Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 11
Текст из файла (страница 11)
64) ) Это неравенство вытекает из того, что при любом и > 1 функция Ла(х) = = (1 — хе)" — (1 — пх~) пеотрииательна всюду ца сеаменте О < х < 1. ибо эта функция обращается в нуль при х = О и имеет всюду на указанном сегменте неотрицательную производную:р'(х) = 2пх(1 — (1 — х )" 54 ФУнкционлльные ИОслеДОВАтельнОсти и ЕЯДы гл. 1 Рв(х) = ) ('(х + 1Я„(1) М. Заменяя в последнем интеграле переменную 1 на 1 — х, мы придадим ему вид Р„,(х) = ) )' (с)Яв(1 — х) г11. 0 (1.66) Из (1.66) и (1.59) ясно, что функция Р„(х) представляет собой многочлен степени 2п.
Остается доказать,что последовательность (Р„(х)) сходится к г'(х) равномерно на сегменте 0 < х < 1. Фиксируем произвольное е > О. Для фиксированного е, в силу равномерной непрерывности у(х) на всей бесконечной прямой, найдется б > 0 такое, что ~Дх) — у'(у)~ < — при ~х — у~ < б. (1.67) 2 Заметим еще, что так как у (х) непрерывна на сегменте (О, Ц, то опа и ограничена па атом сегменте, а стало быть, и всюду на бесконечной прямой. Это озна.1аст, что существует постоянная А такая, что для всех х ~)'(х)~ < А.
(1.68) ) В самом деле, достаточно доказать, что последовательность о„ = (1 — о )",~п сходится к нулю, а это вытекает, например, из того, что поскольку 1пп Его = (1 — бв) 1пп пп1вм = (1 — бе) ( 1, ч ряд 2 о„сходится по признаку Коши (см. теорему 13.б из вып. И. =-1 Из (1.64) следует, что при любом фиксированном б > 0 последовательность неотрицательных многочленов Яв(х)1 сходится к нулю равномерно на сегменпее б < х < 1 ) . Положим теперь для любого х из сегмента 0 < х < 1 Р„(х) = ( Х(х+ Щ„(4)М (1.65) — 1 и убедимся в том, что для любого и = 1, 2, ...
функция Р„(х) есть многочлен степени 2и, причем (Р„(х)1 и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте 0 < х < 1 к функции у (х) Так как изучаемая функция у (х) равна нулю за пределами сегмента (О, Ц, то для любого х из сегмента (О, Ц интеграл (1.65) можно записать в виде РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 55 Используя (1.60), (1.64), (1.67) и (1.68) и учитывая неотрицательность !ьг(х), оЦеним Разность Рл(х) — 7(х).
Для всех х из сегмента О < х < 1 будем иметь 1 [Р„(х) — ) (х) [ = з [г (х + 1) — г (х)) б6„(6) ат < — 1 1 — 6 < ) [7(х+ 6) — )'(х)[Я„(6) д6 < 2А ) б,)в(2) д6+ — 1 — 1 6 1 + — / 6,)а(6) д2 + 2А / сба(6) сй < 4А;/п(1 — б )" + —. 2,/ д 2 — 6 6 Для завершения доказательства теоремы заметим, что для всех достаточно больших номеров и справедливо неравенство 4А,(п1(1 — 62)а < г. 2 Следствие.
Если не только симо, функция 6"(х), но и ее производные до некоторого порядка а включительно непрерывнъг на сегментпе [О, Ц ), то сусцествуетп последовательность много гленов 1Ра(х)) пгакая, что каоюдая из ггоследовагпельностей )Рн(гс)), (Рг,(х)), ..., )Р„О(х)) сходится равномерно на сегменте [О, Ц соотвепшпшенно к 6 (гс), 6 ~(х), ...., гз~)(х). В самом деле, не ограни !иная обгцности, мы можем считать, что каждая из функций у(х), у'(х), ..., у!кг(х) обращается в нуль при х = О и при х = 1 2), а при таких условиях функцию г" (х) можно продолжить па всю бесконечную прямую, полагая ее равной нулго вне [О, 1], так что продолженная функция и все ее производные до порядка К включительно окажутся равномерно непрерывными на всей бесконечной прямой. Но тогда, обозначая через Р„(х) тот же многочлен (1.65), что и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1.18, мы докажем, что каждая из разностей Р„(х) — )(х), Р„'(х) — 7"'(х), ..., Р~ )(х) — Х! г(х) является бесконечно малой, равномерной относительно х на сегменте О < х < 1.
3 а меч ание 1. Изложенное нами доказательство легко обобщается на случай функции гп переменных г" (хг, х2, ..., х ), непрерывной в т-мерном кубе О < х; < 1 (1 = 1, 2, ..., т). ) Конечно, вместо (О, 1] можно взять (о, 6). ) Если бы 6(х) не удовлетворяла этим условиям, то мы нашли бы многочлен Ръ(х) степени 2У такой, что для функции у(х) = 6(х) — Рь(х) эти условия были бы выполнены.
бб ФуН!(11ИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И 1зядЫ ГЛ. 1 В полной аналогии с теоремой 1.18 доказывается, что для такОй фУнкЦии д 1Х1, Х2, ...., Х ) СУЩЕСтвУЕт РавнОмЕРнО СХОДЯ- щаяся к ней в т-мерном кубе последовательность многочлснов от гп переменных х1, х,, х Замечание 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 1.18 много- члены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного приближения такими функциями любой непрерывной функции 1'. Договоримся называть произвольную совокупность А функций, определенных на некотором множестве Е, алгеброй, если ') Ц 1 + я Е А, 2) У .
я е А, 3) о - 1 е А при произвольных 1 е А и я е А и при любом вещественном о. Иныгаи словами, алгебра есть совокупность функций, замкнутая относительно сложения и умножения функций и умножения функций на вещественные числа. Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая функция я Е А такая, что фх) ф. О, то говорят, что алгебра А не исчезает ни в одной точке х множества Е. Говорят, что совокупность А функций, определенных на множество Е, разделяет точки множества Е, сслидля любых двух различных точек хз и хг этого множества найдется функция З" из А такая, что З"1хз) ф г- з (хг) ° Имеет место следующее замечателыюе утверждение, называемое т е оремой Вейерштрасса — Стоуна г). Нусть А алеебра нетгрерывных на компактпном з) множестпве Е функций,. когпорая разде яет точки множества Е и не исчезоегп ни в одной точке этого множества. Тогда каждая непрерывная на множестве Е функция 1'1х) махает быть представлена в киде предела равномерно сходящейся последовательности функций лгебры А.
') Напомним, что символ у Е А означает принадлежность 1 к А. г) М. Стоун — американский математик. з) Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное множество. ГЛАВА 2 ДВОЙНЫЕ И и-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В выпуске 1 были рассмотрены физические и геометрические задачи, приводящие к понятию однократного определенного интеграла. Типичными задачами такого рода являются задача о вычислении массы неоднородного стержня по известной линейной плотности этого стержня и задача о вычислении площади криволинейной трапеции (т. е. площади, лежащей под графиком неотрицательной функции д = ((х) на сегменте [а, 6)). Легко указать аналогичные «многомерные» задачи, приводящие к понятию двойного или тройного интеграла.
Так, задача о вычислении массы неоднородного тела Т по известной объемной плотности р(М) этого тела естественным образом приводит нас к понятию тройного интеграла. Д.ля вычисления массы у.казанного тела Т разобьем его на достаточно малые участки Ты Тт, ..., Т„. Приближенно можно считать объемную плотность р(М) каждого участка Ть постоянной и равной р(Мь), где Мь некоторая точка участка Ть. В таком случае масса каждого участка Ть будет приближенно равна р(Мь) пь, где пь объем участка Ть.
Приближенное значение массы всего тела Т будет равно сумме ~ р(Мь) . пы в=1 Точное значение массы естественно определить как предел указанной суммы при неограниченном уменьшении ) каждого участка Ть. Этот предел и может быть взят за определение тройного интеграла от функции р(М») по трехмерной области Т. Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометрическая задача о вычислении объема так называемого криводон- ш ) Конечно, следует уточнить термин «неограниченное уменьшением ДВОЙНЫЕ И о-КРЛТНЫР ИНТЕГРАЛЫ 58 ГЛ.
2 ного цилиндра (т. е, объема изображенного на рис. 2.1 тела, лежащего под графиком неотрицательной функции г = 1(х, у) г в некоторой двумерной области Х~). Эта задаг= ~(х,у1 ча п11иводит к пОнятию двс)йногО интеграла от функции 2" (х, у) по двумерной области Р. В настоящей главе излагается теория двойных, тройных и вообще и-кратных интегралов. у Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом мы сначала введем понятие двойного интеграла для х пРЯмоУгольника, а лишь:затем ввеДем Двойной интеграл по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью совершенно произвольного разбиения этой области. 8 1. Определение и существование двойного интеграла 1.
Определение двойного интеграла для прямоугольника. Пусть произвольная функция 2 (х,у) определена всюду на пряхлоугольнике Л = [а < х < о] х [с < у < д] (рис. 2.2). Разобьем сегмент а < х, < б на и частичных сегментов при помощи точек а = хо < х1 < х2 « ... х„= 6, а сегмент с < у < д на р частичных сегментов при помощи точек с = уо < < У1 < У2 « Ур Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ох и Оу (рис. 2.2), соответствует разбиение прямоугольника Л на и р частичных прямоугольников Вы = [хь — < х < хь] х [У1 — < у < у1] (1 = 1, 2,..., и; 1 = 1, 2, ..., р).
Указанное разбиение прямоугольника гс У1 обозначим символом Т. У1-1 Всюду в дальнейшем в этой главе У1 под термином «прямоугольник» мы будем понимать прямоугольник со сторо- а х1хг нами, параллельными координатным Х1,1 Х„1 осям. Рис. 2.2 На каждом частичном прямоугольнике Дн выберем произвольную точку (~ы Н1). Положив Ьхь = = хь — хь 1, ЬУ1 = у1 — у1 1, обозначим через ЬИЫ площадь прямоугольника В11. Очевидно, схЩ~ = ЬхьЬ1уп Определение 1. Число в р с'= ~,~1(РЫ у1).~х11н (2.1) Ь=1 1=-1 называется интегральной суммой функции 1(х, у), О!1РЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВаНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 59 соопсветствуюсцей данному разбиению Т прямоугольника Л и данному выбору промежуточных то"сек (~ы ус) на частичных прямоугольниках разбиения Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
