Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1), найдется число 0; из интервала 0 < < 0; < 1 такое,что ф>(х) — >(>,(х) = ~ ,7>1(х + 0(х — х)) (ху — хд). з.=г Из последнего равенства и из соотношения (2.46) заключаем, что у>(х) — у>(х) < шах ~~дй(х)~~ . х — х . (2.49) яЕС Полагая у = г(>(х), у = у>(х), получим из (2.49) и (2.48) у — у < з. гпах ~~ду(х)~~. ХЕС Таким образом, при изменении точки х в пределвсо п-мерного куба С с ребром 2з образ у точки х не выходит за пределы п-мерного куба, ребро которого равно 2з шах ~~др(х)~~. вЕС Отсюда сразу же вытекает кубируемость образа у>(С) любого кубируемого множества С 1) (в частности, кубируемость у>(С)) и вытекает неравенство (2.47).
Лемма 5 доказана. 6'. Лемма О. Пусть выполнены условия теоремы 2.8 и пусть С произвольное кубируемое подмножество Р'. Тогда для гымерного облома образа у>(С) множества С спрн,ведливо неравенство ) 1У(г)>(С) ) < ) ) с1е1 Л„(х) ~ с1Х. (2.50) С Доказательство леммы 6. Прежде всего докажем, что для любого невырождснного линейного преобразования Т и для любого и-мерного куба С, содержащегося в Р > справедливо неравенство 1г(у>(С)) < )с1еФТ~ [шах ~~Т ~Х~(х)~51 .
Ъ'(С). (2.51) ) В самом деле, граница любого кубируемого множества С является множеством и-мерного объема нуль, а такое множество> согласно доказанному утверждению, преобразуется в л>ножество., и-мерный объем которого также равен нулю. е) Сам факт кубируемости образа й(С) вытокает из утверждения, доказанного в предыдущей лемме.
1 5 злменл ~еРеменных В в-кРлтном интеГРлле 87 В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого множества С и для линейного преобразования Т 1 справедливо равенство Ъ (Т С) = [с1е1Т [ Ъ'(С). Таким образом, если С = ф(С), то ') Ъ'ф(С)) = ~ е1еФТ[ Ъ"(Т ~4(С)). (2.52) Правую часть (2.52) оценим с помощью неравенства (2.47), взяв (2.47) не для преобразования ф, а для суперпозиции преобразований Т ~у1. Получим Ъ'(у1(С)) ( (деЪТ! [шах~~,7т-~Е(я)[~] Ъ'(С). (2.53) Учитывая, что матрица Якоби линейного преобразования совпадаег с матрицей этого преобразования, мы в силу леммы 1 получим, что 7т- Ф(т) = Т 'ААХ). Но это и означает, что неравенство (2.53) может быть переписано в виде (2.51).
Тем самым неравенство (2.51) доказано. Теперь для доказательства леммы 6 покроем пространство Ев сеткой и;мерных кубов с ребром Ь, и пусть С1, Сэ, ..., Сп~л) те из этих кубов, которые целиком содержатся в С, а символ Св обозначает сумму всех указанных кубов. Выбрав в каждом кубе С; произвольную точку я; запишем для него неравенство (2.51), полагая при этом Т = 7Е(хе).
Получим Ъ'ф(С;)) ( !с1е1,7Е(хе)! (шах Ц[УЕ(те)) ',7Е(х)Ц ( Ъ'(С). Суммируя последнее неравенство по всем номерам г от 1 до п(6), вспучим в16) Ъ'(~~(Сл)) ( ~ ( бе1,7,,(*.,)! (шах ~[[7„,(*;)) ' .,7е(я) ~~) . Ъ (С ). (2.54) Поскольку элементы матрицы Якоби 1Р(х) являются непрерывными функциями точки т, во всей области Р' и тем более в С ) Мы учитываем при этом, что Т Т = Е, так что ВОТ е1етТ = и 88 ДВОЙНЫЕ И и-КРЛТНЫР ИНТЕГРАЛЫ Гл. г и произведение (,7Е(х)] ХЕ(х) представляет собой единичную матрицу, норма которой равна единице, то 11пг тпах ~~(д~,.(хг)] ~,7Е(х) 0 = 1. 6 — го тЕС, Но тогда из утверждения, сформулированного в конце 8 4 этой главы, следует, что предел при 6 -+ 0 всей правой части (2.54) существует и равен / ~ с1е1,7е(х) ~ дх.
С Из того же утверждения следует, что 1пп Сь = Сг так что 6 — ге в пределе при 6 э 0 мы получим из (2.54) неравенство (2.50). Лемма 6 доказана. 7'. Ле.мма 7. Пусть выполнены все условия теоремы 2.8 и, кроме того, дополнительно предполагаетсл, что функция Г" (у) нсотрицательна в области Р. 'Тогда справедлива формула замены переменных (2.25). Д о к а з а т е л ь с т в о. Покроем пространство Е" сеткой п-мерных кубов с ребром 6, и пусть Сн Сгп ..., Си(6) те из этих кубов, которые целиком содержатся в области Р. Пусть далее С; = ф ~(С,). Записывая для каждой области С, неравенство (2.50), будем иметь 1г(С,) < ] ~ с1еФ дог(х) ~ дх. (2.55) Пусть теперь т; точная нижняя грань функции 1(у) на кубе С, (или, что то же самое, точная нижняя грань функции ~(г)г(х)] в С;). Умножая обе части (2.55) на т, и суммируя по всем г' от 1 до п(6) г будем иметь гг(61 ггпу 6) тггг (Сг) ~( ~ тг ] ~ сМ дй(х)~ дх. (2.56) г=1 г=г ] ~[гд(х)] .
~ сЫ д (х) ~ дх. Вг ) В силу того, что 2 С, содержится в В, В = гг (В), С, = ггг (С,). ,=г В силу утверждения, сформулированного в конце 8 4 этой главы, левая часть (2.56) имеет предел при 6 э О, равный ) ((у) ду. Поскольку сугмыа всех областей С, содержится в Рг ') В и функция 1 п е о т р и ц а т е л ь п а, правая часть (2.56) при любом 6 > 0 не превосходит интеграла *| 5 злменл пеРеменных В в-крлтном интеГРлле 89 Таким образом, в пределе при Ь вЂ” э 0 мы получим из (2.56) неравенство /,с'(9) ду < [ У[|с|(х)[. ! с(е(.7й(х)[сКх.
(2.57) л В проведенных нами рассуждениях можно поменять ролями области Р и Р' и вместо функции 7" (у) в области Р рассмотреть функцию 8(х) = ~[|С|(х)[ ~ с|ей,УИ(х)[ в области Р'. При этом, используя лемму 1 и тоорему об определителе произведения двух матриц, мы получим противоположное неравенство [ .([|Р(х)[ . ~ с(ес,7й(х) [ с1х < [ С (у) с(у. (2 58) 7(9) с1у = [ )[г)|(х)[.
~ с(ес Я~,.(х))~ с(х. (2.59) Р— С. й(Р' — С) Осуществляя в формуле (2.59) предельный переход по последовательности элементарных фигур ~СД, н-агерный объем 1'(Сь) которых стремится к нулю, мы убедимся в справедливости формулы (2.25) и для рассматриваемого случая. ') Напомним, что из интегрируемости Д(р) в области Р вытекает ограниченность С(у) в Р и существование точных граней. Из (2.57) и (2.58) вытекает формула замены переменных (2.25). Лемма 7 доказана. 8'. Нам остается заверни|ть доказательство теоремы 2.8, т. е. избавиться от наложенного в лемме 7 дополнительного требования пеотрицательпости функции 7(й). Пусть 7'(у) - совершенно произвольная интегрируемая по области Р функция, число М точная верхняя грань функции ~~(у)~ в области Р В силу леммы 7 для каждой из неотрицательных функций 7|(у) = ЛХ и (э(у) = ЛХ вЂ” 7(у) справедлива формула замены переменных (2.25).
Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедливость формулы (2.25) и для разности ~|(у) — ~э(у) = 7" (у). Теорема 2.8 полностью доказана. 3 а м е ч а н и е 1. В условиях теоремы 2.8 можно допустить обра|цение в нуль якобиана (2.24) на некотором принадлежащем Р' алножестве точек Я, имеющем и-алерный объем нуль. В самом деле, множество о' лежит внутри элементарной фигуры С как угодно малой площади, причем, согласно доказанному выше, справедлива формула ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 90 3 а м е чан не 2.
Поскольку интеграл 1 = О ) 1 г1ул г1уг г1у лг (2.бО) 1 = ... "'" '"" ' ' ' ' ' " дхл дх2... дх„, то величину глх ггхг ггх ~(хл х2, естественно назвать элементом объема в криволинейной системе координат хлх2... х„. Стало быть, модуль якобиана характеризует «растяжение» (или «сжатие») объема при переходе от декартовых координат ул, У2, ..., У„к криволинейным координатам хл, х2, ..., х„. Подсчитаем элемент объема в сферических и цилиндрических координатах. 1'. Для сферических координат ~в трехмерном пространстве) < т = тсов~рвшО, у = тяп грет О, (т > О, 0 < 0 < лг, О < ег < 2лг). в = тсовО Якобиан имеет вид сов~рв1пΠ— тяпгряпО т.сов рсовО яп~рвшО тсовгрв1глО твшгрсоэО сов 0 0 — 7" впл О = т яп0. 2 Стало быть, элемент объема равен т~эшдггтг10д~р.
2'. Для цилиндрических координат (в трехмерном пространстве) < т = г сове», у = гвг'и ~р, (т > О, О < гр < 2лг). равен и-мерному об"ьему 1т(В) области 11, то величину ду1 г1У2... ...дув естественно назвать элементом объема в рассматриваемой декартовой системе координат Оулуг... у„. С помощью преобразования (2.23) мы переходим от декартовых координат ул, уг, ..., У„к новым, вообще говоря, криволинейным координатам хл, х2, ..., х„, Поскольку при таком переходе (согласно формуле замены переменных (2.25)) интеграл (2.б0) преобразуется в 1 5 элменл пеРеменных В и-кРлтном интеГРлле 91 Якобиан имеет вид сов !р — т вш )р О яп)р гсов)р О 'Е( ук) О О 1 Стало быть, элемент объема равен тг)тс))р)1ж В частности, для полярных координат на плоскости элемент п,лощади равен 1' Й" сз))т. 3'.
В н-мерном пространстве сферические координаты определяются равенствами ') хз = тяпд! взпдт ... янди и — 1 х„, = тсовд„, 1 П япдь при т = 2, 3, ..., п — 1, й=т хи = тсовди 1, в которых сфери !вский радиус т и сферические углы 01, дя ... ..., ди 1 изменяются в пределах т > О, О < 01 < 2зг, О < 0„„< я прит,=2,3, ...,и — 1. Можно убедиться, что в этом случае якобиан имеет вид и.— 1 т))т), ты, и ) и — 1 тт =т Пвш Ю(т, о), ..., )З„)) Ь=.1 Таким образом, элемент объема в и-мерных сферических коор- и — 1 дниатаХ раВЕП ти ~гзт П ВШ~ 10Ь С10Ь. к=! П р и м е р ы. 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (2.
61) (х +у +к ) =а, г, где а, > О. Тело симметрично относительно координатных плоскостей Оук и Охз и расположено вверх от плоскости Оху. Стало быть, достаточно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте. Переходя к сферическим координатам, приведем уравнение (2.61) к виду т = иъ'сов 0. 1) ) Обратные формулы, выражающие т)-мерные сферические координаты через декартовы, имеют вид и = к) -~- .. -Ь т„, в!н)) =, сов ры = и е) тгГ:.г я ) =),),, ° — ) 92 ДВОЙНЫЕ И а-КРАТНЫР ИНТЕГРАЛЫ Так как первый октант характеризуется неравенствами 0<В<-., О< р<-, 2' 2 то учитывая выражение для элемента объема в сферических координатах, получим, что искомый обьем И равен аг'2,г2 а 4Я.,В Ь'=4 ) гйр 1 дд )' ггьйпдд.
О О О Таким образом, (2.63) ОПРЕДЕЛИВ гРО ИЗ СООтНОШЕНИй аггЬ ь/ь ьйп~ро =, северо = мы приведем (2.63) к виду ь2 — + — вгпрр+ ре). (2.63') Из условия неотрицательности правой части (2.63') находим, что 0 < ~о + ~оо ( гг, т. е. — ~ро ( ~р ( я — ~ро. ~г/2 з И = — а вгпдсовдсВ = —. 3 .( 3 О 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (2.62) (где 6 > О, Ь > О, а > О, Ь > 0).
Для вычисления этой площади удобно перейти к так назы- ваемым обобщенным полярным координатам х = ассов р, (О < ~р < 2я). у = Ьт гйп у Уравнение (2.62) принимает вид а Ь г = — сов~о+ — вгп~р, Ь Ь причем, поскольку левая часть (2.63) неотрицательна, следует брать лишь такие значения ~о, для которых правая часть (2.63) является неотрицательной. а Ь Улгножив и разделив правую часть (2.63) на — + — и Ь' Ь~ ДОПОЛНЕНИЕ 'р(х, у) Учитывая, что якобиан ' " равен а))г, мы получим для 'с?'сг, ф искомой площади Я следующее выражение: х — х» 2 12 ьг ' аз е з'»сиз-хз) Я = д' сбр д а))гй = — яо о х — сзо Заметим в заключение, что для вычисления ряда площадей удобен несколько более общий вид обобщенных полярных координат х = аг сов уз, у = огв)по оз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
