Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1.3) и т, д. Построенная нами последовательность 1х„) обладает следующим с в о й с т в о м: какое бы б > О мы ни взяли, для 38 Фмнкционлльные ИОслеДОВАтельнОсти и РЯДЫ Гл. 1 этого б найдется номер по такой, что на любом принадлежащем [и, Ь] сегменте длины д лежит хотя бы один из элементов 11 Х1; Х2~ ° ° ° ~ Хпе Приступим теперь к выделению из последовательности ( (п(х) ) равномерно на сегменте (а, 6] сходящейся подпоследовательности. а Хе Хз ХЗ Х1 ХВ ХЗ Х1 Ь Рис.
1.3 Сначала рассмотрим последовательность 11п(х)) в точке х1. ПолУчим огРаниченнУю числовУю послеДовательпость (1п(х1)), из которой па основании теоремы Больцано- Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 3, 8 4) можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обозначим так: Л1(х1)~ Л2(хс)~ Лп(х1)~ Далее рассмотрим функциональную последовательность Л 1( ), Лг( ): , Л ( ): в точке х2. По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательпость, которуго мы обозна 1им так; г 21 (Х2) ~ Ь2 (Х2): ° 1 г 2п (Х2) ~ Таким образом, функциональная последовательность 121(х), 122(х); . ~,~2п(Х), (1.
34) является сходящейся и в точке х1, и в точке х2. Далее рассматриваем функциональную последоватольность (1.34) в точке хз и выделяем из нее сходяшуюся подпоследовательность Б1 (ХЗ) УЗ2(ХЗ): . Бп(ХЗ), Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим бесконечное множество подпоследовательностей Л1(х)~ Л2(х)1 Лз(х); ° ° ° 1 Лп(х), Ь1(х), Ьг(х), Ьз(х)...., Лгп(' ) Ь1 (х), Ь2(х), Узз(х), ", Б (х) гп1(Х)~ Уп2(Х)~ Упэ(х)~ ° ° ° ~ гпп(х).' ') Про последовательность, обладающую таким свойством, говорят, что она является всюду плотной на сегменте (а, Ь].
1 3 РАВнОстепеннАЯ непрерыВнОсть. теОРемА АР11елА 39 причем подпоследовательность, стоящая в и-й строке, является СХОДЯЩЕЙСЯ В КажДОй ИЗ ТОЧЕК Х1, Хг, ..., Хп. Рассмотрим теперь так называемую «диагональную» последовательность 111(Х)г,<22(Х)г ° °; гпп(Х)г Докажем, что зта последовательность равномерно сходится на сегменте (аг О]. Ради сокращения записи будем в дальнейшем обозначать эту диагонаиьную по<шедовательность (как и исходную последовательность) символом Л(*), Ь(*), ", Л.( ), -" (т. е.
вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный). <Риксируем произвольное е > О. Так как диагональная последовательность является равностепснно непрерывной на сегменте [ап 5], то для фиксированного е > О найдется б > О такое, чтог каковы бы ни были две точки х и хт из сегмента (а, 5], связанные неравенством ~х — х,~ < б, для всех номеров п справедливо неравенство ]Л,( ) — У.(*-)] (1.35) Заметив это, разобьем сегмент (аг 5] на конечное число отрезков длины, меньшей б. Из последовательности (хп) выберем конечное число ио первых членов х1, т2, ..., хп, настолько большое, чтобы в каждом из упомянуть<х отрезков содержалась хотя бы одна из точек х1, хг хп«. Очевидно, диагональная последовательность сходится в каждой из точек х1, хзг ..., хп,. Поэтому для фиксированного выше е > О найдется номер Х такой, что ]У+(х ) У(х )~< (1.
36) для всех и > г'г<, всех натуральных р и всех тп = 1, 2, ..., ио. Пусть теперь х произвольная точка сегмента (а, 5]. Эта точка обязательно лежит в одном из упомянутых выше отрезков длины, меньшей о. Поэтому для этой точки х найдется хоть одна точка х (т один из номеров, равных 1, 2, ..., по), удовлетворяющая условию ]х — х ~ < д. В силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит суммы их модулей, можем записать ~У.«р( ) — У (х)~ < У:р(х) — 1:»р( М+ + (1п»р(хпг) 1п(хпг) ~ + <гргпг р(хгп) Угг(х) ~ ° (1 37) Второй член в правой части (1.37) оценим с помощью неравенства (1.36) г а для оценки первого и третьего членов в правой 40 ФункциОнАльные пОследОВАтельнОсти и еяды Гл.
1 части (1.3?) учтем, что ]х — х ] < б, и привлечем неравенство (1.35), справедливое для любого номера п (а стало быть, и для любого и+ р). Окончательно получим, что для произвольного е > О найдется номер Х такой,что ]~пг „(х) — 1„(х)[ < е для всех п > Х, всех натуральных р и любой точки х из [о., Ь]. Равномерная сходимость диагональной последовательности доказана.
Теорема 1.12 доказана. 3 а м е ч а н и е 2. В теореме Лрцела вместо равномерной ограниченности последовательности (('„(х)) на сегменте [а, 6] достаточно потребовать ограниченности этой последовательности хотя бы в одной точке этого сегмента. В самом деле, справедливо следующее утверждение: если последовательность 11„(х)) ?мтпосп1епенно непрерывна на сегменгпе [а, 6] и ограничена хотя бы в одной точке х этого сегмента, то эта последовап1ельность равномерно ограничена на сегменте [а, 6].
Для доказательства этого утверждения заметим что по определению равностепснной непрерывности для е = 1 найдется б > О такое, что колебание любой функции ?'„(х) на любом сегменте длины, не превышающей б, пе превосходит числа, е = 1. Так как весь сегмент [оэ Ь] можно покрыть конечным числом по сегментов длины, не превышающей б, то колебание любой функции 1„(х) на всем сегменте [а, 6] не превосходит числа ио.
Но тогда из неравенства ] ?„(хо)] < А, выражающего ограниченность последовательности 11„(х)) в точке хо, вытекает неравенство ] ?в(х)] < А+ по, справедливое для любой точки х из сегмента [а,, 6] и выражающее равномерную ограниченность рассматриваемой последовательности на этом сегменте. Замечание 3. Установим достаточный признак равностепснной непрерывности: если последовательность ~~~(х)) состоит иэ дифференцируемыхна сегменгае [а, 6] функций и если последовательность производных (Д(х)) равномерно ог?хгпичена но, этом сегменте, то последовательность (1п(х)) равпостепеппо непрерывна па сегменте [а, 6], Для доказательства возьмем на сегменте [а, 6] две произвольные точки х' и хо и запишем для функции ?п(х) па сегменте [х', хо] формулу Лагранжа (см.
вып. 1, гл. 8, 3 9). Согласно теореме, Лагранжа на сегменте [х~, хо] найдется точка б„такая, .что [уп(хг) — ?„(х")] = ~'„'(~„) . ]х' — хо[. (1.38) Поскольку последовательность производных (Г„'(х)) равномерно ограничена на сегменте [а, 6], найдется постоянная А такая, СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 41 что для всех номеров и справедливо неравенство [1'„'(с„)[ < А. (1. 39) Вставляя (1.39) в (1.38), получим [~„(х') — ~п(хл)[ < А[х' — хп[. (1.40) Фиксируем любое в ) О. Тогда, если взять 6 = в/А и привлечь (1.40), то мы получим, что для всех номеров и и для всех х' и хп из [а, Ь], связанных условием [х' — хп[ < д, будет справедливо неравенство [1п(х ) — [п(х )[ < в.
Равностепенная непрерывность последовательности (ув(х)) доказана. с сбп пх з В качестве примера рассмотрим последовательность ( ). Эта пои следовательность равностепенно непрерывна на любом сегменте [а, Ь),ибо на любом сегменте [о, Ь) последовательность из производных (соя их) равномерно ограничена. 3 а меч ание 4. Понятие равностепенной непрерывности можно формулировать не только по отношению к сегменту [а, 6], но и по отношению к интервалу, полусегменту, полупрямой, бесконечной прямой и вообще по отноп|ению к любому плотному в себе множеству ~) . Кроме того, это понятие можно вводить не но отношению к последовательности функций, а по отношению к любому бесконечному множеству функций.
3 4. Степенные ряды 1. Степенной ряди область его сходимости. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ао+ ~ аьх =ао+аьх+аэх +...+а„х" +..., (1А1) я=1 где ао, ам аэ, ..., ап, ... постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами ряда (1.41). Постараемся выяснить, как устроена область сходимости любого степенного ряда. Заметим, что всякий сгпепенной рлд сходится, в пючке х = = О, причем существуют степенные ряды, сходящиеся только в этой точке (например, ряд ~, к[ х ).
Ь=! ы ) При этом теорема Арцела остается справедливой, если в ое формулировке заменить сегмент [а, Ь) любым ограниченным замкнутым множеством. 42 ФункциОнлльные ИОсле.цОВлтельнОсти и еяды Гл. 1 Составим с помощью коэффициентов а„ряда (1.41) следующую числовую последовательность: Могут представиться два случая: 1) последовательность (1.42) является неограниченной; 2)последовательность (1.42) является ограниченной.
В случае 2) у последовательности (1.42) существует конечный верхний предел (см. вып. 1, гл. 3, 2 4, п. 3), которьпй мы обозначим через ь. Подчеркнем, что указанный верхний предел ь заведомо неотрицателен (ибо все элементы последовательности (1.42) неотрицательны, а стало быть, и любая предельная точка этой последовательности неотрицательна). Подводя итог, мы приходим к выводу, что могут представиться следующие три случая: 1) последовательность (1.42) является неограниченной, П) последовательность (1.42) является ограниченной и имеет конечный верхний предел Е > 0;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
