Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 16
Текст из файла (страница 16)
в вып. 4 «,Линейная алгебра». 2'. Прежде чем формулировать следующую лемму, напомним определение линейного преобразования координат. Лине«1нь«м преобразованием назьиается преобразование вида 1 5 злменл неРеменных В и-кРлтнОм интеГРлле 81 ) Р(у!) Йу = ) 1(Тх)~6е1Т!Их, (2.31) и т-гн в которой символом Т обозначено одно из преобразований ТЛ или Тгд.
Элементарный подсчет показывает, что г(е1 'Т; = Л, с1е1 ТΠ— — 1. (2. 32) Кроме того, очевидно, что если В - прямоугольный параллелепипед а!. < уь < (гь (й = 1г 2, ..., и), то (Тгл~) !тг представляет собой прямоугольный параллелепипед аь <хь <(гь при Й~г, о, Ь, Л Л гг Хг < (2.33) а [Тгу) !Л представляет собой заведомо кубируемую область аь < ха < (зь при Й и'= гг ггг хг гч хг < (гг (2.34) ') Символически это преобразование можно записать так; (хг, хг, ..., х„) — г (хг, ..., х; г, Лх, х,тг,..., .с ).
) Символически это преобразование можно записать так: (х! гг г ) ! (х! ° г — г:г + х! г -г-! В настоящем пункте мы докажем, что формула (2.30) справедлива для двух специальных типов линейных преобразований: 1) линейного преобразования ТЛ, заключающегося в том, что г-я координата умножается на вещественное число Л ф О, а все остальные координаты не изменяются !), и 2) линейного преобразования Т,, заклгочающегося в том, что к г-й координате добавляется з-я координата, а все координаты, кроме г-й, не изменяются ) .
Лемма в. Если функи,ии 1'(у) интегрируема в обласпги Р, то длл низ!одого из преобразований Тл и Тгз справедлива формула замены переменных (2.30). Доказательство леммы 2. ОбозначимчерезЛлаг-мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий область Р, а через Е функцию, равную 1 в области Р и равную нулю в Л вЂ” Р.
Достаточно доказать, что для каждого из преобразований ТЛ и Т, справедлива формула ДВОЙНЫЕ И в-КРЛТНЫР ИНТЕГРАЛЫ 82 На основании формулы повторного интегрирования (2.21) ь, ь,,ь,, ь„ ,) Р(У) а!/ =,! ( ) ) ду!... ду! ьд!/, ь!... ду„х и а~ а,. ~а,ы а„ х / .Г(у!, ..., У„) ду;. (2.35) а, Применяя к однократному интегралу по переменной у; формулу замены переменной у.; = Лх; для случая преобразования Тл и у; = х, + х, для случая преобразования Тц (см. 8 7 гл. 10 выл. 1) мы получим; а) для случая преобразования ТЛ ,) г (уь, ., уп) ду~, = а, ь,/л Л (Уь~ ' ' ' ~ Ух — !~ Лхи Уг-~-!~ ' ' ' ". Уп)Лдхч НРИ Л > О, а,/Л а,/Л Г(у!.....
у; !, Лх,, у,.ы, ..., у„)( — Л) дх, при Л ( О: ь,/л (2.36) б) для <мучая преобразования Тгз ь, ь,—, Я(у!,, уо)ау~=,~ г(уь: . ~ у! — !, хь+хз, уиь!, ., уп)ахи а а,— х (2. 37) Вставляя (2.36) в (2.35), еще раз применяя формулу повторного интегрирования (2.21) и учитывая равенство уь = хь при /г ф ь, вид (2.33) области (Тл~) !Я и первое равенство (2.32), мы получим формулу (2.31) для случая преобразования ТЛ. Аналогично, вставляя (2.37) в (2.35), применяя формулу повторного интегрирования и учитывая равенства уь = хь при й ф !', вид (2.34) области (Тц~ !В и второе равенство (2.32), мы получим формулу (2.31) для случая преобразования 7; , г1емма 2 доказана.
3'. Лемма 3. Всякое невыроз!сденное линейное преобразование Т предсгпавимо в виде суперпозиции конечного числа линейных преобразований типа ТЛ и Т, . *з 5 злменл переменных В п-кРлтном интеГРлле 83 Доказательство леммы 3. Прежде всего проверим, что линейное преобразование Т', заключающееся в перестановке каких-либо двух координат, представимо в виде суперпозиции шести преобразований типа Тл и Тп. В самом деле, пусть Т' заключается в обмене местами г-й и )-й координат (остальные координаты при этом не изменяются).
Тогда легко проверить, что ) Т/ = Т 'Т„Т 1Ттчт 1ТО. (2. 38) ать (й = 1, 2, ..., п). (2.39) аш .. аГЬ Остается доказать, что последнее линейное преобразование представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований типа Т; и Т; .. Докажем это по индукции. Так как сл1 = ам ~ О, то с помощью преобразования Т|о" МЫ ПОЛУЧИМ (ХМ Х2, ..., Х„) — Э (аПХМ Хй, ..., Хо). Предположим теперь, что путем суперпозиции конечного числа пРеобРазований типа Т, и Тгу нам Удалось пРивести исходнУю л последовательность координат (хм хз, ..., х„) к виду (амхт +... + а1ьхь, ..., аьнх1 +... + паахы хьтм ..., х„). (2.40) Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа Тл и Т,. можно привести последовательность координат (2.40) к виду (ат1х1 +...
+ ацьл.,)хь< м ..., аыхс +... + аьбьх1)хазам а)ь+,),хт +... + арсе~)1ье,)хаза, хь ь2, ..., х„). (2.41) Сначала мы для каждого номера г, для которого отличен от нуля элемент а,,~я РО, произведем последовательно пару прея Меп образований Тцкьт)Т ', (для тех г, для которых аць ь1) = О, ) В самом деле, сохраняя при записи только г-ю и у-ю координаты, мы получим, произведя цепочку преобразований (2.38): (х„х,) — > (х, -Ь х„х, ) э — ь ( — х, — х„х,) — ь ( — х, — х,, — х,) — э ( — х, — х„х,) — ь ( — х„х,) — ь (хэ, х,). Заметим теперь, что совершенно произвольное линейное невы- рожденное преобразование Т путем конечного числа перестановок двух строк и двух столбцов можно привести к линейному преобразованию (2.28) с матрицей 8а;ь((, у которой отличны от нуля все так называемые главные миноры, т.
е, все опре- делители 84 ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 соответствующую пару преобразований не производим). Суперпозиция всех указанных пар преобразований приводит последовательность (2.40) к виду (аых1+... + ацвт,)ха< н ..., аых1 +... ... + аваль,)хьч н хь .и хь г....., х„). (2.42) Далее заметим, что поскольку минор (2.39) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель ам ... а1ь ацьь1) (2.43) аы ... аьь аь)вь1) 0 ... 0 1 Но тогда найдутся такие вещественные числа Лм ..., Лы Ль4м что линейнаЯ комбинациЯ стРок опРеделителЯ (2.43) с этими числами равна 1) а)враг)м ..., а)ььць, а)ьы))вьг). (2.44) Это означает, что если мы для каждого номера з = 1, 2, ... ...,)ь + 1, для которого Л ф О,произведем последовательно пару преобразований Т~ььц))Т (для тех ), для которых Л = О, л соответствуюшую пару преобразований не производим), то суперпозиция всех произведенных пар преобразований переведет последовательность (2.42) в (2.41).
Тем самым индукция завершена, и лемма 3 доказана. 4'. Лемма 4. Для произвольного линейного невирожденного преобразования (2.28) при условии существования интеграла, стоящего в левой части (2.30)., справедлива формула замены переменных (2.30). Для доказательства леммы 4 достаточно заметить, что формула (2.30) справедлива для каждого из преобразований типа Т," и Т,. (лев«ма 2) и что произвольное линейное нсвырожденное преобразование (2.28) представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований типа Т," и 7; (лемма 3), причем при суперпозиции линейных преобразований происходит перемножение соответствующих якобианов (легима 1). Следствие из леммы 4. Если С произвольная кубируемая область в простпранстве Е"', Т -- г~роизвольное невыроз~сденное линейное преобразование, то и-мерный объем )г(С) ') Для доказательства этого достаточно добавить к матрице определителя (2.43) строку (2.44) и применить теорему о базисном леяноре (см.
вып. 4 «Линейная алгебрак). с 5 злменл пеРеменных В и-кРлтном интеГРлле 85 области С и и-мерный обеем 1г(ТС) образа ТС этой обласгаи связаны равенством Ъ'(ТС) = ~с1ес Т~ . 1'(С). (2.45) ((у)! ( ((А8 '8х)!. (2.46) Кроксе того, легко проверить, что для единичной матрицы Е справедливо равенство )(Е)! = 1. В этом гсункте мы докажем беседующую лемму. Лемма б. Если выполнены условия теоремы '2.8 и еслсс С-- и-мерный куб, принадлеэссаиСссй области Р, то и-меросьсе обаемы куба С и его образа ср(С) связаны неравенством Ъ'(ср(С)) < [шах ((,7„(х) ~~1п Ъ'(С). (2.47) Доказательство. Пусть С и-мерный куб с центром в о о о о точке х = (хи х2, ..., хп) и с ребром 2з. Тогда куб С можно Для доказательства достаточно положить в равенстве (2.30) 7' = 1, Р = ТС и учесть,что при этом Т Р = С.
5'. Переходим теперь к обоснованию формулы замены переменных (2.25) для совершенно произвольного преобразования у = ~~(х), удовлетворяющего условиям теоремы 2.8. Следует подчеркнуть, что при выполнении условий теоремы 2.8 существуют оба интеграла, стоящие в левой и правой частях (2.25), так что нам следует доказать только равенство этих интегралов. Договоримся обозначать символом .7;7(х) элементы матрицы Якоби — ' (1=1, 2, ..., и; у =1, 2, ..., и), взятые в точке х= бУЛ = (3'1, Х2, ..., Хп). Саму матрицу Якоби ~~,7й(х)(( будем обозначать символом 1е(х).
Ъдобно ввести понятия нормы точки х = (хм х2, ... ..,,хп) и нормы матрицы А = ))а, ~~ (1=1,2,.,.,и; 2=1, 2, ..., п). Нормой точки х = (хм х2, ..., хп) назовем число, обозначаемое символом ((х~~ и равное шах ~х,~. С=В 2, ...,п Нормой матрицы А = ))а, )( назовем число, обозначаемое символом ))А)! и равное шах ~ 2 ~оп ( Заметим, что при таком определении норм точки и матрицы из равенства у = Ах вытекает, что 86 ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫР ИНТЕГРАЛЫ определить неравенством е х — х <з. (2.48) В силу формулы Тейлора для функции и, переменных ф,(х) (см. п. 3 8 5 гл. 14 вып.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
