Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 15
Текст из файла (страница 15)
После этого легко определить и-кратный интеграл от функции Т по произвольной замкнутой ограниченной и-мерной области Р, граница которой имеет и-мерный объем пуль. Этот интеграл определяется как интеграл по содержащему область Р и-мерному прямоугольному параллелепипеду Л (с ребрами, параллельными координатным осям) от функции Г, совпадающей с ~ в области Р и равной нулю вне Р.
Для обозначения и-кратного интеграла от функции ~(х~., хг, ..., х„) по области Р естественно использовать символ О... ) ~(хм хг, ..., х„) йх1 ахг . ахв. (2.20) и Однако для сокращения записи там, где это не будет вызывать недоразумений, мы будем обозначать интеграл (2.20) кратким символом ) ~(х) ах. (2.20') и При краткой записи (2.20') под символом х следует понимать точку х = (хц, хг, ..., х„) пространства Е~, под символом дх "- произведепие ах = ах1 дхг... ах„'), а под знаком ) п-кратгэ ный интеграл по и-мерной области Р. Точно так же, как и для случая и = 2, доказывается интегрируемость по и-мерной области Р любой функции у, обладающей в области Р 1-свойством (т.
е. ограниченной в области Р функции, все точки разрыва которой принадлежат элементарному телу как утодпо малого пнмерпого объема). Вообще изменение интегрируемой функции ~ на множестве точек и-мерного обьема нуль не изменяет величины интеграла от этой функции. Для определения и;кратного интеграла можно использовать разбиение области Р при помощп конечного числа произвольных многообразий об"ьема нуль на конечное чишю частичных областей произвольной формы.
В полной аналогии с теоремой 2.5 доказывается, что такое общее определение и-кратного интеграла эквивалентно указанному выше определению. ) Это произведение обычно называют элементом объема в пространстве Е". ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫР ИНТЕГРАЛЫ В полной аналогии с теоремами 2.6 и 2.7 устанавливается формула повторного интегрирования дляиптеграла (2.20). Пусть и-мерная область Рп обладает тем свойством, чгао любая, прямая, параллельная, оси ОХ1, пересекает ее границу не более чем в двух точках., проекции которых на ось ОХ1 суть а(Х2, ХЗ, ..., Хп) и О(Х2, ХЗ, ..., Хп), гдЕ а(Х2, ХЗ, ..., Хп) ( 6(Х2, ХЗ, ..., Хп).
Луспзь далее функция 7'(хн ха, ..., хп) допускает существование гз-крагпного ингпеграла О... 11 зх (хм ха, ..., Х,) дх1 дх2... дхп О„ и существование для любыт, х2, хз, ..., Хп однократного интег- рала 6(х,хз,...,х ) 1(Х1; Х2~ ° ° ° ~ Хп,) йх1 ° а1хз хз,... х ) Тогда существует (и — 1)-кратный интеграл 60, хз, ..., х о... ( де2 ахз . ° ° йхп 1,~(Х1~ Х21 ° з Хп) ах1 1'и — з а1хз,хз,,х д по (п — 1)-мерной области Рп 1., являющейся прозекцией Рп па координатную гиперплоскость ОХ2хз...
Хп и справедлива форлзула повпзорного интегрирования О... О(Х1, х2, ..., хп) дх1 йх2... Йхп = 11„ 61хз,.зз, ..., х„) =О... )ахгдхз...дхп ) 1(х1, х2, ..., хп)дх1. (2.21) О„ а1хз, хз, .... х„з Конечно, в сформулированном утверждении в роли х1 может выстУпать и любаЯ из пеРеменных хг, хз, ..., хп. Мы договоримся называть область Р п р о с т о й, если каждая прямая, параллельная любой координатной оси,. либо пересекает ее границу не более чем в двух точках, либо имеет на втой границе целый отрезок.
Для простой области форлзулу повторного интегрирования лложно применять по любой из переменных х1, х2, ..., Хп. Примером простой области может служить и-мерный прямоугольный параллелепипед (ребра которого не обязательно параллельны координатным осям). 1 5 злменл пеРеменных В и-кРлтном интеГРлле 77 В заключение отметим, что для и-кратного интеграла остаются справедливыми свойства 1'-7', сформулированные в з 2 для случая двойного интеграла. В частности, Д ... 1 1.
дх1 дх2... дхп равен и-мерному объ- 22 ему Ъ'(Р) области Р. Кроме того, как и для случая и = 2, справедливо следующее у т в е р ж д е н и е. Пусть функцсся 1(хсс х2, ..., хп) слнтегрируема в ограссиченной кубируемой области Р. Пусть далее пространство Еп покрыто сеткой п-мерссыт кубов с ребром 6; С1, С2, ..., Сссслс те кубы указанной сетки, которые целиком содержатся в Р; (~1, ~2, ..., ~„) произвольная то"ска, ксуба Ссс; ись -- точ; (ьс Ж (е) ная, нижняя грань функции 2" в кубе Сь (lс = 1, 2, ..., п(6)). Тогда суммьс пссс) и'161 У(~~ 1 ~~ ~ ~~ ~) 6 ~ ~т„6" сс= с Ь=1 имеют предел при 6 — с Ос равный Ц,~ 2 (х1~ х2~ 1 хп) дх! пхг 11хп.
и й 5. Замена переменных в и-кратном интеграле Целью настоящего параграфа является обоснование формулы замены переменных в и-кратном интеграле. Устанавливаемая формула является одним из важнейших средств вычисления и;кратного интеграла. Предположим, что функция 1(у1, у2, ...., уп) допускает существование и-кратного интеграла ) 2'(у) С1у= )) ...О(у1, у2, ..., уп)йу1 йу2...Йуп (2.22) по некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области Р в пространстве переменных у1, у2, ..., у .
Предположим далее, Чта От ПЕРЕМЕННЫХ У1, У2, ..., Уп МЫ ПЕРЕХОДИМ К ПОВЫМ ПЕРЕ- менным х1, х2, ..., х„, т, е, совершаем преобразование У1 т1(Х1 Х2~ ° ~ Хп): У2 = ф2(Х1., Хг;, Хп) (2.23) Уп Фп(Х1; Х2с ° ° ~ Хп). ДВОЙНЫЕ И п-КРЛТНЫР ИНТЕГРАЛЫ 78 Кратко преобразование (2.23) будем обозначать символом у = у1(х), понимая под х и у точки и-мерного пространства х = (х1, х2, ... , Хп); у = (уг, у2, ..., уп), а ПОд СИМВОЛОМ ф — СОВОКУПНО- сти и функций ф1, ф2,, грп Обозначим символом Р' ту область в пространстве переменных хг, х2, ..., хп, которая при преобразовании (2.23) перехолит в Р, т. е. положим, что Р = ф(Р ) ) .
Мы докажем, что ещги функции (2.23) имеют в области Р' непрерывные частные производные первого порядка и если якобнан рЬ) рЬН уп ",у.) (2.24) 1Ч(х) гз(хн хе, ..., х„) отличен в области Р' от нуля, то для интеграла (2.22) справедлива следующая формула замены переменных: (2.25) В подробной записи формула (2.25) имеет следующий вид: О 1сгг(У1, У2,, Уп) ГгУгсгУг . Г)У и ,) М1(Х1~ Х2~ . ° ° ~ Хп)~ ° ° ° ~ Ч'п(Х1~ Х2, ..., Хп)1 Х и гз! Х у' у' ''' ' ~ ) дхгдх2... дхп.
(2.25') 11(хь хе..... х„) Таким образом, мы докажем следующую основную теорему. Теорема 2.8. Если преобразование (2.23) пвреводип1, область Р' в Р и является взаимно однозначнь1м и если функции (2.23) имеют в области Р' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (2.24) г), то при условии су1цесгпвования интеграла (2.22) справедлива формула замены переменных (2.25'). ') При атом мы предполагаем, что преобразование (2.23) допускает обратное и что гз' = й (гг). ) Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.8 уравнения (2.23) можно разрешить относительно хь хг, ..., х, причем полученное на агом пути обратное преобразование х = У~ '(у) будет в силу теоремы 14.2 из вып. 1 иметь в области 11 непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан 1Ч(х) Г'Р(у).
1 5 злменл пеРеменных В и-кРлтном интеГРлле 79 Доказательство теоремы 2.8 не является элементарным. Основная идея приводимого нами доказательства состоит в том, что мы сначала даем обоснование формулы (2.25) для случая, когда преобразование (2.23) является л и н е й н ы м, а затем сводим к этому случаю общее преобразование (2.23).
Ради удобства, мы будем подразделять доказательство теоремы 2.8 на отдельные пункты. Д о к а з а т е и ь с т в о т е о р е и ы 2.8. 1'. Лемма 1. Если преобразование г = у)(х) является суперпозицией (или, как обычно говорят, произведением) двух преобразований у = ф~(х) и г = фз(у)о то якобиан Р(х) 'р(х) ' о о о о взятый в любой точке х = (хм х2....., хи), равен произведению якобианов — и —, взятых соотве«пственно в точках 'дЬ) Р(х) ~(х) ~Ь) о о о о о о о о о о = (хм хз, ..., хи) и у = (ум ую ..., уи), зде у = 'Ф1(х), 'ш. е. 'д(х) 'д(х) ~Ь) (2. 26) ~(х) ~(у) ~(х) В подробной записи формула (2.26) выглядит так: 'д(... хо, ..., х„) о(хь хо, ..., х„) Ю(уп ун..., у„) ( х(хь хо, ..., х, ) х(ун ун ..., у ) х(хп хо, ..., х ) Доказательство леммы 1.
Элемент, стоящий напе- Ю(х) дх, ресечении 1-й строки и й-го столбца якобиана равен х (х) дхо ' о причем указанная частная производная берется в точке х. По правилу дифференцирования сложной функции (см. 8 7 гл. 14 вьш. 1), .этот элемент равен и дх, ~ дх, ду! (2.27) дхо ду~ дхо' 1=и причем в правой части (2.27) все частные производные — беду~ дхо о дх, рутся в точке х, а все частные производные — ' в соответстду! о о вующей точке у = ф~ (х). Из справедливых при любых 1 = 1, 2, ..., пи й = 1, 2, ..., п равенств (2.27) и из теоремы об определителе произведения двух матриц (см.
вып, 4 «Линейная алгебрау) непосредственно вытекает формула (2.26). Лемма 1 доказана. ДВОЙНЫЕ И п-КРЛТНЫР ИНТЕГРаЛЫ 80 УЬ = аЫХ4+ а12Х2+... + аппХп, У2 = а21х1 + а22х2 +... + а2пха, (2. 28) Уп ап1Х1 + ап2Х2 + ° ° ° + аппкп в котором а»» (г = 1, 2, ..., и; й = 1, 2, ..., и) суть произвольные постоянные числа. Кратко линейное преобразование (2.28) мы будем обозначать СИМВОЛОМ У = ТХ, ПОНИМаЯ ПОД Х И У ТОЧКИ Х = (ХН Х2, ..., Хп) и у = (ун у2, ..., у ) пространства Еп, а под Т матрицу Т = = ~~а«ь~~ (4 = 1, 2, ..., и; )' = 1, 2, ..., и). Матрицу Т обычно называют матрицей линейного п р е о б р а з о в а н и я. Если определитель матрицы линейного преобразования г)е$ Т отличен от нуля, то линейное преобразование у = Тх называется невы рожденным. Для такого преобразования в силу теоремы Крамера 1) уравнения (2.28) можно разрешить относительно хн х2, ..., т и утверждать существование обратного преобразования х = Т ~у, которое также является линейным и невырожденным.
Заметим еще, что для линейного преобразования (2.28) якобиан — совпадает с определителем матрицы Т указанного 'р(у) й(х) преобразования, т. е. (2.29) Основной целью настоящего пункта и следующих двух пунктов является доказательство того, что для произвольного линейного певырожденного преобразования (2.28) справедлива формула заменгя переменной (2.25). В силу соотношения (2.29), достаточно доказать, что для любого линейного невырожденного преобразования у = Тх справедлива формула ) ~(У) г)У= ) )(Тх)~г)е~Т~ дх (2.30) (при условии, что существует интеграл в левой части этой фор- мулы). ) Теорему Крамера см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
