Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 25
Текст из файла (страница 25)
129 ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ в которых функции х(и, и), у(и, о), г(и, о) являются Й раз дифференцируемыми в области С. Если Й = 1, то поверхность обычно называется гладкой. Мы будем также говорить, что с помощью соотношений (5.1) в окрестности точки на поверхности вводится регулярная параллетпризация с помощью параметров и и и. 3 а м е ч а н и е 1. Если вся поверхность Ф представляет отображение области С при помощи соотношений (5.1), то мы будем говорить, что на Ф введена единая пар аметризация. Точка регулярной поверхности называется обыкновенной, если существует такая регулярная параметризация некоторой ее окрестности, что в этой точке ранг матрицы А=('' у ) (5. 2) равен двум.
В противном слу гас точка поверхности называется особой. Область С на плоскости будем называть простой, если эта область представляет собой простую плоскую поверхность. Например, кольцо без границы является простой областью. Будем говорить, что функция !'(гл, и) принадлежит в С классу С, если она Й раз дифференцируема и все ее частные производные порядка Й непрерывны в С.
Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть в простой области С на плоскости ии заданы функции х(и, и), у(и, и), г(и, и) класса Сь, Й > 1, причем ранг ллатарицы (5.2) равен дву и во всех !почках С. Тогда соотношения (5.1) определяют в пространстве мнозюестпво Ф, копгорве представляетп, собой регулярную, Й раз дифференцглргуемую общую поверхность без особых точек. Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в том, что с помощью соотношений (5.1) осуществляется локально-гомеоморфное отображение области С на множество Ф. ') Область С на гтоскости называется элементарной, если она является образом открытого круга при гомеоморфном отображении етого круга на плоскость.
В В. Л. Ильин и ГЬ Г. Позняк, часть П Поверхность Ф, точки которой имеют координаты г, у, г, называется регулярной (Й раз дифференцируемвй), если при некотором Й > 1 у казюдой точкгл Ф есть окрестность, допускающая Й раз дифференцируемую параметпризацию.
Это означает, что каждая указанная выше окрестность представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной области С !) в плоскости ии при помощи соотношений х = х(и, и), у = у(и, и), г = г(и, и), (5.1) 13О ПОВЕРХНООТНЫК ИНТЕГРЛЛЫ Пусть Ма(хо, уа, ьв) любая фиксированная точка множества Ф, отвечающая значениям (иа, оо) параметров (и, о) (рис. 5.2). По условию ранг матрицы А равен двум в точке (ио, оо). Пусть, ради определенности, в этой точке отличен от нуля определитель ~ ~„", оу,", ~матРицы А.
ПосколькУ Указанный опРеделитель Яв- 1З(х, у) ляется якобианом ' и отличен от нуля в точке (исч ов), а Р(и, и) функции х(и, о), у(и, о) имеют непрерывные частные производные в области С, то по тсореме о разрешимости системы функ- Рис. 5.2 циональных уравнений (см. теорему 15.2 вып.
1) найдется такая окрестность Н точки (ха, ус) на плоскости Оху, что в пределах этой окрестности существует единственное и Й раз дифференцируемое решение и= и(х, у), о=о(х, у) (5.3) системы х(и, о) — х = О, у(и,о) — у = О, Из проведенных рассуждений вытекает, что некоторая окрестность Н точки (хс, ув) представляет собой гомеоморфнос отображение некоторой окрестности С точки (ио, ое) с помощью соотношений х = х(и, о), у = у(и, о) (обратное отображение Н на С осуществляется с помощью соотношений (5.3)).
Подставляя выражения (5.3) для и и о в соотношение х = л(и, о), мы убедимся, что некоторая окрестность Ф точки ЛХл на множестве Ф является графиком й раз дифференцируемой функции х = з(и(х, у), о(х, у)) = л(х, у). Но это означает, что с помощью функции х(х, у) осуществляется гомеоморфное отображение окрестности Н точки (хш уа) плоскости Оху на ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ указанную окрестность Ф точки Мо множества Ф. Очевидно, что окрестность О точки (ио., ив) гомеоморфно отображается на окрестность Ф точки Мо на множестве Ф 1) .
Иными словами, Ф представляет собой образ С при локально-гомеоморфном отображении в пространство и является поэтому общей поверхностью. Теорема доказана. Замечание 2. В процессе доказательства теоремы мы установили, что у кахсдой точки Мо поверхноспт, Ф без особых точек имеется окрестность Ф, однозначно проецирующаяся на одну из координагпных плоскостей и являющаяся поэтому графиком Й раз дифференцируемой функции (в доказательстве теоремы этой функцией была функция з(х, у)). На рис. 5.2 указаны точки Мо и лл1о, окрестности которых однозначно проецируются на плоскости Оху и Охз соответственно. 3. Задание поверхности с помощью векторных функций.
Рассмотрим регулярную поверхность Ф. Эта поверхность представляет собой некоторое алножество точек М пространства Ли Рис. 5.3 с координатами (х, у,. з) (рис. 5.3). Обозначихл через т(М) вектор., идущий из начала координат в точку М поверхности. Очевидно, т(М) представляет векторную функцию переменной точки М поверхности 2) . Эта функция обычно называется радиусом-вектором поверхности Ф. Обратимся к той окрестности точки М, которая представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной ') Улы воспользовались здесь очевидным утверждением о том, что последовательное проведение гомеоморфных отображений дает в результате также гомеоморфное отображение. 2~ ) Векторную функцию можно рассматривать как совокупность трех скалярных функций.
Подробные сведения о векторных фу.нкпиях даются в З 1 гл. 12. По мере надобности мы будем испольэовать зти сведения. 132 ПОВРРХНОстНЬП ИНтКГРЛЛЫ области С г) при помощи соотношений (5.1) (на рис. 5.3 эта окрестность обведена штриховой линией). Тогда, очевидно, координаты х(и, о), д(и, о), е(и, о) точки М являются координатами вектора т(М). Ясно, что в этой окрестности функция т(М) будет функцией переменных и и о: т(М) = т(и, о). При фиксированном значении переменной о конец радиуса-вектора т(и, о) описывает в рассматриваемой окрестности кривун>., называемую линией и (или линией о = сопв1).
При фиксированном значении переменной и конец радиуса-вектора т(и, о) описывает линию о (линию и = согж1). Эти линии и и о называются координатными линиями на поверхности Ф в рассматриваемой окрестности. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки поверхности Ф может быть введена система координатных линий и и о. Эта система координатных линий называется также Особал точка Линия особых точек Рнс.
5.4 системой криволинейных координат на поверхн о с т и (точнее в рассматриваемой окрестности). В 3 1 гл. 12 указан геометрический смысл производных т„и те векторной функции т(и, о). Эти векторы представляют собой векторы касательных к координатным линиям (см. рис. 5.3). С помощью векторов т„и т„можно уяснить геометрический смысл обыкновенной и особой точек регулярной поверхности.
Напомним, что точка М поверхности называется обыкновенной, если в окрестности этой точки можно ввести такую параметризацию с помощью уравнений (5.1), что ранг матрицы А (см. соотношение (5.2)) в этой точке равен 2. Так как строки матрицы А состоят из координат векторов т„и то и ранг А равен двум, указанные векторы линейно независимы.
Итак, обыкновенная точка характеризуется тем, что в окрестности этой точки можно ввести такую параметризацию, что векторы т„и т„в точке М линейно независимы. ы ) Область О на плоскости называется элементарной, если, она представляет собой гомеоморфный образ открытого круга. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ На рис. 5.3 точка М является обыкновенной точкой поверхности Ф. На рис. 5.4 изображены поверхности с особыми точками. 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Односторонние и двусторонние поверхности. Мы уже ввели понятие касательной плоскости к поверхности, представляюгцей собой график дифференцируемой функции г = г(х, у) (см. и. 2 2 4 гл. 14 вып. 1). Напомним, что касательная плоскость в точке ЛХО определялась как плоскость, обладающая тем свойством, что угол между этой плоскостью и секущей МОМ(М- произвольная точка поверхности) стремится к нулю при стремлении ЛХ к ЛХО. Л1ы доказали, что если в1х, у) дифференцируемая в точке (хо, до) функция, то в точке Мо(хо, уо, г1хо, уп)) поверхности существует касательная плоскость.
Убедимся, что в .любой обыкновенной точке гладкой поверхности существует касательная плоскость. Для этого, очевидно, достаточно установить, что некоторая окрестность обыкновенной точки поверхности представляет собой график дифференцируемой функции. Но в и. 2 этого параграфа (см, замечание указанного пункта) было доказано это свойство для любой обыкновенной точки гладкой поверхности.
Следовательно, в любой обь кновениой точке гладкой поверхности суи)естеует касательная плоскость. 3 а м е ч а и и е 1. Из определения касательной плоскости к поверхности Ф следует, что касательная прямая в точке МО к любой гладкой линии 1), расположенной на поверхности и проходящей через МО, лежит в касательной плоскости к Ф в точке ЛХО. Так как векторы г„и те являются касательными к линиям и и и, проходящим через МО, то эти векторы располагаются к касательной плоскости в точке МО. Введем понятие нормали к поверхности Ф в точке Мо. Н о р м а л ь ю к поверхности Ф в точке МО называется прямая,проходящая через МО и перпендикулярная к касательной плоскости вМО. Вектором нормали кповерхностивточке МО будем называть любой ненулевой вектор, коллинеарный нормали в МО.
Пусть МΠ— обыкновенная точка гладкой поверхности Ф и некоторая окрестность Ф этой точки определена с помощью такой векторной функции т)и, и), что векторы г и г„в точке МО не коллинеарны. Тогда, очевидно, вектор 1УХ = )тат ~ (5.4) ')Линия Ь называется гладкой, осли она может быть задана с помощью векторной функпии тЯ класса С', для которой г'(г) я'- 0 (более подробно см. г 2 гл. 12). 134 поввгхноотньп интвггллы Гл. 5 Рнс.
8.8 ) А. Мебиус.— немецкий математик (1790-1868). является вектором нормали к поверхности, а вектор )гете) (5.5) йгагс)! единичным вектором нормали к поверхности. 3 ам е чан и е 2. Так как по условию поверхность является гладкой, то векторная функция Ж(и, и) и векторная функция п(и, и), определенные соответственно с помощью соотношений (5.4) и (5.5)., будут непрерывными. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки гладкой поверхности суи1ествует непрерывное век1порное поле нормалей,. Естественно возникает вопрос на всякой ли гладкой поверхности в целом существует непрерывное векторное поле нормалей? Оказывается, есть поверхности, на которых нс су- А А' ществует в целом непрерывного векторного поля нормалей. Примером такой поверхности может служить так называемый А В' лист Мебиуса 1) ., изображенный на рис.
5.5. (Эта поверхность получается из прямоугольника АВВ'А' путем склеивания сторон АВ и А'В' таким образом, что при этом совпадак1т точки А и В', .и точки А' и В, см. рис. 5.5). Поверхности, на которых в целом существует непрерывное векторное поле нормалей, будем называть двусторонними. Поверхности, на которых в целом такого поля не существует, будем называть о д н о с т о р о н н и м и. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид двусторонние поверхности, лист Мебиуса односторонняя поверхность. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь двусторонние поверхности. 5. Вспомогательные леммы.
В этом пункте мы докажем некоторые нужные для дальнейшего утверждения. Лемма 1. Пусти Мв обыкновенная точка гла кой поверхности Ф. Тогда некоторая окрестоность точки ЛХв однозначно проецируется на касательную плоскость, проведенную в любой точке этой окрестности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
