Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 35
Текст из файла (страница 35)
7 эти участки в соседних областях Рь обходятся в противоположных направлениях (для пояснения можно обратиться к рис. 7.2). 3 а м с ч а н и е 3. Произвольную конечную связную область Р с кусочно-гладкой границей Х нельзя, вообще говоря, разбить на конечное число областей Рь указанного выше вида. Однако из каждой конечной области Р с кусочно-гладкой границей можно удалить такую как угодно малую часть, что оставшаяся область может быть разбита нужным образом. При этом вклад в правую и левую части формулы Грина, отвечающий удаленной части области Р, будет соответственно как утодно мэл. Эта идея лежит в основе доказательства формулы Грина в общем случае.
В следующем пункте мы докажем ряд вспомогательных предложений, с помощью которых указанным способом будет установлена формула Грина в общем случае. 4. Вспомогательные предложения. Пусть Х кусочно- гладкая плоская кривая без самопересечений, на которой в качестве параметра выбрана длина дуги 1. Окрестностью внугпренней точки Р на кривой Х мы будем называть любое, не совпадающее со всей кривой Х связное открытое множество точек этой кривой, содержащее точку Р.
Для граничной точки Х вводится понятие полуокрестности ) . Длину окрестности (или полуокрестности) бу— Р дем называть ес размером. А Внутренняя точка Р кривой Х разбивает каждую свою окрестность на две полуокрест- А ности. Окрестность точки Р будем называть Х Л-окрестностью, если каждая из полуокрестно- стей имеет длину Л. и Лемма 1. Пусть Х гладкая конечная 1. кривая, без самопересечении, А и В .- граничРис. 7.З иые точки этой кРивой, Х свлзнал часть кривой Х, которая вместе со своими концами А и В целиком свспюит из вну771ренних гаочек кривой Х (рис. 7.3) ") .
Можно указать два таких положительных числа Л и б, что точная верхняя грань углов, которые составляют касательные в точках Л-окрестэюсти любой точки Р кривой Х з) ') Егчи Р— граничная точка кривой б, а Я вЂ” любая ее другая точка, то множество всех точек кривой и, заключенных между Р и Ц, включающее точку Р и не включающее точку Я, мы назовем полу окрестностью точки Р. э) Кривая может быть и замкнутой. В этом случае Х может совпадать с б.
Если б — замкнутая кривая с одной угловой точкой, то Х вЂ” любая замкнутая связная часть 1,но содержащая эту угловую точку. ) Окрестность точки кривой Х рассматривается как окрестность этой точки на кривой и. грОРМУЛЛ ГРИНА с касательной в точке Р меныае к/8, а расстояния. от точки Р до точек кривой Л, расположенных вне Л-окрестности., не меньше д ) .
Доказательство. Убедимся, что можно указать Л > > О, удовлетворяющее услошсям леммы. Во-первых,. отметим, что для любого се > О для каждой точки Р можно указать такую Л-окрестпость (Л ) О), в пределах которой верхняя грань углов, которые составляют касательные в точках этой Л-окрсстности с касательной в точке Р меньше ос Это следует из непрерывности касательных к кривой Ь. Речь идет об универсальном Л, пригодном для всех точек кривой Х.
Дону.стим, что нет Л ) О, удовлетворяющего условиям леммы. Тогда для любого Л„= 1(п на Х найдутся такие точки Р„и с,)о, что длина дуги Робуо меньше Л„, а угол между касательными в этих точках не меньше фиксированного ст ( к/8. Выделим из последовательности 1Р ) подпоследовательность 1Рнв), сходЯ- щуюся к точке Р кривой Х. Очевидно, подпоследовательность Ща ) также сходится к Р. Рассмотрим ту Л-окрестность точки т', в которой точная верхняя грань углов между касательными в точках окрестности и в точке Р меныпе ст/2. Ясно, что угол между касательными в любых двух точках указанной Л-окрестности точки Р меньше ее При достаточно болыпом пы точки Р„, и Я„, попадут в выбранную Л-окрестность точки Р, и поэтому угол между касательными в этих точках должен быть меньше сг, тогда как по выбору этих точек этот угол должен быть больше или равен сг.
Это противоречие опровергает сделанное допущение о несуществовании Л ) О,. удовлетворяющего условиям леммы. Отметим, что требуемое Л меныпе каждой из дуг АА и ВВ. Докажем тпеперь, что можно указать б ) О, удовлетворяющее условиям леммьь Допустим, что нет д > О, удовлетворяющего условиям леммы. Тогда для любого бн = 1,1п можно указать на Х такую точку Р„и на Ь такую точку Я„, что длина дуги РЯ„больше или равна Л ), тогда как хорда РаГу„иксеет длину меньше б„. Выделим 2~ из последовательности 1Р„) подпоследовательностгч сходящуюся к точке Р кривой Х н рассмотрим соответствующую подпоспедовательность последовательности Я„). Из этой последней подпоследовательпости выделим подпоследовательность Янв), сходящуюся к точке Я кривой т.
Ясно, что подпоследователь- ') Очевидно, Л > 6. е) Сунсоствование такого Л ужо установлено в первой части доказательства леммы. 184 ФОРмУлы ГРинА, стОксА и ОстРОГРАДскОГО Гл. 7 ность (Рп,) сходится к Р. Так как по выбору точек Р„„и Цп, длина дуги Рл,Я,,ц больше или равна Л, то и длина дуги РЯ больше или равна Л. Поскольку длины хорд Р„Яп, стремятся к нулю., то длина хорды Рс.г равна нулю, т. е. точка Р совпадает с точкой О и является поэтому точкой самопересечения кривой Ь без самоперсссчсний.
Полученное противоречие подтверждает возможность выбора требуемого б > О. Доказательство леммы завершено. Следстпвие 1. Пустпь кривые Ь и Х удовлетворяют условиям леммы 1. Тогда можно указить такое число 2Л, что любая дуги кривой Х длины меньше 2Л однозначно проецируется на одну из координатньсх осей фиксированной декартовой прямоугольной системы координат Оху. Действительно, возьмем в качестве Л число, указанное в лемме 1.,11юбая дуга кривой Х длины меныпе 2Л содержится в Л-окрестности некоторой точки Р кривой Х.
Касательная в точке Р составляет с одной из осей Ох или Оу угол, меньший или равный к/4. Тогда, очевидно, касательная в любой точке рассматриваемой дуги составляет с этой осью угол, меньший к/2, и поэтому эта дуга однозначно проецируется на указанную ось (при нс'однозначном проецировании были бы касательные, составляющие с указанной осью угол, равный к7с2).
Следствие 2. Пусть кривые Ь и Х удовлетворяют условиям леммы, 1. Тогди можно указать тпакое число 2Л > О, .что любая дуга кривой' Х длигсы млпьисе 2Л однозначно проецируется на обе координатные оси специально выбранной для этой дуги декартовой прямоугольной, системы коо1здинат Оху. Возьмем в качестве Л число указанное в лемме. Любая дуга кривой Х меньше 2Л содержится в Л-окрестности некоторой точки Р кривой Х.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы касательная в Р с ее осями составляла угол к,74. Тогда касательная в любой точке указанной дуги будет составлять с каждой из осей Ох и Оу угол, меньший к/2, и поэтому эта дуга будет однозначно проецироваться на каждую из осей. Отметим, что малые изменения выбранной системы координат не влияют на возможность однозначного проецирования дуги на обе координатные оси. Лемма й.
Пушпь Я квадрагп, П угол с вершиной в центре Р квадрата бэ и с раствором 2сг ( к/4. Обозначим через Г чашпь границы квадрата Я, заклгоченную в угле Л. Тогда угол между любой хордой линии Г (прямая, соединяющая две точки Г) и биссектрисой угла П не меньше сг. Ввиду элементарности не будем приводить доказательство этой леммы. 185 ФОРМУЛЛ ГРИНА Лемма Я.
Пусть Яь1 квадрат, А гладкая кривая без самопересечгний, выходясцая из центра Р квадрата Я. Пусть точная верхняя грань углов, которые составляют касательные к Т с полукасательной к Т в точке Р, равна ст < к/8. Тогда б пересекает границу квадрата Я не более чем в одной тпочке. Доказательство. Построим угол В с раствором 2сц 2о < 2о < к/4, биссектрисой которого является полукасательная к б в точке Р, а вершиной--центр Р квадрата. Обозначим через Г часть границы квадрата ф заключенную н утле П.
Очевидно, кривая Ь расположена внутри угла П (если бы Т пересекала сторону угла В в точке, отличной от Р, то нашлась бы касательная, параллельная этой стороне и указанная касательная составляла бы с полукасательпой к б в точке Р угол, равный сг > ст, что противоречит условию). Пусть Х пересекает Г в двух точках М и От. Тогда на Т нашлась бы точка, касательная в которой параллельна хорде Мзу и, согласно лемме 3, .эта касательная составляла бы с полукасатсльной к А в Р угол не меньший сг > сг, а это противоречит условию.
Лемма доказана. Следствие из лемм 1 и 3. Пусть кривые А и Х удовлетпворяют условиям леммы 1 и б > О число, указанное в этой лемме. Тогда кривая Х пересекает границу тобаго квадрата сЗ с центпром в произвольной точке Р этой кривой и со стороной., меньтаей у'2б, не более чем в двух точках. Убедимся в справедливости следствия. Пус:ть Р— - произвольная точка кривой Х и Л > О число, указанное в лемме 1.
Обратимся к Л-окрестности точки Р. Обе граничные точки этой окрестности и часть Х, расположенная вне Л-окрестности, согласно лемме 1, лежат вне любого квадрата с центром в Р и со стороной, меньшей ч 2б. Поэтому рассматриваемая Л-окрестность (и только она) пересекается с границей квадрата Я Так как каждая из полуокрестностей рассматриваемой Л-окрестности точки Р удовлетворяет условиям леммы 3, то ясно, что Л-окрестность перссечст границу квадрата Я не более чем в двух точках. 5. Специальное разбиение области Р с кусочно-гладкой границей Х. Пусть Р многосвязная конечная область, граница Т которой состоит из конечного числа замкнутых кусо гпо-гладких кривых; Ры Рз, ..., Рп "- у~до~~с тетки грани цы А.
Будем считать, что на плоскости выбрана декартова прямоугольная система координат Оху. ю ) Здесь используется теорема Жордана, утверждающая, что если две точки непрерывной кривой Е являются внутренней и внешней точками области Р, то А пересекает гранину Р. 186 ФОРмУлы ГринА, стОксА и ОстРОГРАДскОГО Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
