Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1 З 3 гл. 14 части 1. В рассматриваемом случае роль множества (ЛХ) играет поверхность Ф. ) Х(х(и, в), у(в, х), г(а, х)) —. функция, полученная посредством суперпозиции функций 1(х, гь х) н х = х(в, в), у = у(и, о), х = х(п, в). В сингу теоремы о непрерывности сложной функции зта функция непрерывна в области П.
145 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ Возможность нужного выбора б* гарантируется свойством равномерной непрерывности непрерывной в ограниченной замк.ут.й .б„,. Й фу..ц.../ЕЛ--Р~ . ь.м,,..., ...., р.ру.... ти непрерывной в области Й функции 7" (я(и, и), у(и, п), г(п, и)) х Определим по д* > О число д > О так, чтобы любому разбиению поверхности Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф,, размеры которых меньше д, отвечало бы разбиение области П на конечное число частей йб размеры которых меньше д*. Возможность выбора такого 5 гарантиру.ется тем, что поверхность Ф представляет собой гомсоморфное отображение области П, и поэтому каждому разбиению Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф, отвечает разбиение й кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Пь При этом если максимальный размер частей Ф, стремится к нулю, то и максимальный размер частей й, также стремится к нулю. Рассмотрим теперь разбиение Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф,, максимальный размер которых удовлетворяет неравенству Ь ( д, где б > О выбрано по д* указанным выше образом.
Составим для этого разбиения сумму ЦФ„ЛХ,1, воспользовавшись ее выражением (5.19). Так как пло- Р " Л тл ~ ~ ~ » ~'г""" Р и, динаты точки М; в части Ф; через (я(и„п;), у(им о,), л(вн п,)), получим м)=Ел (н *).мн: ') («., лн~яг-г1~ ~. П, Используя теорему о среднем для интегралов в правой части последнего соотношения, мы можем., очевидно, следующим образом преобразовать это соотношение: ль, м~ — Л~(*(, ),к, ),сэ, я 'еБ — Р~ и = [~ ((я(п„п,), й(и, г1).,г(и„п;)) х ст,* — Ц1 (х(и, и), у(и., и), л(и, п) ) х /йг - Р и, д„) .~ У' ~(,.(„.О ° ), Р(;,,), ( „;)) х( Из последнего равенства с помощью неравенств (5.28) и (5.29) мы легко получим неравенство (5.27).
Теорема доказана. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, что для вычисления поверхностного интеграла второго рода О 1(х, у, в) сов Я йр после выбора Ф определенной стороны поверхности Ф можно использовать следующую формулу: 0 У(х, у, я) сов У 1п = Ф )'р)" ") )" "))рвв-р'в в )врв) Аналогичные формулы справедливы для двух других поверхностных интегралов второго рода. В а меч ание 2.
Пусть поверхность Ф является графиком функции г = г(хр у), принадлежащей в области Р своего задания классу С). Выберем на поверхности Ф ту сторону, для которой единичный вектор нормали гв(ЛХ) поверхности составляет о* ° р вр .в р 'в=р)ртрр рд, где р = —,. д = —. Пусть на поверхности Ф задана непрерывная дв дв д' ду функция Л(хз у, в). Тогда, учитывая, что в качестве параметров и и и на поверхности берутся х и у (поверхность Ф определяется параметрическими уравнениями х = х, у = у, г = г(х, у), 'вв — р~= рррррр), р» Ф р рр (5.30) следующим образом: Лв)*,р,*) рв =Ьв)*,р, ),р))ррррргрр'' '" П" ""» ° т) Это замечание разъясняет следующее обозначение для поверхностного интеграла второго рода: ОЛ(х, у, в)совУь)о — О1т(х, у, в) )1х)1у.
(о,31) Ф Ф Отметим, что обозначение (5.31) используется и в случае, когда Ф не является графиком функции я = в(х, у). Мы будем рассматривать гюверхностные интегралы второго рода следующего вида: 0(РсовХ+ ЯсовУ+ ВсовЯ) сЬ. Ф 147 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ННТЕГРЛЛЫ Такие интегралы мы будем обозначать также следующим обра- зом: ОРг1у" +~с) с' +Л'1 Ь Ф 3 а м е ч а н и е 3. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов естественно распространяются па случай, когда поверхность Ф является кусочно-гладкой.
Для таких поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом пункте теорема существования. 3. Поверхностные интегралы второго рода, не зависяРцие от выбора декартовой системы координат. Из определения поверхностных интегралов первого и второго родов следует, что интеграл первого рода не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве, тогда как интегралы второго рода зависят от ее выбора, ибо при изменении системы координат меняются значения косинусов углов, которые составляет нормаль н(М) с ос~~~ координат. В случае, когда на поверхности задана векторная функция, можно указать более общий подход к понятию поверхностного интеграла второго рода, позволяющий в определенном смысле говорить о независимости значения этого интеграла от выбора декартовой системы координат в пространстве.
Итак, пусть па гладкой ограниченной полной двухсторонней поверхности Ф задана непрерывная векторная функция г(М), Выберем на Ф определенную сторону и обозначим через п(М) векторное ноле единичных нормалей к Ф. Очевидно, скалярное произведение т(М)п(М) представляет собой непрерывную скалярную функцию, заданную на поверхности Ф и поэтому не зависящую от выбора декартовой системы координат в пространстве. Следовательно, поверхностный интеграл первого рода от этой функции Ц г(М)и(М) Йт не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве.
Обратимся к координатной записи скалярного произведения г(М)п(М), считая при этом, что вектор т(М) имеет координаты Р, Я, Л. Так как координаты вектора и(М) равны сов Х, сов У, сов Я., то г(М) п(М) = Р соэ Х + 1~ соя У + Л сов Я и поэтому 0 т(М) п(М ) йт = 0(Р соь Х + 9 соь У + Л сов Я) сЬ. 148 ПОВВРХНОСТНЫК ИНТВГРЛЛЫ Интеграл в правой части последнего равенства представляет собой сумму трех поверхностных интегралов второго рода и обычно называется общим поверхностным интегралом второго рода. Следовательно, интеграл Цг(М)п(М) пп Ф также можно называть общим поверхностным интегралом второго рода. 3 а меч анис 1.
Если на поверхности Ф заданы три скалярные функдии Р, Я, Л, то интегралу Ц(Р соя Х + Я сов 1'+ е + ЛсовЯ) дп можно придать инвариантный (не зависящий) от системы координат вид, считая Р, ф В координатами некоторой векторной функции т(М), заданной на поверхности, и записывая этот интеграл в форме Ц г(М)п(М) пп. Отметим, что Ф тем самым мы навязываем определенный закон преобразования подынтегральпого выражения при переходе к новой декартовой системе координат. В этом случае мы получим новые координаты вектора г(М), которые вычисляются по известным из аналитической геометрии правилам. Однако такой инвариантный вид записи поверхностного интеграла очень удобен в различных приложениях.
3 ам е чан и с 2. Отметим, что общий поверхностный интеграл второго рода Ц т(М)п(М)по численно равен величине, Ф называемой в физике потоком вектора т'(М) через поверхность Ф. ГЛАВА 6 ОСНОВНЫК ОПКРАЦИИ тКОРИИ ПОЛЯ В этой главе рассматриваются скалярные и векторные поля. Исследуются основные операции теории поля. 8 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты (тгтятзИт т тз) = тзтг тзт2 ттт = О 1 тзт' тате тата О О = 1. (6.2) 1 ю ) Напомним, что векторы гп ге, тз образуют базис, если они некомпланарны, т. е. если их смешанное произведение т1 тз тз не равно нулю.
з~ ) Всюду в атой главе символом аЬ обозначается скалярное произведение векторов а и Ь, символом аЬс — смешанное произведение векторов а, Ь и с, символом ~аЬ) векторное произведение векторов а и Ь. е) тй Кронекер немецкий математик (1823 .1891). 1. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравариантные координаты векторов. Пусты';,, 1=1, 2, 3, базис векторов трехмерного пространства 1) (для плоскости индекс г принимает значения 1 и 2).
Базис та, й = 1, 2, 3, называется взаимным для базиса т;, если выполняются соотношения 2) т,т =б; = ( О' ~с' г,а=1,2,3. (6.1) Символ бу называется символом Кронекера з) . Возникает вопрос о существовании и единственности взаимного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный; длл данного базиса т; существует единственный взаимный базис ть. Убедимся, например., что вектор т определяется единствен- 1 ным образом. Согласно (6.1) этот вектор ортогонален векторам т2 и тз. Этим однозначно определяется линия действия вектора т1. Затем из условия тгт = 1 единственным образом опреде! ляется сам вектор т .
Аналогично однозначно строятся векторы т2 и тз. Чтобы убедиться, что векторы т', т2, тз образуют базис, достаточно доказать, что т'тзтз ~ О. Согласно теореме о произведении определителей 150 ОСНОВНЫЕ ОПЕРА11ИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Так как т,тгтз ~ О (векторы т,, тг, тз образуют базис), то из соотношения (6.2) вытекает, что и т'тгт3 ф О. 3 ам е чан и е 1.
Если базис т; ортонормированный, то взаимный базис т" совпадает с данным базисом ть ,Легко убедиться, что векторы т~ взаимного базиса в трехмерном пространстве могут быть найдены с помощью соотно1ПЕНИй т = ',т = ',т' 1 ~тгтз) 2 1тзтг) 3 [тгтг) чгт тг тгтгтг тгтгтг Пусть т;, т" взаимные базисы, а х произвольный вектор. Разлагая вектор х по базисным векторам, получим Х=Х1Т +Х2Т +ХЗТ, Х=х Т1+Х Т2+Х ТЗ.
16.3) 1исла хл, хг, хз называются коварпинтнылт, координатами вектора х, а х, х, х' - конглраварианпгнымлг координатами х. Эти наименования будут разьяснены в следующем пункте. Для сокращения записи формул, в которых фигурируют од- нотипные слагаемые (примероьл таких формул могут служить соотношения (6.3)), мы будем пользоваться в дальнейшем со- глашением о суммировании, которое заключается в шледующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
