Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(2.11) В В В частности, если функция 1(х, у) непрерывна в Р, а область Р с в я з н а, то в этой области найдется ') такая точка (С, гг), что гг = 1(С, гг)г и формула (2.11) принимает вид О ('(х, у)я(х, у) дх ду = ~(б, у) О я(х, у) дх ду. В В 7'. Важное геометрическое свойство. и 1. ггхду В равен площади области Р.
(Это свойство, как уже отмечалось выше, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в и. 3 ~ 1.) е 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному Т( ) = 1 П ' у) у. с Тогда существует, повторный инлпеграл (2.12) ь ь гг ) 1(х) йх = / дх | 1'(хг у) г1у а с ) В силу теоремы 14.5 нз вып. 1. Излагаемое в этом параграфе сведение двойного интеграла к повторному однократному является одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла. 1.
Случай прямоугольника. Теорема в.й. Пусть для функции 1(хг у) в прямоугольнике Л = (а < х < й) х (с < у < г1) существует двойной интеграл О 1(х, у) дх ду. и Пусть далее для каждого х иг сегмента а < х < 6 существует однократный интеграл 70 ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫР ИНТЕГРАЛЫ и справедливо равенство Ц1»,х, у) дх ду = ) дх ) 1'(х, д) с1у. (2.13) н а а Доказательство.
Как и в ~ 1» разобьем ник Л с помощью точек а = хв < х1 < хг < ... с = ую < у» < уз « ... у„= д на и. р частичных ников прямоугольха прямоутоль- Лц=~хь»<х<хь)х~у~ »<у<у,) (1=1,2,...,и;1=1»2, р), Положим Ьхь = хь — хь н Ьд» = у» — у»» и обозначим через Мц и тц точные грани функции 1(х, д) на частичном прямоугольнике 1»ц. Тогда всюду на этом прямоугольнике тц <Дх, у) <Мц. Положим в этом неравенстве х = ~ь, где (ь произвольная точка сегмента ~хь н хь), и после этого проинтегрируем (2.14) по д в пределах от у»» до уь Получим У» тц.
Ьу» < ) )'Я, у) е1у < Мц Ьуь (2.15) ໠— 1 Суммируя (2.15) по всем 1 от 1 до р и используя обозначение (2.12)» будем иметь ~~» тц Ьу~ < 1((ь) < ~» Мц Ьуь (2.16) Далее умножим (2.16) на Ьхь и просуммируем по всем к от 1 до и. Получим п р ~~» ~~» тцйхьйу» < ~1(~ь) . Ьхь < »»»» Мц. а»хь. Ьуь ь=ш=1 ь=1 в=1 1.=1 (2.17) Пусть наибольший диаметр,Ь частичных прямоугольников стремится к нулю. Тогда и наибольшая из длин Ьхь стремится к нулю. Обрамляющие члены в (2.17), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы, стремятся при этом к двойному интегралу О1(х, у) ахду.
и Стало быть, существует предел и среднего члена в (2.17), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по 1 3 сВеДение ДВОЙНОГО интеГРАла к ИОВтОРнОму 71 определению однократного интеграла равен 1 1(х) д = 1 д 1 ~(х, у) ду а с Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство (2.13). Теорема доказана. Замечание.
В теореме 2.6 можно поменять х и у ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и существование для любого у из сегмента с < у < д однократного интеграла Л (у) = ( 1(х, у) дх. Тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла в ь / К(у) ду = ) ду ( 7'(х, .у) дх с а и равенство а Ь Ц Х(х, у) дх ду = / ду ) ('(х, у) дх. (2.18) 2. Случай произвольной области. Теорема х.7.
Пусть выполнены следующие условия: 1) область .0 ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу эгпой обласпги не более чем в двух точках, ординаты которых суть у1(х) и уг(х), где у1(х) < уг(х) (рис. 2.4); 2) функция 1(х., у) допускает существование двойного интеграла 01(х, у) ахду В Рис. 24 и существование для любого х од1юкратного интеграла г2(Х1 ((х, у) ах ау. юФ При этих условиях существует повторный интеграл гг Рг(г) ( дх ( 7" (х, у)дхду Ыг1 72 ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫР ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 (х2 и хч наименьшая и наибольшая абсциссы точек области Р) и справедливо равенство Х2 У2(Х2 07"(х2 д) с1хс1д = ) дх ) 7'(х, д)дд. (2.19) С2 УПХ2 Доказательство. Обозначим через 77 прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область Р, а через г'(х, д) функцию, совпадающую с 7"(х, д) в точках области Р и равную нулю в остальных точках 77.
Для функции г'(х2 д) в прямоугольнике Л выполнены все условия теоремы 2.7, и, стало быть, справедлива формула (2.13), которая (с учетом того., что г'(х2 д) равна нулю вне Р и совпадает с 7'(х, д) в Р) переходит в формулу (2.19). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. В теореме 2.7 можно поменять ролями х и д, т. с. можно предположитсь что выполнены следующие два условия: 1) область Р такова, что любая прямая, параллельная Рис. 2.5 оси Ох, пересекает границу этой обла- сти не более чем в двух точках, абсциссы которых суть х2(д) и х2(д), где х2(д) ( ха(д) (рис. 2.5); 2) функция Г'(х, д) допускает существование по области Р двойного интеграла и существование для любого д однократного интеграла хУЬ2 7(х, д) дх. ' Ь2 При выполнений этих двух условий существует повторный интеграл У2 х2сУ2 дд ) 7(х, д) дх 2Ь2 (дс и д22-- наименьшая и наибольшая ординаты точек области Р) и справедливо равенство У2 ХУСУ2 07'(х, д)с1хйд = ) дд ) ('(х, д)дх. (2.19') 1) У2 Х2(У) Пример.
Пусть область Р— круг х~+ д~ ( 72~ (рис. 2.6), а 7"(х, д) = х~(22с~ — д~)з2~. Любая прямая, параллельная оси тгойнык и -кглтнык инткггллы Ох, пересекает границу Р не более чем в двух точках, абсциссы р гь = — ~М вЂ” у = 7М вЂ” у (гпр .2Е. Поэтому применяя формулу (2.19'), получим Я2 Чг 011х, у)дхс1у = ) ду ) х (Л вЂ” д )612 о1т = п — Я ЯГ„2 (дг 2) 3/2 ,1„2 / ~772 г)з,1„64 Л7 24 105 — „(Н2 — уг 3 а м е ч а и и е 2. В случае, если область Р пе удовлетворяет требованиям теоремы 2.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей Рис. 2.6 Рис. 2.7 й 4.
Тройные и и-кратные интегралы Изложенная нами теория двойного интеграла без каких-либо осложнений и новых идей переносится па случай т р о й н о г о и вообще и-к р а т н о г о интеграла. Остановимся на основных моментах теории и-кратного интеграла. Прежде всего договоримся считать, что объем и-мерного прямоугольного параллелепипеда по определению равен произведению длин всех его ребер, выходящих из одной вершины. такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл по области Р, в силу свойства аддитивности (см. свойство 1' из 2 2), равен сумме интегралов по соответствующим областям. Так, область Р, изображенную на рис.
2.7, удается разбить на сумму трех областей Р1, Рг и Рэ, к каждой из которых применима или теорема 2.7 или замечание 1. ДВОЙНЫЕ И п-КРЛтНЫР ИНТЕГРАЛЫ 74 ГЛ. 2 Далее договоримся называть элементарным телом множество точек и-мерного пространства,. представляющее собой сумму конечного числа и-мерных прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек и имеющих ребра, параллельные осям координат. Объем любого элементарного тела нам известен и равен сумме обьемов составляющих его параллелепипедов.
Пусть теперь Р -- произвольная ограниченная область в и-мерном евклидовом пространстве. Назовем н и ж н и м о б ъе и о м области Р точную верхгпою грань у' объемов всех содержащихся в Р элементарных тел, а верхним объемом области Р— точную нижнюю грань Г объемов всех элементарных тел,. содержащих область Р. Легко убедиться в том, что г' < Г 1) . Область Р называется куб ирус мой, если у' = Г.
При этом число у' = гг = Г называется и-мерны и об ьемом области Р. В полной аналогии со случаем плоской области доказывается следующее утверждение. Для того чтобы и-мерная область Р бьию кубпруемой необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного чиг; ла е нгиались доа, элементарных тело,, одно из которых содерзюит Р, а другое содержится в Р, разность обьемоо которых по модулю меньше числа е. Поверхностью (или многообразием) п,-мерного объема нуль договоримся называть замкнутое множество, все точки которого принадлежат элементарному телу как угодно ма юго и-мерного объема. Очевидно, что и-мерная область Р кубвруема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многообразие и;мерного объема нуль.
Сначала и-кратный интеграл от функции и переменных ((ХН Хг, ..., Хп) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ В И-МЕРНОМ ПРЯМОУГОЛЬНОМ Параллелепипеде Л, ребра которого параллельны осям координат. С этой целью мы производим рггзбиение каждого из п ребер параллелепипеда 1т' па конечное число частичных сегментов и таким путем получаем разбиение Т параллелепипеда Л на конечное число частичных и-мерных параллелепипедов 2) . Дпя указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем п = 2 определяются интегральная, верхняя и нижняя суммы любой ограниченной функции 7'(х1, хг, ..., х„).
) Неравенство 1' < 1г доказывается точно так же, как неравенство Р < Р в и. 1 г 2 гл. 11 вьт. 1. г) Можно сказать, что разбиение Т осуществляется с помощью конечного числа (и — Ц-мерных гнперплоскостей, параллельных коорднпатным осям. ТРОЙНЫЕ И в-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и-кратный интеграл от функции ~(хн хг, ..., х„) но параллелепипеду Л определяется как предел интегральных сумм при стремлении к нулю длины наиболыпей из диагоналей частичных и-мерных параллелепипедов. Как и для случая и = 2, теория Дарбу устанавливает необходимое и достаточное условие интегрируемости в следующей форме; для интегрируемости функции Т" в параллелепипеде тт необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось разбиение Т параллелепипеда Л, для которого разность верхней и нижней сумм была меньше е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
