Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 20
Текст из файла (страница 20)
) Тогда и функция ~Д(т) ~ интегрируема по любому сегменту [а, Н). НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА РО3 (3.7) ) Это означает, что первообразная Р(х), которую можно определить как ) 7(С) Ж, удовлетворяет для всех х > о неравенству ~Е(х)( < К, где К -. постоянная. Приведем еще один достаточный признак сходимости несобственных интегралов, пригодный и в случае условной сходимости. Теорема 3.4 ~признак Дирихле — Абеля).
Путпь функции ~(х) и 8(х) определеньс на полупрямой а < х < со. Пусть далее фусскция ~(х) непрерьсвна на полупрямой а < х < со и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную В(х) с), Пуедположим есцес что фУнкцил 8(х)с монотонно не возрастая на гсолупрямой а < х < оо, стремится к нулю при х — с — ~ +ос и имеет производную 8'(х), непрерыонусо на полупрямой а < х < оо. При этих условиях сходится несобственный интеграл ,(' 1(х)8(х) дх (3.6) а Доказательство. Воспользуемся критерием Коши сходимости несобственных интегралов. Предварительно проведем Нл интегрирование по частям интеграла ) 7(х)Е(х) дх на произн' вольном сегменте (Л', Вл)с Лп > В', полупрямой а < х < оо.
Получим гсл н" ,)' Йх) 8(х) дх = Р(х)н(х) — (' В(х)~'(х) дх. л' и' и' По ушювию теоремы г'(х) ограничена: ~г'(х)~ < К. Так как 8(х) не возрастает и стремится к нулю при х — + +ос, то 8(х) > О, а 8'(х) < О. Таким образом., оценивая соотнопгение (3.7), мы получим следуюгцее неравенство: Лл Нл ) 7(х)8(х) Йх < КЦ(Л') + н(Лл)) + К ) ( — 8'(х)) дх. л' н' Так как интеграл в правой части этого неравенства равен е(Л') — 8(Лл), то, очевидно,.,с Я" ) ~(х)8(х) дх < 2Кд(Л'). (3.8) РР Используя это неравенство, нетрудно завершить доказательство теоремы.
Пусть е произвольное положительное число. Так как е(х) — о О при х — с +со, то по данному е можно выбрать А так, что пРи В' > А выполнлетсЯ нсРавенство 8(Л') < есс(2К). 104 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Отсюда н из неравенства (3.8) следует, что для любых Л' и йл, больших А, выполняется неравенство Нл ) 1(х)д(х) с(х ( е, н' которое, согласно критерию Коп1и, гарантирует сходимость интеграла (3.6).
Теорема доказана. 3 а ал е ч а н и е. Требование дифференцируеклости функции п(х) в теореме 3.4 является излишним. Теорема 3.4 может быть доказана в предположении одной лишь монотонности й(х) и стремлония 3'(х) к нулю при х — 1 +ос, для чего следует воспользоваться второй формулой среднего значения (формулой Бонне). П р и м е р 1. Рассмотрим интеграл (3.9) с(х (о > О). 1 Полагая 1"(х) = 81пх, х(х) = 1/ха, легко убедиться, что для этого интеграла выполнены все условия теоремы 3.4.
Поэтому интеграл (3.9) сходится. П р и м е р 2. Рассмотрим интеграл Френеля 1) ) 81пхтс(х. О Согласно замечанию 1 и. 1 этого параграфа нз сходимости одного из интегралов ( 81п х с(х и ( 81п х с1х вытекает сходимость о 1 другого.
Поэтому мы обратимся ко второму из этих интегралов. Имеем 2 с 21 вшх Йх = хв1пх — с(х. х 1 1 Полагая 1(х) = хв1пх2 и е(х) = 1/хй мы легко убедимся, что выполнены все условия теоремы 3.4 и поэтому интеграл Френеля сходится. 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям.
В этом пункте мы сформулируем условия, при которых действуют формулы замены переменных и интегрирования по частям для несобственных интегралов первого рода. Рассмотрим сначала вопрос о замене переменной под знаком песооственпого интеграла. ) О. Ж. Френель — выдающийся фраипузский физик (1788-1827). НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 105 Мы будем предполагать выполненными следующие условия: 1) функция /(х) непрерывна на полуоси, а < х < ос; 2) полуось а < х < сю является мноэюеством значений некоторой строго монотонной функции х = й(1), заданной на полуоси сг < М < сс (или — ос < 1 < сг) и имтощей на этой полуоси непрерывную производную; 3) й(о) = а При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов; П(х) дх и,~,/(й(1))аэ(1) ду( - — / ./(Фу))й'(1) д1) (3 Рй) а а — ес вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.
Сформулированное у.тверждепие устанавливается с помощью следующих рассуждений. Рассмотрим произвольный сегмент [а, Л]. Этому сегменту отвечает, согласно строгой монотонности функции д(8), сегмент [оа р] (или [р, сг]) оси 1 такой, что при изменении 1 на сегменте [о., р] значения функции х = й(1) заполняют сегмент [а, Л], причем н(р) = Л. Таким образом, для указанных сегментов выполнены все условия и. 3 3 7 гл.
10 вып. 1 этого курса, при которых действует формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Поэтому имеет место равенство и Р и /'1(х) дх = /1(й(г))д'(1) дг(или = — /1(й(г))д'(1) дг). (3.11) а а Р В силу строгой монотонности функции х = н(1), Л -+ ос при р -+ сс, и обратно, р — ~ ос при Л вЂ” г сс (или Л э сю при р э — ос и р э — сю при Л вЂ” + сс).
Поэтому из формулы (3.1Ц вытекает справедливость сформулированного вьппе утверждения. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям несобственных интегралов первого рода. Докажем следующее утверждение. Пусть функции п(х) и и(т) пмеют непрерьнные производные на полупрямой а < х < ос и, кроме. того, существует предельное значение 1ш1 и(х)и(х) = А. При этих условиях из сходимости одного из интегралов / и(х)о'(х) дх и / и(х)и'(х) дх (3.12) а И вьш1екает сходимость другого. Справедлива такхсе формула / и(х)и'(х) дх = А — и(а)о(а) — / и(х)и'(х) дх. (3.13) 1ОО НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим произвольный сегмент [а, Л). На этом сегменте действует обычная формула интегрирования по частям.
Поэтому н и 1' и(х)г'(х) Йх = [и(х)г(х)]н — / н(х)и'(х) Йх. а а Так как ври Л вЂ” ~ со выражение [и(х)п(х))е стремится к А— — и(а) с(а), то из последнего равенства следует одновременная сходимость или расходимость интегралов (3.12) и справедливость формулы (3.13) в случае сходимости одного из интегралов (3.12). е 2.
Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) [ 1(х) дх. (3.15) В дальнейшем символ (3.15) будем называть несобственным интегралом второго рода от функции 1(х) по полусегмснту [а, Ь). Если существует предел (3.14), то несобственный интеграл (3.15) называется сходли1имсл. Если же этот предел не существует, то несобственный интеграл называется расходл1цимсл. Если несобственный интеграл (3.15) сходится, то величина предела (3.14) В этом параграфе будет дано обобщение понятия определенного интеграла на случай неограниченных функций. 1. Понятие несобственного интеграла второго рода.
Критерий Коши. Пусть на полусегменте [а, 6) задана функция Г'(х). Точку 6 мы будем называть особой, если функция не ограничена па полугегменте [о.. Ь), но ограничена на любом сегменте [а, Ь вЂ” а), заключенном в полусегменте [а, 6). Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция 1(х) интегрируема. При наших предположениях на полусегменте (О, Ь вЂ” а) задана функция аргумента о, опреде.ленная соотношением ь-и Г(а) = [ 1(х)дх. а Исследуем вопрос о правом предельном значении функции Е(о) в точке а = О, т. е. вопрос о существовании предела ь— 1пп ) Г'(х) дх. (3.14) я При этом для выражения (3.14) будем использовать обозначение 6 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ ВТОРОГО РОДА 107 обозначается тем же символом (3.15).
Таким образом, в случае сходимости интеграла (3.15) используется равенство Ь ь — а /)(х)ах = 1пп / )(х)дх. 3 а м е ч а н и е. Понятие несобственного интеграла второго рода легко переносится на случай, когда функция 1(х) имеет конечное чипао особых точек. Пример. Рассмотрим на полусегменте (а, 6) функцию 1)(6 — х)", р > О. Ясно, что точка 6 является особой точкой для этой функции. Кроме того очевидно, что эта функция интегрируема на любом сегменте (а, 6 — о), причем Ь вЂ” о (ь — в)' Р (ь — )' при р~ 1, сЬ 1 Р л 1 Р (ь- ) ьа — 1п(Ь вЂ” х) = 1п— при р=1. а а 6 — в (6 — а) Очевидно, предел 1пп / существует и равен ( — ~-ьо (6 — х) г-р при р < 1 и не существует при р > 1.
Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при р < 1 и расходится при р > 1. Сформулируем критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода. При этом мы будем предполагатьо что функция 1" (х) задана на полусегменте [ав 6) и 6 -- особая точка этой функции. Теорема 3.5 (критерий Коши). Длл сходимоспби несобственного интеграла второго рода (3.15) необходимо и двста; точно, чтобы длл любого е > О моэкно было указать такое б > О, что длл любых а' и о", удовлегпворяющих условию О < ов < о6 < б, аыполнллось нерв,венство ь —" ~(х) дх < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
