области 17 на подобласти. Такие разбиения понадобятся нам при доказательстве теоремы 1. 1'. Убедимся, что для любого в ) О можно так выбрать квадраты гьгг, Яз, ..., 1~„с центрами в угловых точках границы 7 и со сторонами., параллельными осям Ох Юг и Оу (рис. 7.4), что будут выполнены следующие условии: 1) Граница любого квадрата сэ, с ьз г, центром в Р, пересекается с каждой из двух ветвей границы Л, исходящих из р — Рэ Р, г) ровно в одной точке (см. рис. 7.4). Указанные точки являкгтся единствена,ОУ' ными общими точками границы квадрата с„г, с границей 7.
2) Сумма площадей квадратов сьэ,, будег меньше в; сумма длин частей граРис. 7.4 ницы Л, находящихся в квадратах ф, также будет меныпе а Очевидно, при этом сумма периметров квадратов ф не превышает Ав, где А некоторая константа. Возможность указанного выше выбора квадратов ф, вытекает из следующих рассуждений. Рассмотрим Л-окрестности угловых точек, подчиненные требованиям: 1. Эти Л-окрестности не пересекаются.
2. Сумма длин всех Л-окрестностей меныпе а 3. Точная верхняя грань углов, которые составляют касательные каждой из полуокрестпостей Л-окрестности с соответствующей полукасательной в угловой точке меньше а ( гг/8. Возможность выбора таких Л-окрестностей угловых точек очевидна. Отметим, что каждая из полуокрестностей выбранных Л-окрестностей удовлетворяет условиям леммы 3. Поэтому каждая из этих полуокрестностей пересекается не более чем в одной точке с границей любого квадрата с центром в соответствующей угловой точке.
Для каждой угловой точки Р; определим число в ) О, равное точной нижней грани расстояний от Р, до части А, полученной удалением из Ь Л-окрестности точки Р,. Обозначим д = гп1п1ог, бз, ..., да). Ясно, что любой квадрат с„г, с центром в Рь длина стороны которого меньше уг2д, удовлетворяет сформулированному выше условию 1). ибо при указанном выборе квадрата ф для каждой из полуокрестностей !г ) Достаточно малая Л-окрестность угловой точки Р, состоит из двух гладких ветвей, исходящих из этой точки. 187 срОРМГГЛЛ ГРИНА точки Р, выполнены условия леммы 4 и, кроме того, граничные точки полуокрестности лежат вне квадрата О, сэтим обеспечивается единственность точки пересечения полуокрестности с границей квадрата).
Ясно также, что за счет учменьшения сторон квадратов можно добиться, чтобы сумма их площадей была меньше е. Очевидно, сумма длин частей границы То находящихся в квадратах Щ, будет меньше е за счет специального выбора Л-окрестностей угловых точек. Таким образом, условие 2) также выполняется при указанном выборе квадратов ф. 2'.
Удалим из Ь те части, которые находятся в квадратах Я. Оставшаяся после удаления часть 1 представляет собой набор гладких кривых Хе без общих точек; при этом некоторые из Х; представляют собой гладкие замкнутые кривые. Отметим, что каждая незамкнутая кривая 1ч состоит из внутренних точек гладкой кривой Ь,, граничными точками которой будут угловые точки 1 (см. рис. 7.4). Для каждой из кривых Х; воспользуемся леммой 1 предыдущего пункта.
Пусть Л, и б;. числа, гарантированные для 1., этой леммой. При этом число б,* мы подчиним еще одному требованию будем считать, что б,*. меныпе нижней грани расстояний от точек Х; до остальных кривых Ть. Далее обозначим Л = спш(ЛН Лсо ..., Л„) и О < б* < шш(б,*, б2, ..., б~,), б* < < ъс2б, где б - число, выбранное в 1'. Очевидно, Л > д*.
Разобьем каждую кривую Х, на конечное число частей длины меньше б*. Построим квадраты Щ, центры которых находятся в точках разбиения кривой Х„со сторонами длины б', параллельными осям Ох и Оу. 3'. С помощью квадратов Ос и Я; построим требуемое разбиение области 11. 1) Удалим из 11 части, общие 1У и квадратам бьУ,.
Оставшуюся часть В обозначим через В„а границу Те через Х,. Граница Х, состоит из кривых Х, и отрезков прямых, параллельных координатным осям. 2) Обозначим через сьз; общую часть квадрата ф и области 1У,-. Области сэ,, разбивают область Уе на односвязные части 1т., ~), граница каждой из которых состоит из прямолинейных отрезков, параллельных координатным осям и, быть может, одного криволинейного отрезка, содержащегося в одной из кривых Х,, и имеющего длину меньше б. Так как указанный криволинейный ') Область 1Э называется односвязной, если любая кусочно-гладкая, несамопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в В, ограничивает область, все точки которой принадлежат В.
188 ФОРМУЛЫ ГРИИЛ, СТОКСЛ И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 отрезок проецируется однозначно на одну из координатных осей (длигга каждого такого отрезка меньше б* ( Л, а н этом случае, согласно следствию 1 из леммы 1, этот отрезок однозначно проецируется на одну из координатных осей), то, очевидно, лгобая область Р, может быть разбита Б, прямыми, параллельными одной из координазпных осей на конечное. число часгпей Рьм каждая из которых прсдстаоляет собой ли+ — — — — — бо прямоугольниК либо криволинеаную тра- О, х пецто ), быть может, выродившуюся в кри- Рис.
7.5 волинейный треугольник. На рис.7.5 показана одна из областей Рн Штриховыми линиями показано разбиение Р; на части Ры 6. Доказательство теоремы 7.1. Мы только что убедились, что после удаления из Р частей, находящихся н квадратах ф, получается область Рг ~) с границей Рв, которая может быть разбита на конечное чисто специального вида областей Ры Докажем, что для области Р, справедлива формула Грина. Согласно следствию в и. 3 данного параграфа для этого достаточно убедиться, что каждая из областей Рь по отношению к некоторой специально избранной декартовой системе координат будет областью типа К. Если Рь" . прямоугольник, то требуемой систеъюй является, например, система координат, одна из осей которой параллельна диагонали этого прямоугольника.
Пусть Рь является криволинейной трапецией или криволинейным треугольником. Из способа построения областей Рь следует, что кривая сторона границы Рь удовлетворяет условиям леммы 1 п. 4 этого параграфа и поэтому, согласно следствию 2 из этой леммы, однозначно проецируется на обе координатные оси специально выбранной декартовой прямоугольной системы координат.
Так как малые изменения выбора этой системы не нарушагот указанного свойства, то, очевидно, мы можем выбрать такую систему координат, на обе оси которой однозначно проецируются и прямолинейныс части границы Ры По отношению к этой системе координат Рь будет областью типа К. Итак, для области Р, справедлива ) Напомним, что криволинейной трапецией называется фигура, основания которой параллельны одной нз координатных осей, одна из боковых сторон параллельная другой координатной оси и па зту последшою ось однозначно проецируется кривая боковая сторона трапеции.
ю ) Напомним, что квадраты Я, выбираются по любому данному положительному е так, чтобы сумма их площадей была меньше е и сумма длин ЧаСтЕй ГраНИцЫ Ь, раСПОЛОжЕННЫХ В С1о бЫЛа таКжЕ МЕНЫПЕ Е. ЯСНО, Чта при е -э О области Т), исчерпывают область 1З. 189 ФОРмулА стоксА формула Грина Ц ( — — — ) з*зу = ф Р з* + О зу. (7.10) Ги 1,.- Из способа построения областей Р, следует, что при е — т 0 левая и правая части формулы (7.10) имеют соответственно пределы 1 — — — 1 с1хду и Рдх+ Яду. Теорема 7.1 доказана.
„т 1дх ду/ 8 2. Формула Стокса ') фф(( — — — ) х+( — — ) . у+( — — — ) е)з = ф Р с1х + Я с1у + В (Ь. (7.12) г ) Дж. Г. Стокс - . известный английский физик и математик (1819 1903). ) Отьгетиьт, что замкнутая поверхность не имеет границы. 1. Формулировка основной теоремы. Пусть Я ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г ) .
Окрестностью поверхности Я будем называть любое открытое множество Й, содержащее Я. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.3. Пусть в некоторой окрестности поверхттости Я функции Р(х, у, г), фх, у, г) и Шх, у, г) непрерывны и имеют, непрерывные частпные, ттроизводньте первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение; Ядн бЯ)т з, (РР Он) з, (Я ОР)з = ф Р Йх + Я ату + П сЬ, (7.11) г называемое формулой Стокса. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам, граництя Г, на которых указано такое наттравлентзе обхода, при котором, с учетом выбора стороны поверхности, поверхность Я остается слева. Используя замечание 2 и.
2 9 3 гл. 4 о форме записи поверхностных интегралов второго рода и обозначения Х, У, Я для углов, которые образуют нормаль к поверхности с осями координат, можно переписать формулу Стокса (7.11) следующим образом: 190 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 (7.14) В следуюгцих пунктах мы докажем ряд предложений, ко- торые понадобятся на.м для доказательства сформулированной теоремы. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
