Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ъ ' )(~*.)'~(ьсг'ссй прямоугольника Лес. Символом сэ, обозначим наиболыпий из диаметров всех частичных прямоугольников Льс. Определение х. Число 1 называется пределом инт е г р а л ь )с ы х сумм 12.1) при сэ — с О, если для любого положипсельного числа е можно указать такое положительное число б, что при, сь ( б независимо от выбора точек, (сы с1() на частичных прямоугольниках Л вьтолпяется нераоепство (о — 1! < е. Определение Я. функция 1" 1х, у) называется и и т е г— р и р у е м о й (и о Р и м а н у) на прямоугольнике Л, если существует ковечньиЪ предел 1 интегральньсх сумм этой функции при сл — с О.
Указанный предел 1 назьсвается двойньсм интегра.л о м от функции, ф1х, у) по прямоугольнику Л и обозначаеп)ся одним из следуюи1их символов: 1=0~ах, у)д ду=0~~М)д Замечание. Точно так же, как и для однократного определенного интеграла 1см. вып, 1, гл. 10, ~ 1), устанавливается, что любая инпсегрируемая на прямоугольнике Л функция 1(х, у) является ограниченной на этом прямоугольнике. Это дает иам основание рассматривать в дальнейшем лишь ограниченные функции 11х, у). 2. Существование двойного интеграла для прямоугольника. Теория Дарбу, развитая в гл.
10 вып. 1 для однократного определенного интеграла, полностью переносится на случай двойного интеграла в прямоугольнике Л. Ввиду полной аналогии мы ограничимся у.казанием общей схемы рассу.ждепий. Пусть Мьс и тес точная верхняя и точная нижняя грани функции ) 1х, у) на частичном прямоугольнике Лес . Составим для данного разбиения Т прямоугольника Л две су.ммы: верхнюю и нижнюю з = гу ') псьс слЛьс. /с=с с=с ДВОЙНЫЕ И п-КРЛТНЫР ИНТЕГРАЛЫ Оо Гл.
г Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2 ~ 2 гл. 10 вып. 1). 1 . Для любого фиксированного разбиения Т и любого е ) О промежугпочные точки ф„щ) на огетмчных прямоуголъникогс Лы можно выбразпь так, что игтгегральпая сумма и будет, удовлетворять неравенствам О < Я вЂ” о < е.
Точки ((ы гу) можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет, удовлегпворять неравенствам О < < и — з < е. 2'. Если разбиение Т' прямоугольника, Л получено путем добавления новых прямых к прямым, производящим разбиение Т, то верхняя сумма У разбиения Т' не больше верхней суммы Я разбиения Т, и нижняя сумма з' разбиения Т' не меньше нижней суммы з разбиения Т, т, е.
з(з', Я'(Я. 3'. Пусть Т' и Та любые два разбиения прямоугольника Л. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит, верхпзою сумму другого. Именно, если, з', У и,з", У' .- соотоетствеьто ниэкние и верхние суммы разбитсий Т' и Т"., епо 4'. Множество 1о) верхних сумм данной функции 1'(х, у) для, всевозможных разбиений прямоугольника Л ограничено сшыу. Мнооюлство 1з) нижних сумм ограничено сверху. Таким образом, существуют числа Т = 1п11Я), 1 = зпр1.з), называемые соответственно в е р х н и м и н и ж н и м и нтп е г р а л а м и Да р б у (огп функции ~(х, у) по прямоугольнику Л). Легко убедиться,, что 1 < Х. 5'.
Пусть разбиение Т' прямоугольника Л получено из разбиения Т добавлением к последнему р новых прямых,, и пусть з', Я и ьч Я вЂ” соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей Я вЂ” У и з' — з может бить получена оценка, зависящая от максимального диаметра Ь частичного прямоугольника разбиения Т, числа р добавленных прямых, точных граней М и т функции ~1х, у) на прямоугольнике Л и от диаметра а прямоугольника Л.
Именно о' — Я <(М вЂ” т) р Ь а, з' — з < 1М вЂ” т) . р. Ь д. з г Определение и сущестВОВлние ДВОЙНОГО интегрллл 61 6'. Верхний и нижний интегралы Дарбу 1 и 1 от функции ~(х, у) по прямоугольнику Л являются, соответственно пределами верхних и нижних сумм при Ь вЂ” + 0 ) . Из свойств 1' — 6' вытекает следующая основная теорема. Теорема 2.1. Длл того чпеобы ограниченная на прямоугольнике Л функция ~(х, у) была интегрируема на эгпом прямоугольнике, необходимо и достаточно, чтпобы для любого е > 0 налилось такое разбиение Т прямоугольника Л, для котпорого Б — з < е. Как и в гл. 10 вьш, 1, теорема 2.1 в соединении с теоремой о равномерной непрерывности функции позволяет выделить важнейшие классы интегрируемых функций.
Теорема 2.2. Любах непрерывная в прямоугольнике Л функция ~(х, у) интегрируема на этом п1зямоуггольнике. Определение 1. Казовем элементарной фигурой множесгаво точек, представляющих собой сумму конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельнымп осям Ох и Оу) ~). Определение 2. Будем говорипеь, что функция ~(х, у) обладает в прямоугольнике Л (в произвольной замкнутой области Р) 1-се ой сто ам, если: 1) ~(х, у) ограничена в прямоугольнике Л (в области Р); 2) для любого е > 0 найдется элементарная фигура, содержащая все точки а линии разрыва функции 1(х, у) и имеющая площадь., меньихую е. Теорема 2.3. Если фунлсция ~(х, у) обладает в прямоугольнике Л 1-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике. Доказательство теорем 2.2 и 2.3 полностью аналогично доказательству теорем 10.3 и 10.4 из вып.
1. 3. Определение и существование двойного интеграла для произвольной области. В п. 1 О 2 гл. 11 вып. 1 были введены понятия квадриру смести и площади плоской фигуры б,). Эти понятия без каких-либо изменений переносятся на случа.й произвольного ограниченного множества чг точек плоскости. ) Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной аналогии с понятием предела интегральных сумм. Именно, число 7 называется пределом верхних сумм о при ег -э О, еежи для любого е > О можно указать б > О такое, что ~5 — 1~ < е при ех < б.
) Заметим что сумма конечного числа совершенно произвольных прямоугольников ~со сторонами, параллельными осям Ох и Оу) представима в виде суммы также конечного числа не имеющих общих внутренних точек пряьюугольников (со сторонами, параллельными указаш1ым осям).
Поэтому в определении 1 можно брать прямоугольники, как имеющие общие внутренние точки, так и не имею|вне их. ДВОЙНЫЕ И и-КРЛТНЫР ИНТЕГР<1ЛЫ Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо фигуры ьЭ можно брать произвольное ограниченное множество ь,с В том же пункте было дано определение кривой (или границы фигуры) площади ну пыл Г называется кривой площади нуль, если для любого е ) 0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую е. Отметим, что в этом определении термин «многоугольник» можно заменить термином «элементарная фигура».
Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа е, содержится в элементарной фигуре, имеющей площадь, меньшую числа 8е 1) . Легко доказать следующее утверждение . Если Г имеет площадь нуль и если плоскостна покрыта квадратной сегпкой с <пазом Ь, псо длл любоео е ) 0 найде<а<<я )1 ) 0 такое, что сумма площадей всех имеющих общие точки с Г квадратов меньше е. В самом деле, для любого е ) 0 можно фиксировать некоторую элементарную фигуру Я, содержащую внутри себя Г и имеющую площадь, меньшую е/4.
После этого остается заметить, что при достаточно малом шаге квадратной сетки й все квадраты., имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигуре, получающейся заменой каждого прямоугольника б„) вдвое большим прямоугольником с тем же центром. Подчеркнем, что класс кривых площади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая (см<. теорему 11.3 вып.
1). Перейдем теперь к определению двойного интеграла для произвольной двумерной области Р. Пусть Р замкнутая ограниченная область, граница Г которой имеет площадь нуль, а Г(х, у) произвольная функция, определенная и ограниченная в области Р. Обозначим через Л любой прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям)< содержащий область Р (рис.
2.3). ) В самом 2<ег<е: Ц многоугольник равен конечной сумме треугщ<ьников; 2) каждь<й треугольник равен сумме <или резни:ти) двух прямоугольных треугольников: 3) прямоугольный треугольник содержится в прямоугольнике, вдвое большем по площади; 4) любой прямоугольник равен сумме конечного чи<ща квадратов и одного прямоугольника, <>тношение сторон которо~о заключено мегкду 1 и 2: 5) любой квадрат содержится во вдвое большем по площади квщ<рате со сторонами, парю<лельными осям Ох и Оу; 6) любой прямоугольник с отношением сторон, заключенным между 1 и 2, к<ожет быть дополнен до квадрата и потому содержится во вчетверо большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу.
1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУ|11ЕСТВОВЛНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 63 Определим в прямоугольнике А следующую функцию: ( ((х, у) в точках области Р, р(х у)=~ (2. 2) О в остальных точках П. Определение. Фу>зкцию ~(х, у) будем называть и н т е грир уемой в области Р, если функция г'(х, у) интегрируема в прямоугольнике П. При этом число Т = ос'(х, у) Ых назовем двойным интег- Я ралом от функции ((х, у) по области Р и и обозначим символом Т =01(х, у) дх ду =О)'(М)до. Замечание 1. Из этого определения сразу же вьггекает, что интеграл х 01 с(хе(у равен площади обласгпи Р. Б Рис.
2.3 з> самом деле, подвергая соответствующий прямоугольник П все более мелким разбиениям, мы получим, что верхние суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содержащих Р, а нижние суммы площадям элементарных фигур, содержащихся в Р. 3 а меч ание 2. Пусть функция ((х, у) интегрируема о ограниченной квадрируемой области Р, плоскость покрьзта квадратной сеткой с шагом 6, Сз, Сг, ..., С„(а1 —.квадратьз указанной сетки., целико.м содерззсащиеся в области Р, (~ы пь) произвольная точка квадрата Сы ть = 1п11(х, у) (6 = 1, 2, ..., п(6)), Тогда каждая из сумм п(16 ирй ~> 1 (сы г1ь) 6, ~~~ тг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
