Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Так как в этом случае взаимный базис совпадает с заданным, тог согласно формулам [6.20), элементы агу матрицы ОСНОВНЫЕ ОПЕРАИИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ оператора А люгут быть найдены по формулам ап = гАг, ага = гА7', а~з = гАЙ, аз~ = зАг, азз = уАу, азз = уАЙ, (6.26) азг = ЙАг, азз = ЙА7', азз = йАй (в отличие от общего случая, мы обозначили элементы матрицы оператора А символами а ~ вместо а~). Для дивергенции оператора А получим следующее выражение: 3 дпгА = ~ аи = ам + азз + азз = гАг + у Ау + йАй. (6 27) Найдем выражение для ротора оператора А.
Так как в случае ортонормированного базиса взаимные базисы совпадают, то из (6.25) для гос А получаем го1 А = [гАг1 + [уА7) + [ЙАЙ). (6.28) Вычислим первое векторное произведение [гАг). Поскольку Аг = = апг + азгз + аз~й, то [гАг) = ап[зз) + аз~[ау) + ам[зй) = — амР'+ азий Совершенно аналогично полу.чаются формулы [уАу] = азий' — огай, [ЙАЙ) = — иззу'+ а1зз. С помощью полученных формул и соотношения (6.28) для го$ А найдем госА = (азз — азз)г+ (аы — азг)у + (аап — агз)й. (6.29) й 2.
Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем 1. Понятия скалярного и векторного поля. Пусть П-- область на плоскости нли в пространстве. Говорят, что в области П задано скаллрное поле., если каж:— дой точке М из П ставится в соответствие по известному закону некогпорое число и(М). Отметим, что понятия скалярного поля и функции, заданной в области П, совпадают. Обычно используется следующая терминология: скалярное поле задается с помощью функции и(М). Попятив векторного поля вводится в полной аналогии с понятием скалярного поля: если каоюдой елочке М области П ставится в соответствие по известному закону некоторый век- 157 основнын понятия и опнглпии гавр р(М), то говорятг что в области й задано векторное поле.
Мы будегз использовать терминологию: векторное поле. звдаелпся с помощью векторной функции р(М). Поле температур внутри нагретого тела, поле плотности массы примеры скалярных полей. Поле скоростей установившегося потока жидкости, поле магнитной напряженности примеры векторных полей. 2. Дифференцируемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Производная по направлению. Мы уже отметили, что понятия скалярного поля и(М) в области й и функции, заданной в этой области, совпадают. Поэтому мы можем определить дифференцируемость скалярного поля как дифференцируемость функции, задающей это поле.
Для удобства мы сформулируем понятие дифференцируемости поля, используя терминологию, несколько отличную от обычной. Будем называть линейной формой з"(глг) относительно вектора Ьг скалярное произведение этого вектора на некоторый, не зависящий от Ьт вектор н. Будем также использовать обозначения: р = р(М, М') расстояние между точками М и М', г глг = ММ - вектор, соединяющий точки М и М', гъи = и(М ) — и(М) приращение поля в точке М. Сформулируем следующее определение. Определение 1. Скалярное поле а(М) назьюается д и фф ер е и ц ир у ем ы м в точке М области й, если приращегиге поля ли в точке М мозюет бьапь представлено в следующей форме: (6.30) ,"ъи = 1(глт) + о(р), где г" (Ьг) пргдгипавлязт собой линейную форму ьтппосительно вектора ъъг. Соотношение (6.30) мы будем называть условием дифференцируемости поля и(М) в точке М.
3 а меч ание 1. Так как линейная форма1(Ьт) представляет собой скалярное произведение н глт, где и -- не зависящий от 1ът вектор, то условие (6.30) дифференцируемости скалярного поля и(М) в точке М может быть записано в следующеъл виде: (6.31) Ьи = и гъг + о(р). Докажем, что если скалярное поле и(М) дифференцируемо в точке М, то представление (6.30) (или (6.31)) для приращения Ьи этого поля в точке М единственно. Пусть Ьи = и Ьт+оъ(р) и Ьи = Ь Ьт+ов(р) 158 Гл.
6 ОСНОВНЫЕ ОПЕРЛЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ два представления приращения гли в точке ЛХ. Из формул (6.32) для глт ф 0 получаем соотношение (а )) (6.33) ~Ьт~ гзт в котором е = единичный вектор, а о(р) = ог(р) — ог(р). ~'ргт~ Так как — = — бесконечно малая величина при р — г О, то о(р) о(р) из (6.33) шгедует, что (я' — Хг)е = 0 для любого е, т.
е. я' = Хг. Единственность представления (6.30) доказана. Мы будем говорить, что скалярное поле и(М), заданное в области Х), дифференцируемо в этой области, если оно дифференцируемо в каждой точке области Х1. Определение я. Градиентом в спичке М дифференцируемого в этой точке скаляргюго поля и(М) назыоается вектор яг определенный соотношением (6.31). Обозначается градиент скалярного поля символом ягас1 и. 3 а м е ч а и и е 2. Сформулированное выше определение дифференцируемости скалярного поля удобно тем, что оно имеет инвариантный, пе зависящий от выбора системы координат характер. Поэтому градиент скалярного поля представляет собой инвариант этого поля. 3 а меч ание 3.
Отметим следующее важное обстоятельство: если скалярное поле и(ЛХ), заданное в области Г), дифференцируемо в этой области, то градиент атас(и этого поля определен в каждой точке Х) и, очевггдно, предсгпавляегп собой векторное поле, задаггпое в Х). 3 ам е чан не 4. Для скалярного поля вводится понятие поверхности уровня (линии уровня для плоского поля), которая представляет собой множество гочс;к, на котором значения поля и(М) одинаковы.
Градиент поля в точке ЛХ ортогонален поверхности уровня в этой точке. Читатель легко убедится сам в справедливости этого замечания. Используя обозначение 8тас) и дли градиента скалярного поля, перепишем соотношение (6.31) в следующей форме: глгг = 8тас(и Ьт+ о(р). (6.34) Отметим, что слагаемое атас(и Ьт обычно называется диффереггцглалом ди скалярного поля. Таким образокг, длг = Етади глт. (6.35) Договоримся называть дифференциалом сХт приращение Ьт г радиуса-вектора т = ОМ, глт = ОМ вЂ” ОМ.
Тогда формула (6.35) для дифференциала ди скалярного поля может быть записана в виде (6.36) дгл = бгай и дт. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 159 Пусть в сюласти й заданы два дифференпируемых поля и(М) и о(М). Справедливы следующие соотношения: 8гас1(и ~ и) = рас1и ~ рас1и, рад(ии) = и 8гас1 и + о бгас1 и, (6.37) и октавии — и агасси ягас1 — = о из (при и ф О). Если Р дифференцируемая функция., то ягас1 Р(и) = Р'(и) бгай и,.
(6.38) Вывод формул (6.37) и (6.38) однотипен. Для примера убе- димся в справедливости второй из формул (6.37). Имеем, ис- пользуя формулу (6.34) и непрерывность функции и(М), Ь(ии) = и(М')и(М') — и(М)о(М) = = и(М') ско + о(М) сги = = (и(ЛХ) 8гас1и+ и(М) бгас1 и)ЬР+ о(р). Из этих соотношений вытекает, что приращение Ь(ии) может быть представлено в форме (6.31).
Поэтому ии дифференци- руемая функция и йгас1(ии) = и8гас1и+и8гас1и. Вторая из фор- мул (6.37) доказана. Введем понятие производной по направлению для скалярного поля. Пусть поле и(ЛХ) задано в области й, М вЂ” некоторая точка й, е - единичный вектор, указывающий направление в точке М. Пусть далее М' любая точка из й, отличная от М и такая, что вектор ММ' коллинеарен вектору е. Расстояние между М и М' обозначим через р. Если суисествует предел аи 1пп— р — со р (Ьи = и(М') — и(М)), то этот предел называется производной поля и в точке ЛХ по направлению е и обозначается символом ди —. Таким образом, де ди . Ьи — = 1ш1 —. (6. 39) де р-~о р Справедливо следующее утверждение. Пусть поле и(М) дифферющируемо в точке М. Тогда проди изводнол — поля и в этой точке по любому направлению е де суисествует и может быть найдена по формуле — = рас1 а е.
(6.40) де 160 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гл. а Докажем это утверждение. Пусть е любое фиксированное направление и пусть точка ЛХ' берется так, что вектор Ьг = / = ММ коллинеарен е. Ясно, что Ьг = ре. Подставляя значение Ьг в соотношение (6.34), найдем Ьи = (агади е)р+ о(р). Отсюда получаем формулу — = ради. е+ сги о(р) Р р (6.41) Из соотношений (6.39) и (6.41) вытекает формула (6.40).
Утверждение доказано. Найдем выражение градиента дифференцируелюго скалярного поля., считая, что в пространстве выбран ортонормированный базис г, т', й, с которым связана декартова прямоугольная система координат Олув. Так как ягад и = г'(угад и. 4) + т'(йгас1 и т') + ди ди ди ди ди ди +Й(угад сгсс) я — = —,.
— =— да дх' ду ду дй дс' то с помощью соотношения (6.40) получим .ди .ди ди ягад и = г — + 7' — + Й вЂ”. дх ду дс Рис. 6.1 С помощью выражения (6.40) для производной по направлению получаем следующую наглядную картину распределения значений производных по направлению поля и(М) в плоской области П в данной точке ЛХ.
Пусть кгад и ф- 0 (если йгад и = О, ди то из (6.40) вытекает, что — = 0 для любого е). На векторе де кгад и как диаметре (рис. 6.1) построим окружность С. Построим также окружность С*, равную С и касающуюся се в точке М. Пусть е — произвольное направление. Проведем через М полу- прямую по направлению вектора е.
Если эта полупрямая касается окружностей С и С, то — = 0 (вектор е ортогонален 6гад и). ди де ди Если же эта полупрямая пересекает С и.ли С* в точке ЛГ, то— де равно длине МЛС, взятой со знаком +, когда Л' лежит на С, и со знаком —, когда Лс лежит на С'. Для поля в пространстве окружности С и С' должны быль заменены сферами. З.Дифференцируемые векторные поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
