Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Предположим далее, что функция у (щ, у) две функции Р(х, у) и фщ, у) определены и непрерывны вдоль кривой Т = АВ ) . Разобьем сегмент а < Ь < Ь при помощи точек а = Ьо < < 8~ < 1з < ... < 1„= Ь на и частичных сегментов ~1ь и 1ь) (к=1,2, ..., и). ) срункция у(х, у) называется непрерывной вдоль кривой ь, если для любого е > О найдется 6 > О такое, что ~1(хп ю) — у(хю у ) ~ < е для любых двух точек (хп у~) и (хе, уе) кривой 1, удовлетворяющих услоность, а равномерную непрерывность функции Д1х, у) вдоль кривой б, но так как множество всех точек кривой ь ограничено и замкнуто, то яти понятия совпадают.
о 1 кРиВОлинейные интеГРллы и их Физический смысл 119 Так как каждоьиу значению 1ь соответствует на кривой б определе1шая точка Мь(хы уь) с координатами хо = 1р(Ц),. уь = = 01(1ь), то при указанном разбиении сегмента а < 1 < 6 вся кривая ь В=Мп = АВ распадается на п частичных дуг М1 МОМ1~ М1М2~ ° ° ~ Мп — 1Мп (Рис '1 ). Выберем на каждой частичной дуге Ме 1М1„. произвольную точку [ -4=Мо ХЬ(~Ы це), координаты ~Ь, уе которой О отвечают некоторому значению ть параметра 1, так что ~ь = р(ть), пь = ф(ть), причем 1ь 1 < ть < 1ь.
Договоримся обозначать символом 2."11ь ДлинУ й-й частичной ДУги Мь 1МЕ (й = 1, 2, ..., и). Составим интегральную сумму Составим две интегральные суммы п1 = У Яы пь) 2л4. (4.2) ог = ~ РЯЫ т1ь)(хь — хь 1), п=1 п (4.2') 3 = ~ ОК , Уь)(йе — У .-1). (4,2о) Назовем число 1 пределом интегральной суммы о, (ь = = 1, 2, 3) при стремлении к нулю наибольшей из длин Ыы если для любого е > О найдется д > О такое, что [о, — 1[ < е, как только наибольшая из длин 211Е меныпе д.
Определения ] Р(х, у) дх ~ ] Я(х, у) д111. лв лв Сумму ] Р(х, у) с1х+ ] 02(х, у) ду ) 1'(х., у) д1 1, / 1(х, у)д1. (4.3) АВ лв Если существуеп1 предел интегральной суммь1 о1 при стремлении к нулю наибольшей из длин 211ь, то эп1от предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции 2'(х, у) по кривой Е и обозначается символом Если существуеп1 предел интегральной суммы ог[стз] при стремлении к нулю наибольшей из длин 211ы то этот предел называется к р и в олинейным интегралом второго рода и обозна1ается символом КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 120 принято называть о б щ и м криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом ~ Р(х, у)дх+ ) бзх., у)ду. АВ (4.3') с м ы с л введенных нами кри- 3 а меч ание 1.
Из вида сумм (4.2), (4.2') и (4.2о) очевидно, что криволинейный интеграл первого рода нс зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегается кривая Л, а для криволинейного интеграла второго рода изме- Выясним физический волинейных интегралов. Пусть вдоль кривой Х распределена ~асса с лиьгейпой плотностью ~(х, у). Для вычисления массы всей кривой естественно разбить эту кривую на малые участки и, считая, что на каждом участке плотность меняется мало, положить массу каждого участка приближенно равной произведению некоторого промежуточного значения плотности на длину этого участка,. В таком случае масса всей кривой приближенно будет равна интегральной сумме (4.2).
Точное значение массы естественно определить как предел суммы (4.2) при стремлении к нулю длины наибольшего участка. Таким образом, криоолинейный интеграл первого рода (4.3) дает массу кривой, линейнал плотность вдоль которой равна ) (х, у). Пусть материальная точка движется из А в В вдоль кривой Ь под действием силы Е(х, у), имеющей компоненты Р(х, у) и (~(х, у). Для вычисления работы по такому перемещению естественно разбить кривую Т на малые участки и, считая, что на каждом участке сила меняется мало, положить работу на каждом участке приближенно равной сумме произведений компонент силы, взятых в некоторых промежуточных точках, на компоненты вектора смещения. В таком случае полная работа по перемещению из А в В будет приближенно равна сумме (4.2') и (4.2о). Точное значение этой работы естественно определить как предел указанной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего участка.
Таким образом, общий криволинейный интеграл второго рода (4.3') дает работу по перемещению материальной точки из А в В вдоль кривой Т под действием силы, имеющей колпюненпгы Р(т, у) и Я(х, у). г 2 ОУ!ЦестВОВАние кРЛВОлинейных интеГРАлОВ 121 пение направления на кривой ведет к изменению знака, т. е.
) Р(х, у) с)х = — ) Р(х, у) йх, ) О(х, у) ду = — ) бь)(х, у) ду. АВ АВ ( Р(х, у, г)г1х, ( Я(х, у, г)дд, ( гс(х, у, г)а)г. Сумму трех последних интегралов принято называть о б щ и м криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом / Р(х, у, г) дх + фх, у, г) ду + Рт(х, у, г) дг.
АВ я 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам Договоримся называть кривую б г л а д к о й, если функции ()э(г) и )р(1) из определяющих ее параметрических уравнений (4.1) обладают на сегменте [а, Ь) непрерывными производными р'(1) и Ф'(1) ") Кривую Ь мы будем называть кусочно-гладкой, ешги опа непрерывна и распадается на конечное число пе имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В соответствии с договоренностью принятой еще в главах 15 и 16 вьш.
1, мы будем называть особыми точками кривой Ь точки, соответствующие тому значению параметра 1,. для которого обе производные (р'(1) и у)'(1) обращаются в нуль. Докажем, что если кривая б = АВ является гладкой и не содероюит особых точек и если функци(з «(х, у), Р(х, у) и Я(ху у) непрерывны вдоль этой кривой, то справедливы следующие формулы, сводящие криволинейнь(е интегралы к обычггым определенным интегралам: «(х, у) а1 =,) «(()э(г), у)(г)) х АВ а "~Р(~)Р +(т'(~))' й (44) ~Р(хч у) дх = )'Р((д(1), ф(1)) х ЛВ в х (д'(1) а)1, (4А') ) Под этим подразумевается, что производные Ээ~(1) и Л)~(1) непрерывны в любой внутренней точке сегмента (в, Ь) и обладают конечными предельными значениями в точке о справа и в точке Ь слева.
3 а м е ч а н и е 2. Для пространственной кривой совершен- но аналогично вводится криволинейный интеграл первого рода ) «(х, у, г) а)1 и три криволинейных интеграла второго рода АВ КРИВОЛИНЕЙНЫН ИНТЕГРАЛЫ 122 Ь [ Я(х, у) ду =) (,?[~р(Х), ф(Х)) х ЛВ а х ф'(Ь) дЬ., (4,4в) хь — хь 1 = ~р(гь) — р(ьь 1) = Ф (т) аг. Ь, м =Х~~(~) ~ее Это позволяет нам следующим образом переписать выраже ния для интегральных сумм (4.2) и (4.2'): 'и о1 = ~~ ~ Яр(ть), ф(ть)) х в=1 ЬЬ " .! ЛЕМг~и'(Ьг г~[ (4.5) . = г.'[РЬХ~), Ф(~Ь ° Ь=1 ЬЬ х [ ьо'(~) <й . (4.5') ЬЬ вЂ” 1 (мы учли также, что р;, = ~р(ть), уь = ф(ть), где ть - неко- торос значение параметра Ь, удовлетворяющее условию Ьь > < < ть < 1Ь.) Обозначим теперь определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.4) и (4.4'), соответственно через Л1 и Ла.
Разбивая сегмент а < 1 < Ь на сумму и частичных сегментов ы Ьь)., мы можем следующим образом записать определенные интегралы К1 и Ла: ЬЬ Л ~ = ~,),) [ р(Х), ф(Ь)) х ь — 1гь — ~ и Ь Лг =~У,,1 Р['рЯ Ф(4))'р И) сЛ. ,Д~р~' ~ ~ЕЬ)г а. Одновременно будепь доказано суиьествование всех фигурирунпцих в этот, формулах криволинейных интегралов. Прежде всего заметим, что определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.4), (4.4') и (4.4в), заведомо существуют (ибо при сделанных нами предположениях подынтсгральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте а < Ь < Ь).
Для криволинейного интеграла второго рода мы будем выводить только формулу (4.4') (ибо вывод формулы (4.4в) совершенно аналогичен). Как и в з 1, разобьем сегмент а < 8 < Ь при помощи точек а = 1о < Ь1 < Ьг « ... Ь~ = Ь на н частичных сегментов и составим интегральные суммы (4.2) и (4.2').
Учтем теперь, что ь г сУ!цестВОВлние кРЛВОлинейных интегрллОВ 123 Рассмотрим и оценим разности о1 — К1 = ог — Кг = и (Р[(р[те) ф[ть))— — Р[р[Ь), Ф[Ь))) р'[Ь) (11 [4.6') Так как функции х = ()з[Ь) и у = у)[Ь) непрерывны на сегменте а < Ь < Ь, а функции у [х, у) и Р[х, у) непрерывны вдоль кривой ь, то по теореме о непрерывности сложной функции [см. Е 3 гл. 14 вьш.
1) функции у[(р[Ь), у1[Ь)) и Р[(р[Ь), у1[Ь)) непрерывна( на сееменп(е а < 1 < Ь. Заметим теперь, что при стремлении к нулю наиболыпей из длин частичных дуг га1ь стремится к нулю и наибольшая из разностей [ьь — ьь 1) ) . Но отсюда следует, что для любого е > > О можно указать д > О такое, что при уш)овин, что наибольшая из длин га1ь меньше Б, каждая из фигурных скобок в формулах [4.6) и [4.6') меньше е. Стало быть, при условии, что наибольшая из длин га1ь меньше д, мы получим для разностей [4.6) и [4.6') следу.ющие оценки: 11 [ г-Кг[< 2,' Х [ЧРФ[~Ь< 11„, гь < еМ ~ / сй = еМ[Ь вЂ” а), 11„1 где / - длина кривой АВ.
11. ')в ° - -., мг = 1,'(, О)' ( Я)' «. г- ° Ь « °,'Ф ° Е'11) непрерывны на сегменте а < 1 < Ь и не обращаются в нуль одновременсегменте а ( 1 ( Ь. Поэтому и минимальное значение )п последней функции насегмепто а (1 < ьположительпо. но тогда 1111 > т 1 Ф = )п(11.— 11.1), 11 — 1 [п1 — К1[ < Е Х ге "с: 1~~~') ~(г'(1 Р" = а=) 11-1 Ь .1ЛФЮР+МФРа= 1 о где М максимальное значение [(р'[Ь)[ на сегменте а < Ь < < Ь.
Подчеркнем, что при выводе формулы [4.4') нам требуется лишь непрерывность (р'[г) и спрямляемость кривой В АВ [непрерывность уЬ'[Ь) при этом не требуется). КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 124 Мы ограничимся лишь написанием формул Х Р(х, у, л) дх = Ь =ХР(д(Ь) Ф(Ь) Ф(Ь)Ь"(Ь)11 и Х У(х. у, )с11 = = ЫФь), Ф(ь), х(ьП а Я(х, у, х)дх = АВ Ь =ХО( (ь), 4Ф), Ф(ьПФ'И) 11, Х ть(х, у, г) ив = АВ Ь =Х 7Ф(ь), Ф(ь): х(ьПх'И) 1ь. 3 а меч ание 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
