Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Стлепенной ряд (1.41), коэффициенты которого определяютпсл формулой (1.46), назъсваепсся рядом Тейлора функции 1(х). Утверждение 2' приводит нас к следующему утверждению. 3'. Если функция 1(х) может быть разложена на интервале ( — Л, Л) в степенной ряд, то эпсосп ряд является рядом Тейлора функции 1(х). В заключение сформулируем следующее утверждение, непосредственно вытекающее из 8 14 гл. 8 вып. 1. 4'.
Для того чтобы функция Г(х) могла бьппь разложена в ряд Тейлора на интервале ( — Л, В) (на множестве (х)), необходимо и досттссстссочно, "тобы оспсаточньсй слеп в формуле Маклоресса для этой функции стремился к нулю на указассссом иппсврвиле (укизвнном множестве). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. В вью.
1 (см. и. 2 8 15 гл.8) доказано, что остаточные члены в формуле Маклорена для фу.нкций ек 7 сова и зшх стремятся к нулю на всей бесконечной прямой а остаточный член в формуле Маклорена для функции 1п(1+к~ стремится к нулю на полусегмепте — 1 < х < +1. В силу утверждения 4' из предыдущего пункта это приводит нас к следующим разложениям: ех=1+ ~с и=1 сов т = 1 + '~ (2п)! 72=1 зшх = ~~ (2п -Ь 1)! в=о 1п(1 + х) = 2 ( 72 Первые три из этих разложений сходятся для всех значений х, а поюседнее для значений х из полусегмента — 1 < х < 1.
Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функции (1+х)и или на так называемом биномиальном ряде. Если 1(х) = (1 + х)"7 то )'(и)(х) = о(о — 1)(сс — 2) ... (о — п + 1) (1 + х)~ ". Рлзложение Функ!)ий В степенные Ряды 49 Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Ко- ши имеет вид (см. вып. 1, гл. 8, 2 14) )и 1 ~ч~о(о — 1)(о — 2) ... (о — (с+ 1) (с) к=1 (1.47) где (1 — в)" „л1 („+П и! х"ч гг(о — 1) ...
(о — и)(1+ Ох) о(1+ Ох) х 1 — В 1"' (о — 1)(о — 2) ... (о — и) =( ) ( О) + в.) и! (1.48) + ~~~ о(о — 1)(о — 2) ... (о — 1+ 1)х~ (1 49) к) к=1 Докажем теперь, что при о > 0 ряд, стояизий в правой части (1.49), равномерно сходится к функции (1 -г х) на замкнутом сегменте — 1 < х < 1. О ) Все элементы этой последовательности по модулю ограничены числом [ ), где [о) †цел часть о. [о) ) (О некоторос число из интервала 0 < О < 1).
Сначала убедимся в том, что при ст > 0 всюду на интервале — 1 < х < 1 остаточный член Л (1(х) стремится к нулю (при и э со). ~/1 — В 1и В самом деле, все члены последовательности [ ) ) 1-ЬВх всюду на указанном интервале не превосходят единицы; после((о — 1)(о — 2) ... (о — и) 1 довательность 4 ' ' ) при любом фиксирован- и! ном ег > 0 ограничена ); число сг(1+Ох) определено при любом фиксированном гт > 0 и при любоги х из интервала — 1 < х < +1; наконец, последовательность 1хп+ 1 является бесконечно малой для любого х из интервача — 1 <:г < 1.
Таким образом, в силу (1.48) остаточный член Ли ь((х) стремится к нулю для любого фиксированного о > 0 и любого х из интервала — 1 < х < 1. Стало быть, в силу (1.47), ири сг > 0 всюду нп интервале — 1 < х < 1 справедливо разложение 50 ФУнкциОИАльные пОслеДОВАтельнОсти и !ъяды Гл. ! Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется следующим гислоаым рядом: !о! (1 — о) ., !к — 1 — о) (1.50) ъ=1 В силу признака Вейерштрасса для установления ранномерпой на сегъгенте — 1 < х < 1 сходимости ряда, стоящего и правой части (1.49), достаточно доказать сходимость мажорнрующего ряда (1.50). Обозначим ъ-й член ряда (1.50) символом ръ.
Тогда для всех достаточно больших й получим (1.53) ръег к — о 1 4-о (1.в1) ръ к 4-1 5-Ь1 Из формулы (1.51) нытокает, что !пп й(1 — ~ 1=(1-!-о) !пп =1ьо>1, — ръ ъ-э т. е. ряд (1.50) сходится н силу признака Раабе (см. нып, 1, гл. 13, Ц2,п.б). Тем самым доказано, что при о > 0 ряд, стоящий и правой части (1.49), сходится равномерно на сегменте -1 < х < 1. Остается доказать,что указанный ряд сходится на сегменте — 1 ( х ( 1 к функции (1 -Ь х)'*.
В силу доказанного выше сумма указанного ряда 5'(х) и функция (1 -!- +х)а совпадают всюду на интервале — 1 < х ( 1. Кроъге того, обе функции Ях) и (1-!-х) ненрерываы на сегменте — 1 ( х ( 1 (функцня Я(х) как сумма равггоъгврно сходящегеся ряда иэ пепрерынных функций; нопрерынность функции (1 + х) при о > 0 очевидна). Но тогда значения функций о(х) и (1 -Ь х) н точках х = — 1 и х = 1 обязаны совпадать, т. е, ряд, стошпий и правой части (1,49), равномерно сходится к (1 + х) на замкнутом сегменте — 1 < х' ( 1. 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной. Выше уже отмечалось, что на случай степенного ряда относительно коъшлексной переменной х по+ о!к+ 02Х +...
+ Цнз" +... переносятся теоремы 1 и 1.14 (о существовании и величине радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для определения функций комплексной переменной х. Функции е', сов х и ыйпх комплексной переменной х определяются как суммы следующих рядов: е'=1+ ~г (1.52) н=1 соня=1+ Г( — (2п)! ~=1 в!пх = 2 (1. 54) (2н+ 1)! н=-0 5 5 рлзложкник юункций в сткпкннык ряды 51 Легко проверить, что указанные три ряда абсолютно сходятся для всех значений х (их радиус сходимости ть' = со). Установим теперь связь между функциями е', сов я и гйпх.
Заменяя и формуле (1.52) х на гх, получим (1х) (1х)в (!х)" (ва)в 2! 3! 4! 5! Сопоставляя правую часть равенства (1.55) с разложениями (1.53) и (1.54), придем к следующей замечательной формуле: е' = сова+ гаги (1. 56) Формула (1.56) играет фундаментальную роль в теории функций комплексной переменной и называется ф о р м у л о й Э йл е р а. Полагая в формуле Эйлера переменную х равной сначала вещественному числу х, а затем вещественному числу — х, получим следующие две формулы: е'х = сов х + г в)их, е " = сов х — г в)их. Складывая и вычитая эти две формулы, мы получим формулы, выражающие соя х и в)их через показательную функцию: е" -1- с сов х 2 е" — е ** я)пх = 21 (1.
57) где в = О,х1,х2,... Из последних равенств находим,что и = 1и ф = 1п ь(хе + уз, в=асях-Ь2яй (в.=о,х1,х2, ...) В заключение остановимся на определении логарифмической функции м =!из комплексной перелгепной х. Эту функцию естественно определить как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения х = е"' . По- лагая и~ = и -Ь ив х = х + 1у, поставим перед собой цель — выразить и и е через х = х -!- !у. Из соотношения х = х+ !у = е в о = е" (сово -!-1сйпо) получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа (см. формулу (7.6) из вып. 1), ф = ьухе+ уе = е", агя - = о — 2як, 52 ФУнк11ионлльные НОслеДОВАтельности и ряды Гл. 1 или окончательно 1пг =!п]х]+ь(ахба+ 2хЬь), где Ь = О,х1,*2, ...
(158) Формула (1.58) показывает, что логарифмическая функция в комплексной области ие леллетсл однозначной: ее мнимая часть для одного и того же значения х имеет бесчиьщенное множество значений, отвечающих различным Ь = О, х1,*2, ... Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место и при определении в комплексной области обратных тригонометрических функций.
4. Равномерное приближение непрерывной функции миогочленами (теорема Вейерштрасса). В этом пункте мы докажем фундаментальную теорему., принадлежащую Вейерштрассу и установленную им в 1895 г. Теорема 1.18 (тпеорема Вейерштрасса). Бели функция 1" (х) непрерывна ни сегменпье [а, Ь] то суьцествует послгдовапюльность многочленвв 1Р„(х)), равномерно на сегменте [а, Ь] сходящаяся, к ь" (х), гл. е. для любого г ) 0 найдется многочлгн Р„(х) с Номером и, зависящим от г такой, .что ]Р„(х) — 1(х)] < г сразу для всех х из сегмента [а, Ь]. Иными словами, непрерывную на сегменте [а, Ь] функцию )'(х) можно равномерно на эгпом сегменте прпблизиьпь много- членом с наперед виданной то ьностпью г. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, Ь] рассматривать сегмент [О, 1] ) . Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции 1'(х), обращающейся в нуль на концах сегмента [О, 1], т, е, удовлетворяющей ушговиям 1(0) = 0 и Г'(1) = О. В самом деле, если бы Г'(х) не удовлетворяла этим условиям, то, положив д(х) = Г'(х) — Г'(0) — х[1(1) — 1(0)], мы получили бы непрерывную на сегменте [О, 1] функцию д(х), удовлетворяющую условиям 8(0) = 0 и х(1) = О, и из возможности представления 8(х) в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, ьто и 1" (х) представима в виде предела равномерно сходящейся пошьедовательности многочлепов (ибо разность Г(х) — 8(х) является многочленом первой степени).
Итак, пусть функция 1'(х) непрерывна на сегменте [О, 1] и удовлетворяет условиям 1"(0) = О, ь"(1) = О. Такую функцию ') Поскольку один из этих сегльентов преобразуется в другой линейной заъьеной х = (Ь вЂ” и)Ь+ и. 15 рлзложкник функций в сткнкннык ряды 53 )'(х) мы можем продслжить на всю бесконечную прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента [О, Ц, и утверждать, что так продолженная функция ллллсппся равномерно непрерывной лса всей бесконечной прямой.
Рассмотрим следующую конкретную пощледовательность неотрицательных многочленов степени 2пл Я (х) = сп(1 — х )п (и = 1, 2, ...), (1.59) у каждого из которых постоянная сп выбрана так, что выпол- няется равенство 1 / Яп(х) йх = 1 (и = 1, 2, ...). (1.60) — 1 Не вычисляя точного значения постоянной сп, оценим ее сверху. Для этого заметим, что для любого номера п = 1, 2, ... и для всех х из сегмента [О, 11 справедливо неравенство 1Л 2)п>1 2 (1.61) Прикленяя неравенство (1.61) лл учллтывая, что 1/л/в < 1 при любом и > 1, будем иметь ['(1 з)п л 2 [(1 , а)п л, > 2 ).
(1 е)п,1 > -1 о о 1/Оп > 2 [ (1 — пх~) йх = — — > —. (1.62) 3 п тгп Из (1.59), (1.60) и (1.62) заключаем, что для всех номеров и = 1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоянной ст~: сп <,/и. (1.63) 1Лз (1.63) и (1.59) вытекает, что при любом б > 0 для всех х из сегмента Б < х < 1 справедливо неравенство 0 < дп(х) <,/п(1 — й')и. (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
