Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Дивергенция н ротор векторного поля. Производная векторного поля по направлению. Пусть в области П трехмерного евклидона пространства задано векторное поле р(ЛХ). В дальнейшем будем использовать обозначении: Ьг = ММ, Ьр = р(М') — р(М). ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАПИИ Сформулируеь! следующее определение. Определение э. Векп!орное поле р(М) называется д и фференцируемым в точ!се М области Й, если приращение поля Ьр в точке М может быть представлено в следующей форме: Ьр = АЬт+ о(~Ьт~), (6. 42) где А линейный оператор, не зависящий от Ьт (не зависящий от выбора точки М'). Соотношение. (6.42) мы будем называть условием дифферен; ц ир уемо с! аи поля р( М) в точке М.
Докажем, что если векторное поле р(М) дифференцируемо в точке М, то представление (6.42) для приращения Ьр этого поля в точке М единственно. Пусть Ьр = АА ~ + о1(~Ьт!) и Ьр = ВЬт+ оз(~Ьт~) (643) --два представления приращения Ьр в точке М. Из формул (6.43) при Ьт ф О получаем соотношение (А — В)е = (6. 44) у"лт ~ сьт в котором е = — единичный вектор, о(!слт~) = о1(~ьт~)— ~!лт~ — ог()Ьт().
Так как оДЬт!) бесконечно малый вектор при слт — ь (слт~ — ! О, а е произвольный единичный вектор, то из (6.44) следует, что (А — В)е = О для любого е, т. е. А = В. Единственность представления (6.42) доказана. Будем говорить, что векпюрное поле р(М), заданное в облав!пи 11, дифференцируемо в этой обласпщ, если оно дифферен; цируемо в каэ1сдой точке области й. Введем понягаие производной по направлению для векп1орного поля р(М). Пусть поле р(М) задано в области 11, М.-.некоторая точка Й, е единичный вектор, указывающий направление в точке М. Пусть далее М' — любая точка из П, отличная от М и такая, что I вектор ММ коллинеарен вектору е. Расстояние между точками М и М' обозначим через р. Если существует предел 1пп— ~р р-чв р (Ьр = р(М') — р(М)), то этот предел называется производной полз р(М) в точке М по направлению е и обозначается др символом —.
де Е В. А. Ильин я Э. Г. Позняк, часть Н 162 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Таким образом (6.47) дх ду дх дс2 ддц дц дх. ду дх дд дй дЛ х А= (6А8) дх ду дх Введем понятие дивергенции и ротора дифферснцирусмого в области П векторного поля р(М), т. е.
такого поля, прира- — = 1ш (6.45) де р~в р Справедливо следующее утверждение. Пусть поле р(М) дифферепцируемо в точке М области й, Тогда проиэводнал — полл р др де в этой точке по любому направлению е суь4ествует и может быть найдена по формуле — 'о =Ае, (6.46) де где А -- линейный оператор, определенный соотноихением (6.42). Докажем это утверждение. Пусть е любое фиксированное направление и пусть точка М' берется так, что вектор Ьт = ре и (Ьп) = р. Подставляя это значение Ьт в соотношение (6.42) и используя свойства линейного оператора, найдем Ьр = рАе + о1р).
Отсюда получаем формулу — = Ае+ —. Ьр о(р) р Р Из соотношений (6.45) и (6.47) вытекает формула (6.46). Утверждение доказано. Пусть р(М) — — дифференцируемое в точке М области й поле. Тогда Ьр = АЬР+ о(~Ьп~). Найдем матрицу линейного оператора А для случая ортонормированного базиса х', у, й. Мы будем считать, что с этим базисом связана декартова прямоугольная система координат Отуг. Обозначим через Р, Я и Л координаты векторного поля р(М) в базисе х, у, к. Очевидно, согласно формуле (6.46), дх дх ' дд ду ' дх дх Из этих формул и из соотношений (6.26) для матрицы коэффициентов линейного оператора в ортонормироваппом базисе х, у, а а сгедует, что матрица А рассматриваемого оператора А имеет вид дР дР дР ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРЛПИИ щение гдр которого в на>клей точке М области П может быть представлено в виде Ьр = АЬг + о(~ЬР)), причем оператор А, вообще говоря, меняется при переходе от одной точки области П к другой.
Иными словами, оператор зависит от точки М и не зависит, конечно, от,Лт'. Назовем дивергенцией и ротором полл р(М) в точке М областаи П дивгргенцию и ротор линейного оператора, А. Таким образом, по определению дггтр = дггт А, той р = той А. (6.49) 3 а м е ч а н и е. При наших предположениях о дифференцируемости поля р(М) в области П дивергенция д(у р и ротор гор р определены в каждой точке П.
Поскольку зти объекты являются инвариантами (не зависят от выбора базиса), то, очевидно, с((у р представляет собой скалярное поле, а го1 р векторное поле в области П. Найдем выражения дивергенции, ротора и производной по направлению для дифференцируемого векторного поля р(М), считая, что в пространстве выбран ортонормированпый базис т, у, Й, с которым связана декартова прямоугольная система координат Окуг. При этом, как и выше, будем считать, что поле р(М) имеет координаты Р, б>, Л в базисе т, т',. Й.
а Так как матрица А линейного оператора А определяется в рассматриваемом случае соотношением (6.48) и по определению д(ур = с((уА, гоар = го1 А (см. (6.49)), то, согласно формулам (6.27) и (6.29), получим 6(ур = — + — + — ', дР дтпл дй (6.50) дт. ду дг ' (р= ( — — ~~)т+ ( — — — )у+ ф — — )Й, (661) Для вычисления производной векторного поля р(М) по направлению е воспользуемся формулой (6.46) и свойствами линейного оператора.
Пусть е = т сов сг+ т' сов Д+ Й сов у т) . Тогда, согласно (6.46), получим — Р = Ае = совет Ат+ сов дАт'+ совуАЙ = др де = совы — + соа Д вЂ” + соз.у — = совет — + сов Д вЂ” + сов у — . др др др др др др дт дд дЙ ' д ' ду ' дг' ) Так как е — единичный вектор, то его координаты имеют вид (соао, саад, сок т), где о, д и э — углы, которые составляет этот вектор с осями Ох, Оу и Ог соответственно. 164 ОСНОВНЫЕ ОПЕРЛИИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гл. в Таким образолг, производная — может оыть вычислена либо по др де форму.ле — = соя а — + соя 13 — + соя у —, др , др др др 16.52) де дх ду дх либо, учитывая, что Р, ф тг — -координаты рСМ), по формуле др гдР дР др — = ( — сояо+ — сояЦ+ — сов у)а+ де дх ду дх + ( — сово+ — совр'+ — сов у) у + Удг2 , да дд дх ду дх + ( — сова+ — совр'+ — сов у)гй.
16.53) г' дд дУС дд С, д ' ' ду ' ' д. ' ' ) 4. Повторные операции теории поля. Будем считать, что в области П евклидова пространства ЬЯ заданы скалярное поле иСМ) класса СЯ ) и векторное поле рСМ) класса С~. При этих предгюложениях ягасС и представляет собой дифферепцируемое векторное поле в Й, г11и р — . дифферепцируемое скалярное поле, а гоСр- диффсренцируемое векторное поле. Поэтому возможны следующие повторные операции: гоС йгас1 и, Жи ига<1 и, кгаг1 с11и р, г11и гоС р, гоС гоС р. Докажем, что гоСбгагСи = О, сСгигоСр = О.
16.54) Для доказательства вычислим гоС гагСи и ЙигоСр в декартовой прямоугольной системе координат. Так как в этом случае ди ди ди координаты ягасу и равны —, —, —, то на основании формулы дх' ду' дх' 16.51) получим гоС стасу и = ( д и' — д и )4+ ( д и — д и )у + ду дв дх ду дх дх дх дх (дхду дудх) Таким образом, первое из равенств 16.54) справедливо для декартовой системы координат. В силу инвариантности выражения гоСкгасСи, первое из равенств С6.54) доказано. Перейдем к доказательству второго равенства С6.54). Обратимся опять к декартовой системе координат. В этой системе, согласно С6.51), !г ) гФункция принадлежит классу С ' в области й, если все ее частные про- А изводные порядка й непрерывны.
*з 3 ВыРА>кение ОпеРАций В кРиВОлинейных кООРДинлтлх 165 Удн дгР> Уд дт вектоРное поле го1 Р имеет кооРДинаты ( — — — ), и†~ ду д-)' > дв дт)' ( )- — — — ), где Р, (>, Л координаты вектора р. Согласно (6.50) дс„> д~ > дх ду дивергенция векторного поля го1 р в декартовой прямоугольной системе координат равна сумме производных компонент этого поля по одноименным координатам.
Таким образом, Таким образом, второе из равенств 16.54) справедливо для де- картовой системы координат. В силу инвариантности выраже- ния Мч го1 р, второе из равенств 16.54) справедливо в люб>ой си- стеме координат. Одной из основных повторных операций теории поля явля- ется операция 6>уйгайи. Кратко эту операцию обознача>от Ьи, причем символ Ь обычно называют оператором Лапласа 1) .
Та- ким образом, >'>и = П>гкйгас1и. 16 55) Вычислим оператор Лапласа в декартовой прямоугольной системе координат. В такой системе векторное поле йгаби имеди ди ди ет координаты —, —, —. Обращаясь к выражению 16.50) для дт' др' дв дивергенции векторного поля, получим 16. 56) Повторные операции ягаб йтр и го1 гоФ р связаны соотношением гоФ го1 р = ягаб П>у р — Ьр, (6. 57) где Ьр представляет собой вектор, координаты которого в базисе 4, 7, й равны ЬР, Ьс,>, ЬЛ '1Р, (,>, Л координаты векторного поля р в базисе т', т', й).
В справедливости соотношения (6.57) читатель легко убедится самостоятельно. 8 3. Выражение основных операций теории поля в криволинейных координатах 1. Криволинейные координаты. Пусть П область евклидова пространства Е'; х, у, з декартовы координаты в этом з. пространстве. Пусть далее, П - . область евклидова пространства Е; х', х, х — декартовы координаты в Ез. !> ) П. С. Лаплас — выдающийся французский астроном, математик и физик (1749- 1827).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
