Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ю ) Формула, наилучшая для класса функций, грубо говоря, является наилучшей для самой «плохой» функции из этого класса. э) Так кубатурные формулы на сфере изучались в работах советского математика О. 2Е Соболева и его учеников. 97 ДОПОЛНЕНИЕ 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла. Рассмотрим вопрос о вычиюгенни четырехкратного интеграла Н 1, 1 2 Г(й, Ь, Н) = 1'«4)«)'р4)р 1" 4)ф 1'~Н+ р + «2 — 2ргсов(р — у9)) ж'412р е а о о с некоторой точностью е для значений параметров Н = 1: 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25; 2,5; '2,75: 3; б = 098, Н = 1. Сделав замену.переменных, отображюощу1о область интегрирования в Единичный куб9 мы привсдсм ЭтОт интограл к виду 1111 г (Н9 Ь, Н) = (2я) я б ЦО1Н + 7 р + Н г оооо — 2БНргсо42я(9р — 25))) ~ «рс)р«7«г)ф«179. Подынтегральная функция является гладкой.
Поэтому естественно применить для вычислений этого интеграла кубатурную формулу, основанную на (2.66). Прн этом по каждой нз переменных г и р естественно взять формулу Гаусса (одномерную формулу9 точную на алгебраических многочленах), а по переменным р и у2 лучше взять формулу трапеций (см. вып.
1, гл. 12), ибо подынтегральная функция периодична по каждой их этих переменных, а для периодических функций формула трапеций дает наилучшие результаты. Таким образом, мы получим г(Н.,Ь,Н)= Нь 1 1 2 9 4 = ( ) ~ ~~ ~ ~~ ~С99С12х29х12~)Н" +Г х22+ Н хь,— 1, =11,=129=124=1 Кз — К4 — 2Нбхг хье сов(2я )1 т (здесь (хг., Сь.
) — узлы и веса соответствуюв1ей одномерной квадратурной формулы). Для выбора значений т, т1 и т2, обеспочивающих требуемую точность, проводят отладочные расчеты, последовательно увеличивая число узлов и сравнивая полученные результаты. 4 В. А. Ильин н Ее Г. Позняк, часть П ГЛАВА 3 НКСОБСТВКННЫК ИНТКГРАЛЫ Введенные ранее понятия определенного интеграла (простого и кратного) не пригодны для неограниченной области интегрирования и при неограниченности подынтегральной функции. В этой главе будет указано, каким образом можно обобщить понятие интеграла на эти два случая.
8 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) ( ((х) пх. в (З.З) В этом параграфе будет дано обобщение понятия определенного интеграла для одномерной неограничен ной связной области интегрирования. 1. Понятие несобственного интеграла первого рода. Одномерными связными неограниченными областями являются полупрямые а < т. < +ос, — оо < х < б и бесконечная прямая — оо < х < +со.
Ради определенности рассмотрим полупрямую а <х <+со. Всюду в этой главе, не оговаривая этого в дальнейшем особо, мы будем предполагать, что функция г'(х) определена на полу- прямой а < х < +со и для любого Л ) а существует определепн ный интеграл (~(х) дх, который мы обозначим символом Р(Л): и Г(Л) = ( 1(х) дх. (3. Ц а Итак, при наших предположениях на полупрямой и < х < +ос задана функция Л(Л), определенная соотношением (3.1). Исследуем вопрос о предельном значении функции г'(Л) при Л -+ — + +ос, т. е. вопрос о существовании предела н йш ( 1(х) дх.
(3.2) ~ ~ ~"~ и Для выражения (3.2) мы будем использовать обозначение НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 99 П дальнейшем символ (3.3) мы будем называть несобственным интегралом первого рода от функции 1(х) по полупрямой а<х<+оо. Если существует предел (3.2), то несобственный интеграл (3.3) называется сходлшимсл. Если же этот предел нс существует, то несобственный интеграл (3.3) называется рясходлпьимсл. 3 а м е ч а н и е 1.
Рассмотрим несобственный интеграл (3.3) . Если б > а, то наряду с этим интегралом можно рассматривать интеграл ) 1(х) Йх. Очевидно, из скодимости одного из указан- ь ных интегралов вытекает сходимость другого. При этом имеет место следующее равенство: СС ь СО ) 1(х) Йх = ( У(х) Йх + ( у(х) Йх. и а ь Отметим, что расходимость одного из указанных несобственных интегралов влечет расходимость другого. 3 а м е ч а н и е 2. Если несобственный интеграл (3.3) сходится, то значение предела (3.2) обозначается тем же символом (3.3). Таким образом, в случае сходимости интеграла (3.3) используется равенство ~Ж и ) 1 (х) Йх = 1ипл,т, ) 1(х) Йх. а и 3 а м е ч а н и е 3.
Аналогично несобственному интегралу (3.3) ь -~-оз определяются несобственные интегралы ( Г'(х) Йт, и ( 1(х) Йх. Первый из них символизирует операцию предельного перехода ь лп 1пп ) )(х) Йх, а второй 11ш ) )(х)Йх. и — ~ — ос и л' — ~ — ж л~ н" -~~-ао П р и м е р. 1'ассмотрим на полупрямой а < х < со (а > 0) функцию 1" (х) = 1/хр, р = сопаь. Эта функция интегрируема на любом сегменте а < х < Л, причем ~ — р и Н~ — р ~ — е Г ири рф1, Йх 1 — ра 1 — р ХР л и а 1пх = 1п— при р=1.
а а л „ а Очевидно, при р > 1 предел 1пп ) — существует и равен л — ~ос~ х 1 — р' а при р < 1 этот предел не существует. Следовательно, несоб- 1ОО НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ О О ственный интеграл ) — сходится при р > 1 и расходится при хл р < 1. Отметим, что при р > 1 4х в хг 1 — Р 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости. Вопрос о сходимости несобственного интеграла первого рода эквивалентен вопросу о существовании предельного значения и функции г'(Л) = ) 1(х) дх при Л вЂ” + +ос. Как известно а для существования предельного значения функции Г(Л) при Л вЂ” 1 оо необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Ко1аи: для любого г > О можно указать такое А > О, что для любых Л' и Л", превосходящих А, выполняется не авенство Р нп ~Г(Лв) — Г(Л')~ =,) 1(х)дх < е. н' Таким образом, справедливо следующее утверзгсдение.
Теорема 3.1 (критерий Коши сходимости несобст- венного интеграла). Длл сходамости несобственного инте- грала (3.3) необходпмо и достаточно., чтобы длл любого е > О моэюю было указать такое. А > О, что длл любых Л' и Л", превосходяо1нх А, и" ) 1'(х) дх < е. н' 3 а м е ч а н и е. Отметим, что из сходимости несобственного интеграла не вытекает даже ограниченность подынтегральной функции. Например, интеграл ) 1(х) дх, где функция равна нуо лю для нсцелых х и равна п при х = н (целое число), очевидно, сходится, хотя подыптегральная функция не ограничена.
Поскольку критерий Коши мало удобен для практических применений, целесообразно указать различные достаточныо при- знаки сходимости несобственных интегралов. В дальнейшем мы будем считать, что функция 1'(х) задана на полупрямой а < х < оо и для любого Л > а существует н обычный интеграл ) 1(х) дх.
а ') См. вып. 1, гл. 8, 8 1. 11 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ НГРВОГО РОДА 1О1 Докажем следующую теорему. Теорема 3.2 (общий признак сравнения). Пусть на полупрямой а < х < оо йхН < а(х). (3А) Тогда ив сходимости интеграла / и(х) дх втатекает сходимость интпеграла ) )(х) дх. а 00 Доказательство. Пусть ) 3'(х)дх сходится. Тогда, соа гласно критерито Коши (см.
теорему 3.1), .для любого е > О най- дется такое А > О, что для любых П' > А и Пв > А, выполняется неравенство На ) у(х)ах < е. (3.5) е' Согласно известным неравенствам для интегралов и неравен- ству (3А) имеем На л" На )'Х(х)дх < 3'У(хндх< )'К( )де н' и' н' Отсюда и из неравенства (3.5) вытекает, что для любых П' и йв, больших А, справедливо неравенство Еа ) Г(х) дх < е. н' Следовательно, интеграл ) ) (х) дх сходится. Теорема 3.3 (настпный признак сравнения).
Пусть на полупрямой О < а < х < оо функция ) (х) удовлетворяетп соот- ношению й*)1 < — '„, где с и р -- постоянные, р > 1. Тогда, интеграл / )'(х) дх схоа дитем. Если сисе существует такам постоянная с > О, что на полупрямой О < а < х < оо справедливо соотпноитение Г'(х) > > —, в котором р < 1, то интеграл, 1' т" (х) дх расходитпся. аа а Утверждение этой теоремы вытекает из теоремы 3.2 и примера, рассмотренного в предыдущем пункте (достаточно положить у(х) = с,тхг).
1О2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬ! Следствие (частный признак сравнения в предельной форме). Если при р > 1 суи1ествует конечное предельное значение 11пг ~Ы'(х)~хр = с, гпо ангпеграл ) )'(х) дх сходится. я — гг-оо Если лсе при р < 1 существует полоокителъгюе предельное значение 1пп 1(х)х" = с ) О, то интеграл ) 1(х)гтх расхои — ьвоо а дится. Убедимся в справедливости первой части следствия. Для этого заметим, что из существования предела при т, — > +со вытекает ограниченность функции х" ~~(х)~, т. е. с некоторой постоянной св > О выполняется неравенство )('(х)( < св/хр.
После этого применяется первая часть теоремы 3.3. Справедливость второй части следствия вытекает из следующих рассуждений. Так как с ) О, то можно указать столь малое е ) О, что с — е > О. Этому е отвечает такое А > О, что при х > А выполняется неравенство с — е < у(х)хр (это неравенство следует с — г из определения предела). Поэтому 1(х) > — ' и в этом случае хг действует вторая часть теоремы 3.3.
3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Введем понятия абсолютной и условной сходи- мости несобственных интегралов. Пусть у(х) интегрируема по любому сегменту [оо Л1 Определение 1. Несобственный интеграл, ) у" (х) дх назыво; ется абсолютно сходящимся, если сходится ) (~(х))с(х. а Определение 2. Несобсгпвенный интеграл ) 1'(х) г(х назыа вается условно сходящимся, если он сходится, а интеграл ) ~ ('(х)~ дх расходится. а 3 а и е ч а н и е. Положив в теореме 3.2 е(х) = ~ )'(х) ~, мы получим, что из абсолготной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость. Отметим, что теоремы 3.2 и 3.3 позволяют установить лишь абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
