Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 13
Текст из файла (страница 13)
6 имеет предел пргз 6 — > О, равный Ц ((х, у) о(хд1у. 1> Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от нижней суммы) функции ((х, у) в области Р только отсутствием слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области Р, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньше произведения точной верхней грани М функции ~ ((х, у)~ в области Р на площадь Я элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеюзцих общие точки с Г.
Согласно доказанному выше утверждению Я вЂ” > О при 6 — > О. дВОйные и п-кРлтныг интеггалы В отношении данного нами определения естественно возникает вопрос, зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина 1 от 1) выбора на плоскости координатных осей Ох и Оу; 2) выбора прямоугольника Л, на котором мы определяем функцию Е(х, у).
В следующем пункте мы дадим другое определение интегрируемости функции 1(х, у) и двойного интеграла, нс зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника Л, и докажем эквивалентность этого определения приведенному выше. Пока же мы укажем следующую основную теорему, почти непосредственно вытекающую из теоремы 2.3 и из данного выше определения. Теорема 2.~.
Если функция 1 1х, у) обладает в области Р 1-свойством, то она интегрируема в области Р. Доказательство. Для такой функции 1(х, у) функция Е(х, у), определенная формулой (2.2), будет обладать 1-свойством в прямоугольнике Л. В самом деле, функция Е(х, у) ограничена в пряьюугольникг Л и все точки и линии разрыва этой функции либо совпадают с соответствую|цими разрывами 1(х, у), либо лежат на границе Г области Р. Поскольку Г имеет площадь нуль, теорема доказана. Следстпвие 1.
Если функция 1(х, у) ограничена в области Р и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрлмллемьсх линий, то 1(х, у) интегрируема в области Р. Следствие х. Если 1'(х, у) интегрируема в области Р, а Е(х, у) ограничена и совпадает с 1'(х, у) всюду в Р, за исключением множества точек площади нуль, то и д(х, у) интегрируема в области Р. 4. Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области. Выше мы определили двойной интеграл, исходя из разбиения области прямыми линиями на конечное число частичных прямоугольников.
В этом пункте мы сформулируем другое определение двойного интеграла, основанное на разбиении области Р любыми кривыми площади нуль на конечное число частичных областей произвольного вида, .и докажем, что это определение эквивалентно данному выше. Пусть Р---замкнутая ограниченная область, имеющая границу Г площади нуль.
Разобьем область Р при помощи конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное число г (не обязательно связных!) замкнутых частичных областей Рм Р2~ ° ° ~ Рт ° Заметим, что каждая область Р,; квадрируема, ибо граница ее имеет площадь нуль (см. вып. 1, гл. 11, з 2) н обозначим символом 1лР, площадь области Рь ОНРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 65 В каждой частичной области Р; выберем произвольную точку РЯл, ц,).
Определение 1. Число с 1'!Рл) ллР, (2.3) называется интегральной суммой функции 1(х, у), соответствующей данному разбиению области Р на частичные. области Р; и даюгому выбору промеэюуточглых точек Р, в частичньлх областях. Назовем диаметром области Р; точную верхнюю грань расстояний между двумя любыми точками этой области. Символом Ь обозначим наиболыпий из диаметров частичных областей Рг, Рг, ..., Р,. Определение й. Число 1 называется пределом интегральпьлх сумм (2.3) при Ь -э О, если для лгобого положительного числа е можно указапль такое положительное число б, что при лл < б независимо от выбора точек Р; в частичных областпях Р, вьтолняется неравенство !ст — 1! < е. Определение 3 !общее определение интегрируемости). Функция 1(хц у) назьиается, глнтегрируемой (гл о Р и, м а н у) в области Р, если сушествует, коне гньил !!редел 1 интегральных сумм сг этой функции при Ь вЂ” + О.
Указанный предел назьлвается двойным интегралом от функц и и 1(х, у) по области Р. Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 2.б. Оформулироватлое общее определение интегрируемости эквивалентно определению, данному в и. 3. Доказательств о. Очевидно, что если функция 1(х, у) интегрируема, согласно общему определению интегрируемости, и ее двойной интеграл, согласно этому определению, равен 1, то эта функция интегрируема и, согласно определению п. 3, имеет, согласно этому определению, тот же самый двойной интеграл 1. Остается доказать, что если функция 1(х, у) интегрируема в области Р, согласно определению п. 3, и 1 --двойной интеграл от 1"(х, у) по области Р, согласно этому определению, то для функции 1'(х, у) существует равный 1 предел интегральных сумм сг при,Ь -э О. Обозначим через М, и т, точную верхнюю и точную нижнюю грани функции 1'(хц у) в частичной области Р и введем в 3 В.
А. Ильин и ЗС Г. Позняк, часть Н 66 ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫЕ ИНТЕГРгллы рассмотрение верхнюю и нижнюю суммы Ь'= ~М; саР; и в = ~т; ЬРл. г=1 г=1 Так как для любого разбиения в<о <Я, то достаточно доказать, что обе суммы Я и в стремятся к 1 при Ь -э О.
Требуется доказать, что для любого е > О найдется б > О такое, что каждая из сумм Я и в отклоняется от Т меньше чем на скак только Ь < б. Фиксируем произвольное с > О. Для этого е найдется р а з- б и е н и е Т содержащего область Л прямоутольяика тл. на час- тичные прямоугольники ВЬ такое, что для него Я вЂ” в < —. (2.4) 2 Обозначим через МО точную верхнюю грань ~~(л, у)~ в обла- сти Р и заключим все отрезки прямых, производящих разбие- ние Т, и границу Г области Р внутрь элементарной фигуры, площадь которой меньше числа егг(4МО). Тогда заведомо существует положительная точная нижняя грань д расстояния между двумя точками, одна из ко- торых принадлежит границе указанной элементарной фигуры, а другая отрезкам прямых, производящих разбиение Т, или границе Г области Р Докажем, что для сумм Я и в любого разбиения области Рг удовлетворяющего условию сх < д, справедливы неравенства У< ~+-', (2.6) 2 в — — < в.
(2.6) 2 ') В самом деле, рассмотрим два множества: 1) множество (Р) всех точек границы указанной элементарной фигуры и 2) множество Я) всех точек отрезков разбиения Т и границы Г области 22. Оба множества (Р) и Я) ограничены и зомкггрти. Предположим, что точная нижняя грань д расстояния р(Р, сл) равна нулю. Тогда найдутся две последовательности точек (Р„) И Я„) таКИЕ, ЧтО Р(Рв, Л,~„) Э О. ИЗ УКаЗаННЫХ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЕй в силу теоремы Боггьцано — Вейерщтрасса можно выделить сходящиеся подпослодовательности (Рг„) и Яг„), пределы Р и Я которых (в силу замкнутости) принадлежат соответственно (Р) и (СЛ). Но тогда р(Р, Лгг) = О, т.
е. точки Р и Я совпадают, ч го невозможно, нбо множество Я) лежит сгрого внутри элементарной фигуры и не имеет общих точек с (Р). Получонное противоречие доказывает положительность 6. *г 1 ОпРеДеление и сУЩестВОВлние ДВОЙНОГО интеггллл 67 (2.7) где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на области Р;, целиком лежащие в соответствующих прямоугольниках рввбиенил Т. Заменим теперь в правой части (2.7) точные грани ЛХ; в областях Р;, содержащихся в частичном прямоугольнике Аь, точной верхней гранью ЛХь в прямоугольнике Лы Тогда получим ~ М, ЬР.; < ~~ Мь Ххйы (2.8) где ЬЛв обозначает площадь области Щ., равной сумме всех областей Рп целиком содержащихся в прямоугольнике Лы Все области Ль — Аа принадлежат выбранной выше элементарной фигуре.
Поэтому и, стало быть, Таким образом, с ошибкой, не превышающей е/4, справедливо равенство ~М, АЛ,=Я. (2.9) ь Сопоставляя справедливые с ошибкой, не превышающей е/4, равенства (2.7) и (2.9) с неравенством (2.8), мы получим неравенство (2.5). Аналогично доказывается неравенство (2.6). Ограничимся доказательством неравенства (2.5), ибо неравенство (2.6) доказывается аналогично. Удалим из суммы Я все слагаемые М,"ЬРН соответствующие областям Р;, каждая из которых не лежат целиком в одном частичном прлмоугольаике разбит>ил Т. Все такие области Р, принадлежат указанной выше элементарной фигуре, а поэтому общая сумма площадей таких областей меньше числа е/(4Мо).
Стало быть, сумма всех удаленных слагаемых М; ЬРН меньше числа е>>4. Таким образом, с ошибкой, не превышающей е/4, справедливо равенство дВОйные и п-кРатныР интегРалы Из (2.5) и (2.6) получим а — -' < э < Я < Я+ -'. (2.10) 2 2 Так как в силу (2.4) каждая из сумм в и Я отклоняется от 1 меныпс чем на е/2, то каждая из сумм э и Я в силу (2.10) отклоняется от 1 меньше чем на е. Теорема доказана. ~ 2. Основные свойства двойного интеграла Свойства двойного интеграла (и их вывод) вполне аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла. 11оэтому мы ограничимся формулировкой этих свойств.
1'. А д д и т и в н о с т ь. Если функция 1 (х, д) интегрируема в области Р и если область Р при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и пе имеющие общих внутренних точек области Р1 и Р2, то функция 1(х, д) интегрируема в каждой из областей Р1 и .Ря, причем Ц1'(х., д) ЙхЙд = Ц 1(х, д) ЙхЙд+ Ц)(х., д) ЙхЙд. В! 2'. Линейное свойство. Если функции Г"(х, д) и я(х, д) интегрируемы в области Р, а о и  — любые вещественные числа, то функция [о . 1(хз д) + В . б(х, д)1 также иптегрируема в области Р., причем 0'(и . ('(х, д) +,3. я(х, д)) Йх Йд = = о Ц 1 (х, д) Йх Йд + В Ц д(х, д) Йх Йд. В В 3'.
Если функции т'(х., д) и я(х, д) интегрируемы в области Р, то и произведение этих функций интегрируемо в Р. 4'. Если 1(х, д) и н(х, д) обе иптегрируемы в области Р и всюду в этой области )'(х, д) < я(х, д), то Ц1(х, д) ЙхЙд < Ця(х, д) ЙхЙд. 5 . Если ('(х, д) интегрируема в области Р, то и функция ~('(х., д)~ интегрируема в области Р, причем Ц ('(х, д) ЙхЙд < Ц1(х, д)ЙхЙд. (Конечно, из интегрируемости ~ ((х, д)~ в Р не вытекает интегрируемость 1(х, д) в Р.) 1 3 сВеДение ДВОЙНОГО интегрллА к ИОВтОРнОМУ 69 6'. Теорема о среднем значении.
Если обе функции 1(х, у) и я(х, у) интегрируемгы в области Р, функция я(гс, у) неотрицательиа (неположительна) всюду в этой области, М и т - точная верхняя и точная нижняя грани функции ~(хо у) в области Р, то найдется число гл, удовлетворяющее неравенству т < гг < М и такое, что справедлива формула 01(хг у)й(хг у)даду= РД6х, Ййхйу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
