Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В указанной системе координат поверхность определяется параметрическими уравнениями х = х(и, и), у = у(и, и), х = г(и, и), а вектор [т„т3, имеет координаты (А, В, СТ, где А= У- ', В=" х"~, С=~ " . (5.10) Уи хи ' хч хв~ ' ~хг Уя Отметим, что для точек части Ф,, ввиду выбора б и ориентации оси Ох, величина С положительна, С ) О. Отметим также, что косинус угла зм между нормалью в точке М части Ф, н осью Ох равен С соа ум = )(тити)! (5.11) Применяя к интегралу в правой части (5.12) первую формулу Ясно, что угол ум является углом между нормалями в точках М и М, части Фь и поэтому для него справедливо представление (5.9).
Обратимся к интегралу ~Ят„тД дили, который, очевидно и, не зависит от выбора декартовых координат в пространстве. Ис1юльзуя положительность С и третью из формул (5.10), получим 140 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ среднего значения в обобщенной форме, получим Я~ствтД,сУисЬ = ~~ " и) 1 с' ' ' У с1ис1ог (5.13) х хи уи / „г' С 'гзСггг, е) й, хе уе г'гг й где М --. некоторая точка части Фь Так как < ~)тиг'е)~ 1 хв уо / соа ум хе уе лс (см. 5.10) и (5.11))г а ' ' У с1исЬ = ст, с) г то из формулы 'гч(х, у) П (5.13) и представления (5.9) для сов ум, найдем сто О ~~тите)/ сСсг сто — гг,гг схФ ~ стоги)/ сСгтсКо. 15.14) й, й, Складывая равенства (ос.14) для всех частей Ф; и учитывая, что Д ДртвтД с)ос)о = /ЯтвтД с1исго = сг, получим Е-.=--Е.О .,и и,и ° ' г й, (5.15) Оценим последнее слагаемое в правой части (5.15).
Имеем ОсгфДтптДсгисМо ( ~~~О~сгф,$ ~~тете)гсгис1о < г г < — ~г /1 ~~т„т ) ~ сги сЬ = — ст = г. гт,,/,/ гт й, Отсюда и из равенства (5.15) получим ст; — о < е. Е' г Таким образом, поверхность Ф квадрируема и ее площадь равна сс Мы рассмотрели скучай, когда на поверхности Ф может быть введена единая параметризация. В общем случае поверхность Ф ') Мы использовали Формулу длн площади плоской области при переходе от координат (х, у) к координатам (и, е) с помощью соотношешлй х = = хйи, е), у = у(и, е). ПЛО!ЦЛДЬ ПОВЕРХНОСТИ может бьггь разбита на конечное число частей, в каждой из которых может быть введена единая параметризация т). После этого площадь поверхности можно определить как сумму площадей указанных частей. Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е 1. Пусть поверхность Ф кусочно-гладкая, т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных полных двусторонних поверхностей. Очевидно, что поверхность Ф квадрирусма ее плотцадь может быть определена как сумма площадей составляющих ее поверхностей. 3 ам е чан и е 2. В процессе доказательства теоремы 5.2 мы установили, что если на поверхности Ф может быть введена единая параметризация и областью задания радиуса-вектора т(и, и) поверхности Ф является замкнутая ограниченная область й плоскости ии, то площадь о гтоверхности может быть найдена по форлтуле о = О ) ~т'от'„) ( ди ди.
(5.16) й Если х = х(и, и), у = у(и, и), г = г(и, и) параметрические уравнения поверхности, то вектор )г т„~ имеет координаты (А, В, С), определяемые соотношениями (5.10). Поскольку т,„,д =,х'~в"сс .. е.,„г.. Оы) . -. г „' писана в следующей форме: = П 'х' ~-вв' ' ~~--сс'г (5. 17) й Если воспользоваться обозначениями т„ = Е, т и„ = Р, т„.
= С и формулой т,гл = ЯЯ:Т. „.', то выражение (5.16) для площади поверхности можно записать также в следующей форме: ~ве — г'г г . (5.18) й 3 а м е ч а н и е 3. Площадь поверхности обладает свойством ад д и т и в н о с т и: если поверхность Ф разбита кусочтто-гладкой линией на не имеющие общих внутренних точек части Фт и Фэ, то п„лощадь т поверхности Ф равна сумме о1 + ог площадей частей Фг и Фэ.
Это свойство вытекает из представления площади с помощью интеграла и алдитивного свойства интеграла. ) Можно воспользоваться, например, леммой 3 и. 3 предыдущего параграфа. Согласно этой лемме Ф можно разбить на конечное число частей, каждая из которых однозначно проецируется на некоторую координатную плоскость и тем самым является графиком дифференцируемой функции. ПОВКРХНООТНЫК ИНТКГРЛЛЫ й 3. Поверхностные интегралы (5.20) (5 22) 1. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов. Пусть Ф гладкая, ограниченная лтолная двусторонняя поверхность. Пусть на Ф задана функция 1(М) точки М поверхности Ф.
Обозна лим через п(М) непрерывное векторное поле единичных нормалей к Ф. Разобьем поверхность Ф кусочно-гладкими кривыми па части Ф, и на каждой такой части выберем произвольно точку М;. Введем следующие обозначения: лл максимальный размер частей Ф,; ст, "площадь ФН Х;, 1'гз Я, - углы, которые составляет с осями координат вектор п(М;). Составим следующие четыре суммы: 1(Ф„Мг) = ~т 1'(Мг)он (5.19) 1(Фгг Мгг ~г) = ~У(Мг) сов~гехгг 1(г1тгг Мгг 1г) = ~ У(Мг) сов Угогг (5.21) 1(Ф„МП Хл) = ~~(Мл) сов Х;ст,.
Для каждой из этих сумм вводится понятие предела при Ь вЂ” э О. Мы сформулируем это понятие для сумм (5.19). Для сумм (5.20), (5.21) и (5.22) понятие предела формулируется аналогичным образом. Определение. Число 1 назьлвается и р е де лом сумм 1(Ф„М,) при Ь вЂ” л О, если для любого е > 0 можно указатаь такое б > О, что для любых разбиспий поверхности Ф кусо тгогладкими кривыми на конечное число частаей Ф„максимальный размер которых Ь меньше б, независимо от выбора точек М, тла частях Ф; вьтолнястся нерслвелютво ДФ,г Мл) — 11 <=. Предел 1 сумм 1(Ф„М,) при л1г — э 0 называется поверхностным интегралом первого рода от функции 1'(М) по поверхности Ф и обозначается следующим образом: 1= ОУ(М) с1 (523) Ф Если (х, у, г) —.
координаты точки М на поверхности Ф, то для 1(М) можно использовать обозначение 1'(х, у, х). В этом случае формулу (5.23) можно записать в виде 1 = и 1(х, у, г) сто. (5.24) Ф ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пределы сумм ЦФа М, Ег) ЦФН М~ 1г) и Т(Фг Ма Х~) при Ь вЂ” э 0 называются поверхностными интегралами второго рода от функции ~(М) по поверхности Ф. Для этих интегралов соответственно используются обозначения Ц 1(М) соя Я сЬ, О 1(М) соя У сЬ, О 1(М) соя Х сЬ или обозначения, аналогичные обозначению (5.24).
3 а м е ч а н и е 1. Из определения поверхностного интеграла первого рода следует неэависимосгпь этого интеграла от выбора, ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора, стороны поверхности. 3 а меч ание 2. Поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности: при изменении ориентации векторного поля единичных нормалей на противоположную все три поверхностных интеграла второго рода меняют знак па противоположный.
Это объясняется тем, что в каждой из сумм (5.20), (5.21) и (5.22) значения 1(М,) и и, не меняются при изменении ориентации, а значения косинусов углов, которые составляет нормаль п(М,) с осями координат, меняют знак на противоположный. 3 ам е ч ание 3. После выбора определенной стороны поверхности поверхностные интегралы второго рода могут, очевидно, рассматриваться как поверхностныс интегралы первого рода по поверхности Ф соответственно от функций Г" (М) соя Е(М), ~(М) соя У(М), 1'(М) соя Х(М). Действительно, после выбора определенной стороны поверхности соя Я, совУ, соя Х представляют собой функции точки М поверхности Ф.
2. Существование поверхностных интегралов первого и второго родов. Пусть поверхность Ф удовлетворяет условиям, сформулированным в начале и. 1 этого параграфа. Выберем на Ф определенную сторону. Согласно замечанию 3 предыдущего пункта после выбора определенной стороны поверхности Ф яюверхностные интегралы второго рода могут рассматриваться как интегралы первого рода.
Поэтому достаточные условия существования мы будем формулировать лишь для интегралов первого рода. Справедлива следующая теорема. Теорема Б.3. Пусть на поверхности Ф моэкно ввести единую параметриэацию посредством функций х = х(и, и), у = у(и, и), г = г(и, и), (5.25) эаданничх в ограниченной замкнутой области П плоскости ии и принадлежащих классу С1 в этой области. Если функция 144 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ ГЛ. 5 )' (М) = 1 (х, у, х) непрерывна на поверхности Ф ), пю поверхноспгный интеграл первого роди от, этой, функции гггг поверхности Ф суьйествует и моэ)сет быть вычислен по формуле х=Х)г(ы)г =ХХХ(*( °, ),г(, )г*(, и,/во-е'г г '). Ф и (5.2б) Доказательство.
Нам требуется доказать, чтодлялюбого е > О можно указать такое б > О, что для любого разбиения Ф кусочно-гладкими кривыми иа конечное число частей Ф„для которого Х.'т < б, независимо от выбора точек М; иа частях Ф, будет выполняться неравенство 1(Ф„М) — ХХг(*(«, ),г(., ), (, ))ххо — г гмг г .. и (5.27) Пусть е любое фиксированное положительное число. Выберем по этому е > О число б* > О так, чтобы выполнялись следующие два условия: 1) для любых двух точек (й;, и,) и (и„и;) области (1, Находящихся иа расстоянии, меньшем б*, выполнялось неравенство Е(й„йе) С(й„й() — Е' (й„и;)— < —, (5.28) 2ЛР где А положительное число, превосходящее максимум функции )Х'(М) ~, а. Р .
площадь области П; 2) для любого разбиения П кусочно-гладкими кривыми па, коисчиое число частей П;, размер которых меньше б*, и для любого выбора точек (и„и;) в пределах каждой части Пг выполнялось неравенство ~~(х(игч и,) г у(и;, и;), х(игг и,)) г — Х(х(ггг и)гУ(и, и),х(и, и)) ЕС вЂ” Ездггг(и < —., (5.29) и в котором о,' площади частей йг. ) Попятив непрерывности функции точки ЛХ, заданной на некотором множестве (ЛХ) в пространстве, сформулировано в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
