Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 21
Текст из файла (страница 21)
6 — а' Справедливость этой теоремы вытекает из того, что понятие сходимости интеграла по определению эквивалентно понятию существования предельного значения функции г'(о), введенной в начале этого пункта. 2. Заключительные замечания. Мы не будем подробно развивать теорию несобственных интегралов второго рода. Это объясняется тем, что основные выводы и теоремы предыдущего параграфа без труда могут быть перенесены на случай интегралов второго рода.
Поэтому мы ограничимся некоторыми замечаниями. 108 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1'. При некоторых ограничениях на подынтегральные функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода. Именно, пусть функция 1(х) непрерывна на полусегменте [а, б) и б особая точка этой функции. При этих условиях в 6 — а интеграле ) ((х) дх мы можем произвести следующую замену переменных: х=б — —, с)х= —, — <6< —. 1 дб 1 1 бг Ь вЂ” а о В результате этой замены переменных мы получим равенство б — а 1!а 1 1бвг* = 1 У(б — -') — ', а 1з.1Е а 1дб — а) 6 Пусть интеграл ) 1(х) дх сходится.
Это означает, что сущеста б — а вует предел 11п1 ) )'(х) дх. Обращаясь к равенству (3.16), мы а — «-60 видим, что существует также и предел при 1/о — > +со выражения в правой части (3.16). Теб« самым доказана сходимость несобственного интеграла первого рода Ь и равенство этого интеграла интегралу ) 1(х) дх. Очевидно, сходимость только что указанного несобственного интеграла первоб го рода влечет сходимость интеграла ) ~(х) их и равенство этих а интегралов. Итак, из сходимости одного из интегралов Ь «а ~1(лг, ~ ф-1)—' ,е а 1Д6 — а) следует сходимость другого и раве 1ство этих интегралов. 2'.
Для несобственных интегралов второго рода легко доказываются утверждения, аналогичные утверждениям п. 2 предыдущего параграфа, которые можно об ьединить общим наименованием «признаки сравнениям Отметим, что во всех формулировках функция 1 (х) рассматривается на полусегменте (а, б), где б особая точка функции, *з 3 ГлАВнОе знлс!ение несОБстВеннОГО инте! Рллл 109 Частный признак сравнения будет иметь следующий вид.
Если ~Дх) ~ < с(о — х)" ", где р < 1, то несобственный интеграл (3.15) сходится. Если же у (х) > с(5 — х) ", где с > 0 и р > 1., то несобственный интеграл (3.15) расходится. Доказательство вытекает из общего признака сравнения и примера, рассмотренного в предыдущем пункте. В полной аналогии с и. 3 предыдущего параграфа для несобственных интегралов второго рода формулируются правила интегрирования путем замены переменной и интегрирования по частям. 9 3.
Главное значение несобственного интеграла Определение. Пусть функция з" (х) определена на прямой — оо < х < оо и интегрируема на каэкдом сегменте, принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что функция 1(х) инте граруема по Коши., если сущеспгвует ттредел и 11ш ) 1' (х) дх. Л-»-~-оо Этотп предел мтя будем называтпь главным значением несобственного интеграла, опт функции ~(х) в смысле Коши и обозначать символом ю ~т.р 3' 1(х) дх = 11гггл-»т о ~' 1Фдх — оо — и П р и и е р 1. Найдем главное значение интеграла от зшх.
Поскольку, в силу нечетности вш т,, и оо ) тйпхдх = О, то зт.р. ) з|пхде = О. — л — сс Справедливо следующее утверждение. Если функция 1'(х) нечетна, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от, ттее равняется нулю. Если функция 11х) четна, то она интегрируема по Коши тогда и только тпогдо«когда сходится несобспгвенный интпеграл / 1(х) дх. (3.17) о Первая часть этого утверждения является очевидной. Для доказательства второй части достаточно воспользоваться равенством н и ) у" (х) Йх = 2 ) 1 (х) с)х., ') У. р. —.
начальные буквы французских слов «Уа1енг рг1гтс1рабн обозначающих «главное значениек НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ справедливым для любой четной функции, и определением сходимости несобственного интеграла (3.17). Понятие интггрируемости по Коши можно ввести и для несобственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка является внутренней точкой сегмента, по которому производится интегрирование. Определение. Пусвпь функция /(х) определена на сегментпе )а, 6), кроме, баять может, улочки с, а < с < 6, и интегрируема на любом сегменте, нг свдержаюем с. Будем говорить., что функция 1(х) ингпегрируема по Конти если существует предел г' с — о Ь Ь 1пп ( / У(х) дх + Г Х(х) дхг) = У.
р, //(х) с1т. а-з-~.е а с-Ьо а азываемый главным значением интегролавсмыслеКоти. 1 П р и м е р 2. Функция не интегрируема па сегменте х — с ~а, 6), а < с < 6 в несобственном смысле,, однако она интегрируема по Коши. При этол1 '/.".=.':,д .. /.'.) =".: й 4. Кратные несобственные интегралы Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного интеграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченности подынтегральной функции. Напомним, что именно эти случаи исключались нами из рассмотрения гзри построении теории кратных интегралов. Отметим, что мы сформулируем понятие несобственного кратного интеграла так, что буду.т охвачены как случай неограниченной области интегрирования, так и случай неограниченной функции.
1. Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть Р открьггое множество ) т-мерного евклидова пространства Е™. Символом Р мы будем обозначать замыкание Р, которое получается путем присоединения к Р его границы. Нам понадобится понятие последовательности (Рв) открытых множеств, монотонно исчерпывающих множество Р. Будем говоритьз что последовательность (Р„) открытых мноз~сеств монотонно исчерпьиает мпожегтво Р, если: 1) длл ) Множество называется открытым, если оно состоит лишь из внутренних точек. Открытое множество иазьогаюз также областью.
КРЛТНЫЕ НЕСОЬСТВЕННЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ 111 ,) з (х) дх, О... («(2«1, х2~ . ~ з'тп) дх1 дт2... 11хт ° (3.18) При этпом несобственный интеграл (3.18) называется сходл««1имся. Отметим, что символ (3.18) используется и в случае, когда пределы указанных выше последовательностей не существуют. В этом случае интеграл (3.18) называется расходящимся. 2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Докажем ш«едуюшую теорему. Теорема 3.6.
Длл сходимостпи несобственного интегрила 3.18) от ««еотрицательной в области Р функции 1 (х), необхоимо и достатпочно, чтаобы хотл бы длл одной последовательности кубируемых областей (Р„), ллонотаонно исчерпь«вающих область Р, бь«ла ограпиче««ной чтлсловая последовательность оп = 1 У(х) дх.
(3.19) Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна: последовательность (3.19) -- неубывающая (Лп содержится в Лп«.1 и 1(х) ) 0), и поэтов«у необходимым услонием ее О ) «Обьединением всех множеств Р„называется множество Р, содержащее все точки каждого из множеств Р„и такое, что каждая точка Р принадлежит по крайней мере одному из множеств Р„. любого и множество Лп содержится в Лп«.«, 2) объединение всех множеств Рп совпадает с множеством Р Отметим, что каждое множество Р„последовательности (.Р„) содержится в Р. Пусть на открытом множестве Л задана функция 1(х), х = (х«, х2, ..., хт), интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируемом подмножестве множества Р. Будем рассматривать всевозможные последовательности 1Лп) открытых множеств, монотонно ис «ерпывающих Р и обладающих тем свойством, что замыкание Рп каждого множества Р„кубируемо (отсюда, в частности, вытекает, что каждое из множеств Р„ограничено) .
Если длл л«обой такой последователь««оопп«(Р„) существует предел числовой последовательности 1 3 1'(х) дх) и этот Р„ предел не зивистлп«от выбора последоватпсльносп«и 1Лп), то этот предел называется несобстветп«ым интегралом от функции 1(х) по множеству Р и обозначается одним из следующих символов: 112 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ сходимости является ограниченность. Перейдем к доказательству достаточности условий теоремы.
Так как последовательность (3.19) ограничена и не убывает, она сходится к некоторому числу 1. Остается доказать, что к этому же числу 1 сходится последовательность а'„= ) 1(х)йх, Р'„ Отсюда следУет, что последовательность Еа~и) сходитсЯ к некоторому числу 1' < 1. Меняя в наших рассуждениях последовательности а'„и аио мы придем к неравенству 1 < 1'. Следовательно., 1' = 1. Теорема доказана.
П р и м е р. Рассмотрим интеграл 1= Це ' " йхйу, Р (3.20) взятый по всей плоскости. В качестве системы областей 1Ри), монотонно исчерпывающих область Р., возьмем следующую си- стему концентрических кругов Ри: х+у <и, н = 1, 2г В каждом таком круге. Ри перейдем к полярной системе коор- динат г, уг. Получим 2я и аи = Ое в У йхйу = ) ) е и гйг<йр = л'(1 — е " ). Ри а а Отсюда следует,что 1пп аи = л. Согласно только что доказано — гсо ной теореме интеграл (3.20) сходится и равен я.
Отметим, что ') Допустим, что это не так. Тогда для любого целого Л можно указать такую точку ЛХь области Р„, которая не приналлегкит области Рь. Из последователыюстн 1ЛХь) можно (в силу замкнут<готя и ограниченности Р„) выделить сходяшуюся к некоторой точке ЛХ Е Р„ подпоследовательность. Точка ЛХ вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному нз множеств Рг,. Е1о тогда этому же множеству Рм и всем множествам Рг с большими номерами принадлежат точки ЛХь с как угодно большими номерами. Е1о это противоречит выбору точек ЛХь где 1Ри) пРоизвольнаЯ дРУгаЯ последовательность областей, монотойно исчерпывающих область Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
