Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Фиксируем любой номер п — I и рассмотрим область Р„'. Найдется номер пг такой, что Р„содержится в Ри, ') . Поэтому КРЛТНЫЕ НЕСОЬСТВЕННЫЕ ННТЕГРЛЛЫ 113 интеграл 13.20) может быть представлен в следующей форме 1): оо оо Т = 3' е * с1х )' е г ду = ~ )' е * дх) Из этого представления мы получаем значение интеграла, назы- ваемого интегралом Пуассона: ~) Докажем следующую теорему.
Теорема 3.7 (общий признак сравнения). Пусть неотрицагпельные функции усх) и 1х) всюду в открытом множестве 0 удовлетворяют условию .(1х) < б1х) Тогда из сходимости несобственного интеграла (д(х) дх вью текает схвдимость несобствеьиюго интеграла ) (1х) дх. и Доказательство. Пусть 10„) последовательность областей, монотонно исчерпывающих область Р.
Из очевидных неравенств а = ) 7'1,х) с1х < ) б1,х) с1х = 6„ о и„ следует, что ограниченность последовательности Ьв влечет ограниченность последовательности а„. Отсюда и из теоремы 3.6 вытекает справедливость сформулированной теоремы. Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходимость используются стандартные 1эталонные) функции сравнения, наиболее употребительной из которых является функция д(х) =~х~ ",р>0 а). П р и м е р 1. Пусть а > О, .0 шар радиуса а с центром в начале координат, б(х) = ~х~ ". В качестве последовательности 10в) областей, монотонно исчеРпываюсцих Р, возьмем систему концентрических слоев Рсо образованных удалением из шара 0 сггаров радиуса 1ссп с центром в начале координат. Вводя ') В возможности такого представления легко убедиться, если в качестве исчерпывающей системы областей взять систему увеличивающихся квадратов с пентралсн в начале координат и со сторонами, параллельными осям, а затем применить формулу повторного интегрирования по каждому такому квадрату.
) С. Пуассон- француаский математик и физик 11781-1840). ') ° .. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ сферическую систему координат (см. и. 3' 3 5 гл. 2), получим х /ги — 1 ая = ) фх) дх = ~г Рэ т г дг~ дОЯВг...~ ~ П вггг~ ' Оь ддю 1Э„ г,гп О О О Ь=! Обозначая символом игт положительггуго величину 2т т лгю — ~ Ог1и ) дОг,) дОО °,) П вггг дгг ддп~ — г ~ о о о ь=г мы можем записать а а =го ' г """"'гдг.
и — т гги Отсюда вытекает, что последовательность а„ограничена и, следовательно, сходится тогда и только тогда, когда р < т. В силу теоремы 3.6 несобственный интеграл от функции )х;( " в области Р сходится при р < т и расходится при р > т. П р и и е р 2. Пусть а > О, Р внешность шара радиуса а с центром в начале координат, б(х) = ~х~ Р. В качестве последовательности (Ргг) областей, монотонно исчерпывающих Р, возьмем систему концентрических слоев Р„, состоящих из всех точек х Е Е, удовлетворяющих условию а<)х)<п. Вводя сферическую систему координат, получим п а„) 6(х) Йх = ш ) г "эю дг. о„ а Из этого равенства и теоремы 3.6 вытекает, что несобственный интеграл от функции ~х~ " в указанной области Р сходится при р > т и расходится при р < т. 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций.
В этом пункте мы выясним связь между сходилюстью и абсолютной сходимостыо кратных несобственных интегралов. При этом, как и в одномерном случае, несобственный интеграл ) ~(х) дх мы будем называть абсолютно сходящимся., гг если сходится интеграл ) ~ г" (х) ~ дх. Мьг докажем, что из абсолютго ной сходимости интеграла вытекает обычная сходимость. Наиболее удивительным является другое свойство кратных несобственных интегралов, не имеющее аналога в одномерном случае и заключающееся в том, что из сходимости несобственного кратного интеграла вытекает его абсолютная сходимость. Иными словами, мы докажем, что для несобственных кратных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимоспги око а валент ны.
кглтнык нксоьствкннык инткггалы Прежде чем перейти к доказательствам этих свойств, сделаем несколько предварительных замечаний. Из определения несобственного интеграла следует, что если сходится несобственный интеграл по области Р от каждой из функций (».(х) и 1 (х), то сходятся интегралы от суммы или разности этих функций. Рассмотрим следующие две неотрицательные функции: 1»(Х) = ~У( )~ ~( ), т" (Х) = о( )~ ~( ). (3.21) 2 2 Указанные функции могут быть, очевидно, определены соотношениями если ( (х) > О, если ) (х) < О, если ('(х) < О, если 1(х) > О. (3.22) Отметим также следующие очевидные соотношения, вытекающие из определения функций 1» (х) и 1 (х): О < 7» (х) < !~(х)/, О < т (х) < !)'(х)!, (3.23) ('(х) = (».(х) — (' (х).
(3.24) Перейдем теперь к доказательству указанных в начале этого пункта утверждений. Теорема 3.8. Иа абсолютной сходимости кратного несобственного интеграла О(х) дх следует его обычная сход масть. В Доказательство. Обратимся к только что введенным функциям 1».(х) и )' (х). Из интегрируемости в собственном смысле функции 2'(х) по любой кубируемой подобласти области Р вытекает интегрируемость по Р функции ~((х)~, а отсюда и из формул (3.21) следует, что фу.нкции 1».
(х) и 1 (х) также интегрируемы по любой такой подобласти. Используя сходимость интеграла ) ~~(х)~ дх, только что указанное свойство функций В (х) и т" (х), неравенства (3.23) и теорему 3.7, легко убедиться в сходимости несобственных интегралов ( т». (х) дх и ( 2" (х) дх. и и Отсюда и из соотношения (3.24) следует сходимость интеграла ) 1(х) дх. Теорема доказана. и Докажем теперь обратную теорему.
Теорема 3.9. Если кратный несобственный интеграл / т" (х) дх сходится, то он сходится абсолютно. 1З 116 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (3.27) ) 1(х) Йх > 1 ~~(х)~ дх+ п. р. В„ Обозначим через Р„'объединение Т1„и Р„. Тогда, неравенство (3.30) с очевидным неравенством ) 1(х) г1х > — 1 ~7'(х)~ г1хг (3.30) складывая В Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что утвержденлле теоремы неверно. Тогда из теоремы 3.6 вытекает, что последовательность интегралов от ~~(х)~ по любой монотонно исчерпывающей область последовательности областей (1Э„) будет монотонно возрастающей бесконечно бсльшой последовательностью. Отсюда следует, что последовательность (Р,„) можно выбрать так, что для любого п = 1, 2, ...
выполняется неравенство / ~~(х) ~ дх > 3 ) ~~(х) ~ дх + 2п. (3.25) В,гг В„ Обозначим через Р„множество Вггл 1 — Р„. Тогда из (3.25) получим для любого и ) ~~(х)~г1х > 2 ) ~~(х)~дх+2и. (3.26) Р„ В„ Так как ~~(х) ~ = 1л. (х) + )'. (х), то ~~(х)~пгх = ) 1л.(х)Йх+ ) ) (х)Йх.
Р„, р. Пусть из двух интегралов в правой части (3.27) большим будет первы1л. Тогда из соотношений (3.26) и (3.27) получим для любого и 1 7л (х) Йх > 2 1 ~~(х) ~ г1х + и.. (3.28) Р В„ Разобьем область Р„на конечное число областей Ргь так, чтобы нижняя сумма '> т;Ьгт„функции (т(х) для этого разбиения г столь мало отличалась от интеграла по Р„от этой функции, что при замене в левой части (3.28) интеграла указанной нижней суммой мы получим следующее неравенство: Е иг;Ьп> > )' ~ Пх) ~ г1х + п.
(3.29) г В. Так как т, > О, то в сумме 2 т;Ьсг; можно оставить лишь те слагаемые, для которых тл > О. Объединение соответствующих областей Ргк обозначим через Р„. В области Ри фУпкциЯ 1" (х) положительна, и поэтомУ в этой области 1" (х) = ~ч(х). Следовательно, согласно (3.29), получаем неравенство кглтнык нксоьствкннык инткггллы 117 получим з (х) дх ) п.
(3.31) и,, Очевидно, последовательность областей (Р*) монотонно исчер- пывает область Р. 11о тогда, согласно неравенству (3.31), ин- теграл ) 7(х) дх расходится. Так как по условию этот интеграл В сходится, то предположение, что утверждение теоремы неверно, не имеет места. Теорема доказана. 4. Главное значение кратных несобственных интегра- лов. Определение. Пусть функцил з'(х) определена при всех х Е Е Е'" и интегрируема в каэкдом шаре Кн радиуса Л с цент- ром в начале координат.
Будем говорить, что функция ('(х) иптегрируема по Коши в Ет, если существует предел 1пп ) 7(х)ах. г — ~сОк з Этот предел мы будем называть главным значени- е м несобственного интеграла от функции 7" (х) в смысле Ко- ши и обозначать 1' р .( У(х)д: = 11 .) У( )дх. к-  — ~ж кг П р и м е р.
Пусть 1(х) в сферических координатах имеет вид з (х) = Ь(г)К(0ы Ог, ..., 0,„~), где функции 6 и и непрерывны, причем 2т ~г 7Г гзь — 1 ) д01)д0з.../б(0м0з,...,0т ~) П гппь ~0ь 00т,=О. о о о Тогда, очевидно, 7(х) интегрируема по Коши и У.р. ) з"(х)дх = О. В частности, при т = 2 функция двух переменных 1 (х, у) = = 6(г) соз ~р интегрируема по Коши, и интеграл от нее в смысле главного значения равен нулю. В случае, когда функция 7"(х) имеет особенность в некоторой точке хо области Р, интеграл в смысле Коши вводится как Ч.р.) Дх) с1х = 1ппн ( 7"(х) дх, В Вз где Рн множество, получаемое удалением из области Р шара радиуса Л с центром в точке хо.
ГЛАВА 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе мы перенесем понятие одномерного определенного интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой плоской или пространственной кривой.
Такого рода интегралы называются криволинейными. В приложениях принято рассматривать криволинейные интегралы двух родов (от выражений, имеющих скалярный и векторный смысл). В этой главе криволинейные интегралы первого и второго родов рассматриваются параллельно. й 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую Ь, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Предположим, что кривая определяется параметрическими уравнениями х = ~р(1), у = у (ь) (а < ~ < Ь), (4.1) и сначала будем считать се нс замкнутой и ограниченной точками А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
