Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть имеется выражение, состав. ленное из сомножителей. Если в этом выражении имеются два одинаковых буквенных индекса, из которых один верхний. а другой нижний, то считают, что по этим индексам производится суммирование: индексам последо- вательно даются значения 1г 2г 3, а затем складываются полу- ченные слагаемые. Например, хлт = Х1Т + Х2Т + ХЗТ, слс = сл1 + с12 + слг, с 1,, 2 3 с 1 2 3 Ксьх х = (Кльх х ) + (Кгьх х ) + (Кзьх' х ) = с Ь ! Ь 2 1с 3 лс 1К11Х Х +К12Х Х + К1ЗХ Х ) + л,г 3 + (К21Х Х + К22Х Х + КЗЗХ Х' ) + + (К31Х Х + К32Х' Х + КЗЗХ Х ) 3 1 3 2 3 3 С помощью соглашения о суммировании формулы (6.3) записываются следующим компактным образом: х=х,;т', х=х'т,.
(6 4) 3 а меч ание 2. Верхние и нижние одинаковые индексы, о которых говорилось в соглашении о суммировании, обычно называются индексами суммирования. Ясно, что индексы суммирования могут обозначаться любыми буквами; при этом выражения, в которых они фигурируют, не изменяются. Например, хлт' и хгст" представляет собой одно и то же выражение. 1 1 пРБОБРлзОВАния БлзисОВ и кООРДинАт. инВАРиАнты 151 3 а м е ч а н и е 3. Все рассуждения этого пункта относились к случаю трехмерного пространства. В двумерном случае буквенные индексы принимают значения 1 и 2.
Получим явное выражение ковариантных и контравариантных координат вектора. Для этого умпожим скалярно первое из равенств (6.4) на гти а второе на г . Учитывая затем соотношения (6.1), найдем хгь = х,(гьгь) = х;бь — — хы хг" = х'(т;т ) = х'о," = х". Итак, х =хт', х'= хт'. (6. 5) С помощью соотношений (6.5) запишем формулы (6.4) в следующем виде: х = (хг,)г', х = (хг')гь (6.6) Соотношения (6.6) называются формулами Гиббса 1) . Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов. С помощью формул (6.6) получим т'~ = (г т')тм ге = (тьг,)г'. (6. 7) Введем обозначения Йы =гьгБ 8 =г г.
(6.8) С помощью этих обозначений перепишем соотношения (6.7) следующим образом: в гт гь =Кыг ° (6. 9) Итак, для построения базиса г" по базису гт достаточно знать матрицу (8ы), а для построения базиса гь по базису т' достаточно знать матрипу (йы). Докажем, что эти матрицы взаимно обратны. Для доказательства умножим первое из равенств (6.9) скалярно на т . Учитывая соотношения (6.1), получим Эти соотношениЯ показывают, что матРицы (йы) и (ды) взаимно обратны. Так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помощью соотношений (6.9) решается вопрос о построении взаимных базисов.
) Д. У. Гиббс -. американский физик-теоретик (1839-1903). 152 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 2. Преобразования базиса и координат. Пусть т; и т', 'г 1 = 1, 2, Зг — взаимные базисы, а т; и т' новые взаимные базисы. Используя соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов. Имеем; 1) формулы перехода от старого базиса т; к новому т, и формулы обратного перехода: т, =Ьгтп т;=Ь,'т,, г',гч=1,2,3; (610) г 2) формулы перехода от старого базиса т' к новому т' и формулы обратного перехода: т' = Б,'т', т' = Б,'гт', г', г' = 1, 2, 3. (6.11) Так как преобразования (6.10) взаимно обратны, то матрицы (6,',) и (Ь,'; ) взаимно обратны.
По аналогичным соображениям взаимно обратны и матрицы (Б; ') и (Б,',). Докажем, что матрицы (БР) и (Ь,',) совпадают. Тем самым будет доказшю совпадение матриц (Ь,' ) и (Ь, '). Для доказательства умножим скалярно первое из равенств (6.10) на т", а второе из равенств (6.11) на ть . Учитывая затем соотношения (6.1), найем г г / г 1 г т ти =ЬР (т ть ~~ = Б,,ЬИ вЂ” — Бм. Из этих соотношений получим Б,' =т;т', (6.12) (6.13) Поскольку правые части соотношений (6,12) и (6.13) равны, то равны и ~с~~с. И~~~~ с~о~а~~, Ь',, = Ь',:„а это и означает сов- падение матриц (Ь,',) и (Б,',).
Отметим, что элементы Ь,', матрицы (Б,',) могут быть вычислены по формулам (6.12). Мы можем теперь утверждать, что для перехода от базиса т;, т' к базису т;, т' достаточно знать лишь матрицу (Б,',) перехода от базиса т; к базису т, (матрица (Ь,' ) вычисляется по матрице (Ь,',)). Приведем гюлную сводку формул преобразований базисных векторов: 1Л , 1Л т; =ЬптП т,=Ь,т.;, (6.14) т' = Ь' т" г т' = Ь',т' .
г ' г' НРБОБРлзОВлния БлзисОВ и кООРДинлт. инВАРилнты 153 Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Пусть х; ковариантные координаты х в базисе т,, т' . Тогда, согласно (6.5), имеем хг = хт,. Подставляя в правую часть зтого соотношения выражение для т, из формул (6.14), найдем х,г = х Ят,) = 5,', (хт,) = ьгх,. Итак, формулы преобразования ковариаптпых координат век- тора при переходе к новому базису имеют вид сг Хг = гг;гяг.
(6.14') Х1ы видим, что при переходе к новому. базису ковариантные координаты вектора х преобразуются с поыощью матрицы (о,',) прямого перехода от старого базиса к новому. Это согласование преобразований и обьясняет наименование сковариантные координаты вектора». Подставляя в правую часть соотношения х' = хтг выражение для т' из (6.14)г получи»с после преобразований следующие формулы: г' бг г г (6.15) гг ) Ковариантный — согласованно изменяющийся.
) Контравариантный — противоположно изменяющийся. Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (Ь, ') обратного перехода от нового базиса к старому. Это нссогласование преобразований и обьясняет термин «контравариантные ~) координаты вектораж 3. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор линейного оператора. Мы будем называть инвариантоми выражения, не зависящие от выбора базиса. Например, значение скалярной функции в данной точке представляет собой инвариант.
Инвариантом является вектор-обьект, не зависящий от выбора базиса. Скалярное произведение векторов также представляет собой инвариант. В этели пункте мы познакомимся с некоторыми ипвариантами линейного оператора. Пусть А произвольный линейный оператор, определенный на векторах трехмерного евклидова пространства (т. е.
А(сгх + с»у) = аАх + сзАу для любых векторов 154 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ а и у и любых вещественных чисел сг и )1). Докажем, что выражение т*Ат; = т,Ат' ') (6.16) (6.21) ') В справедливости равенства т'Ат, = т,Ат' можно убедиться следующим образом. Имеем, согласно (б.э), т' = агаты т, = бит'. Поэтому, учитывая, что матрицы (б'в) и (бн) взаимно обратны и симметричны, получим т'Ат, = я' 'янтвАт = б~'тьАт = тьАт ' = г,Ат'. в ь ~ в представляет собой инвариант. Нам нужно доказать, что при переходе к другому базису т',, т' будет справедливо равенство т'Ат, = т' Ат; .
(6.17) ! Пусть т;, т' новый базис и (6,',) матрица перехода от базиса т,, т' к базису т,, т' . Имеем Подставляя эти значения для т; и т' в выражение тгАт; получим т'Ат, = ()); '))'„,) т~ Ат; . (6.18) Так как (в,'; ))',) = д'„то из (6.18) получаем т'Ат; = Ц,т~ Ат, = т' Ат, . Итак, равенство (6.17) доказано, а следовательно, доказана и инвариантность выражения т'Ат,.
Инвариант т'Ат; линейного оператора А мы будем назы- вать дивергениией этого оператора и будем обозначать симво- лом ЖуА. Таким образом, с))у А = т'Ат, = т,Ат'. (6.19) 3 а меч ание. В данном базисе т;, т' линейный оператор может быть задан с помогцью матрицы, называемой матрицей линейного оператора. Эта матрица представляет собой матри- цу коэффициентов а; разложения векторов Ат, по базису ть ь (можно, конечно, рассматривать матрицу коэффициентов раз- ложения векторов Ат' по базису ть) Ат, = аьть, аз. = тУАть (6.20) Дивергенция матрицы А может быть выражена через элементы матрицы (а~).
Именно с))у А = а,' = а1 + аг + аз. т 1 пРБОБРАЗОВАнин БлзисОВ и кООРдинлт. инВАРиАнты 155 Чтобы убедиться в справедливости формулы (6.21), достаточно подставить выражение [6.20) для Аг; в выражение [6.19) для дивергенции и воспользоваться соотношением гтгь = оь. Докажем, что выражение [т, Агг) [т,гАт, ) 1) [6.22) также представляет собой инвариант. Наы нужно доказать, что нри переходе к другому базису г;, и' будет справедливо равен- ство [и;Ат') = [ге Аг'1 [6.23) Пусть г;, и' новый базис и (Ь;',) матрица перехода от базиса Г,г и' К баэнеу т р г т' .
ИМЕЕМ| г' и, = Ьт т;, и =Ьмт 7 г Й Подставляя эти значения для гт и г' в выражение [и;Аг'), полу- чим [г,Ат'1 = (Ь; 'Ь~ ) [т РАт ь 1 [6.24) Так как (Ь,' Ь',) = бег, то из (6.24) получаем [и;Агг) = Ъь~,[гг Аг~ ) = [гг Агт ). Итак, равенство (6.23) доказано, а следовательно, доказана и инвариантность выражения [гтАгг1 Инвариант [г,Аг') линейного оператора А мы будем называть ротором этого оператора и обозначать символом гоб А. Таким образом, гоС А = [и;Аг') = [г1Агг + [гяАгэ) + [гаАгз~. [6.25) ') В справедливости равенства [г,Аг') = [г'Аг,) можно убедиться следующим образом. Имеем, согласно (6.9), г' = я"гь, г, = и,гг . Поэтому, ь используя взаимную обратность и симметричность матриц (Км) и (К,г), по- лучим [г'Аг,) = д'"К,г[гьАг') = ег [гьАг') = [ггйгг) = [г,Аг'). Укажем выражение для дивергенции и ротора линейного оператора А для случая оргон ормированного базиса т, у, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
