Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Легко убедиться, что для этих координат ьп'х, у) = сзади сов~ ~уз асп~ сз. Зсг,:р) ДОПОЛНЕНИЕ О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫтйИСЛЕНИИ и КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Займемся вопросом о приближенном вычислении и-кратпого интеграла 0... 1'уСхы хг, ..., х„) дхс дхг... йх„ 12.64) а„ по некоторой области С„в пространстве Е", причем сначала будем считать, что зта область представляет собой и;мерный куб.
Предполагая существование интеграла 12.64), будем рассматривать вопрос об оптимальных способах численного интегрирования. Этот вопрос имеет два аспекта: 1) построение формул численного интегрирования, оспимальных на заданных классах функций 2) построение формул численного интегрирования, оптимальных длл колос)»й конкретной функции из заданного класси. Рассмотрим каждый нз этих аспектов в отдельности.
1. Формулы численного интегрирования, оптимальные для классов функций. Пусть С вЂ” единичный и-лсерный куб О ( хс ( 1, )с = 1, 2, ..., и. Будем говорить, что функция 1"Схс,..., х„) принадлежит в кубе С к л а с с у П„"СЛХ) Со»ответственно классу НУ Сйй)), если при условии существования всех фигурирующих ниже производных справедливы неравенства дз д' 1 ах" ... дх;,- ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫР ИНТЕГРАЛЫ 94 в которых ц=~ оь(оп, оь(пп ь=1 (соответственно ггь ( сг). Будем называть кубатурной формулой выражение вида / /~(хн, х )Нх1 ... сЬ =(мЮ з-йм(з',1м), (2.65) и в котором )м ® = ~ СьУ(х1", е=~ При этом точки (х,, ..., х„) называ|отся у з л а м и, а числа Сь — в ерй 69 с а м и данной кубатурной формулы, а величина Нк(1", (к) - ее п о г р е шн о с т ь ю.
Нашей целью является построение кубатурных формул с оценкой погрешности, точной по порядку относительно малой величины 17Л', где Х— число узлов кубатурной формулы. Н. С. Бахваловым было показано '), что как на классах 22„(М), так и на классах Н (М) нельзя построить кубатурную формулу (2.65) с оценкой погрешности Нч(1, 4-) лучшей, чем С(п, и) М Аг™, где С(а, и)— некоторая постоянная, зависящая от а и и. На классах Н~(М) указанная оценка достигается (по порядку относительно 11%), если в качестве 1к взять произведение одномерных квадратурных формул, точных для алгебраических многочлепов степени ап — 1.
Предполагая, что число узлов д7 равно гх = т, где гл - целое, мы можем положить ') Н. С. Б ах зало в, О приближенном вычислении кратных интегра- ловО Весгник Х!ГУ: Серия математики, физики, астрономии. 1959. № 4. С. 3 — 18. ~) Таковылги являются, например, так называсыая формула Гаусса или формула Ньютона-Котеса (см., например, курс И. С. березина и Н. П. ?Кидкова «Методы вычислений»). )л = ~ 5... ~ 5Св, Сг„~(хгм ..., хы), (2.66) в,=1 э,=1 где (хг„, Сг,), и = 1, 2, ..., и, --узлы и веса одномерной квадратурной формулы, точной на алгебраических миогочленах е) .
Для погрешности кубатурпой формулы с (к, определяемым равенством (2.66), справедлива а симптотичес к а я (т. е. справедливая для достаточно больших значений Х) оценка Як((, 1к) (2.67) в которой С1(о,п) — некоторая постоянная, зависящая ото и и. На классах Н„(М) также существует кубатурная формула, близкая по порядку величины погрешности к оптимальной. Таковой формулой ДОПОЛНЕНИЕ является теоретико-числовая формула Н.
М. Коробова ) н 1м = — ~ ~~т„( — ),..., г ( — ")~г ( — ) ... т' ( — "), (2.68) ь:-1 в которой ам, а — целые числа — так называемые оитпмпльнмс коэффициента ио мо1улю Х, а г„1х) — пгкоторь|е специальные многочлены степени о + 1. Для погрешности кубатурной формулы с 1н, определяемым равенством 12.68), справедлива оценка 12.69) 1С»1о, и) и 6 — постоянные, зависящие только от о и и). Оценка 12.69) отличается от неулучшаемой по порядку оценки только ынок«ягелем 1пв Х. Таким образом, на каждом из классов Р, 1М) и Н" (М) существуют достаточно хорошие кубатурные фар»~улав Разумеется, при практическом использовании этих формул следует учитывать их достоинства и недостатки, выявляющиеся в конкретных ситуациях. Так, следует помнить, что при вычислении интегралов с помощью формулы 12.66) число узлов Х не произвольно, а равно т".
Например, для и = 10 и функции З'1хы ..., х„), примерно «одинаково» ведущей себя но всем направлениям, минимазьны»1 разумным числом узлов будет Х = 1О = 2 = 1024. При желании увеличить точность можно взять число узлов равным Х~ = 3 = 59049, но это приведот к увеличению вычиглительпой 1О работы почти в 60 раз. Следует также учитывать, что при «малом» и «среднем» числе узлов Х погрешность кубатурной формулы, полученной с помощью 12.66), может силы|о отличаться от правой части 12.67) ') .
С другой стороны, использование формулы 12.66) более выгодно при вычислении болыпих серий интегралов, а также при вычислении интегралов от функций, содержащих выражения, зависящие от меньшего числа переменных чем и. Кубатурные формулы, полученные с помощью 12.68), свободны от недостатка, связанного с выбором числа узлов Х. Эти формулы целесообразно использовать для недостаточно гладких функций 7" и при большом значении числа переменных и 1начи~ая с и = 10). Однако следует заметить, что для погрешности кубатурной формулы, полученной с помощью 12.68), нельзя выделить главного члена, подобного тому, который стоит в правой части 12.67). Это обстоятельство затрудняет как оценку погрешности при проведении вычислений,так и прогнозирование числа узлов Х,требуемого для достижения заданной точности.
2. О формулах численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции. Сразу же отметим, что вопрос о таких формулах является сложным и мало разработанным. О ) Н. М. К о р о б о в. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. - Мэ Физматгиз. 1963. э) Так при использовании для 12.66) квадратурной формулы Ньютона . Котеса правая часть 12.67) близка к левой, начиная с Х = 1ои)» 1например, при о = 1 и и = 10, начиная с Х = 101э, а при использовании для 12.66) формулы Гаусса правая часть 12.67) близка к левой, начиная с Х = '1ои72)" 1т. е.
при о = 1 и и = 10, начиная с Х 10 ). Таким образом, при построении кубатурных формул с 1н, определяемых равенспюм 12.66), формула Гаусса предпочтительнее формулы Ньютона — Котеса. ДВОЙНЫЕ И п-КРЛТНЫР ИНТЕГРАЛЫ Начнем с уточнения постановки изучаемого вопроса. Предположим, что данная функция 11ян яю..., х ) приначлежит некоторому классу А« и что задано множество способов численного ингегрирования 1ря) этой функции 1. В) дега искать в этом множестве такой способ численного интегрирования ря, погрепшость Нм(1, рт) которого представляет собой точную нижшою грань погрешностей Нм11, ря) на множество 1рм) всех способов численного интегрирования данной функции ) .
Иными словами, мы ищем наилучшую кубатурную формулу для данной конкретной функции у, а не зщя всего класса А», которому принадзгежит эта функция ) . ю Возьмем в качестве класса А, множество функций, бесконечно дифференцируемых всюду в основном кубе С„, за исключение»д быть может, некоторой поверхности о размерности й < п,на которой эти функции могут обращаться в бесконечность как 1/г)», где г „ -. расстояние между точкой х = (тц тм ...,т„)и точкой на поверхности у = (р~, уэ,..., у„), а у<в †й в. Множество способов численного интегрирования 1ря) определим следующим образом.
Для каждой кубатурной формулы и, точной на алгебраических многочленах степени т — 1, определим элемент рм множества 1рь ) как кубатурную формулу, получающуюся разбиением основного куба С„на прямоугольные параллелепипеды и применением на каждом таком параллелепипеде формулы о, с условием, чтобы общее число узлов во всем кубе С было равно Х. Естественно ожидать, что узлы полученной таким способом кубатурной формулы будут распределены оптимально при условии, что погрешность на каждом параллелепипеде постоянна. В вычиш»ительном центре МГУ были составлены стандартные программы вычисления двойных и тройных интегралов, реализующие автоматическое дробление областей интегрирования.
В основу этих программ была положена пара кубатурных формул и и т,„, при пп )»и. В качестве оценки погрешности формулы сг бралась величина р = = )и — «г»п (. Если е .- заданная точность вычислений, то при р ( е (»тля всего основного куба С„) в качестве приближенного значения интеграла берется то, котороо определяется формулой и „, а при р > г куб дробится на 2" частей и для каждой из этих частей процесс повторяется сначала. Указанный метод дает хорошие результаты для вычисления двойных и тройных интегралов.
Однако при увеличении числа измерений и применение указанного метода наталкивается на существенные трудности, связанные с тем, что при фиксированных т и ш~ с увеличением и сильно возрастает сложность и и о ю а при уменьшении т и ги» с ростом и сильно возрастает число дроблейий. В заключение отметим, что при вычислении и-кратного интеграла пе по и-ъгерному кубу С„, а по произвольной области в пространстве Е" следует сначала сделать преобразование, переводящее эту область в и-мерный куб, Кроме того, существуют кубатурные формулы для некоторых областей специального вида (пгар, сфера и т. д.) ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
