Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Доказательство. Убедимся, что указанным в лемме свойством обладает, например, та окрестность Ф точки Мв, в пределах которой нормаль в любой точке составляет с нормалью ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ в Мв угол, меньший к/4, и которая однозначно проецируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (например, Охд) ) г. Отметим, во-первых, что пормвли в любых двух ы точках Ф образуют угол, меньший я/2. Далее, пусть Ф не обладает указанным свойством. Тогда для некоторой точки М из Ф можно найти такие точки Р и б,) из Ф, что хорда Р(~ параллельна нормали пм в М (рис. 5.6). Рассмотрим линию пересечения Ф с плоскостью, параллельной Ое и проходяф ф пи щей через Р(~. В силу выбора окрест- ~и и ва ности Ф часть РДЕЯ этой линии лежит в Ф и представляет собой (Ф график дифференцируемой функции, ~ Р заданной на отрезке, являющемся проекцией РО„на плоскость Оку.
По теореме Лагранжа касательная в некоторой точке 1у" этой части парал- х лельна хорде РЯ и, следовательно, параллельна нормали пм в М. Но тогда нормаль в 1У, перпендикулярная упомянутой касательной, образует угол я/2 с нормалью в М. Но этого не может быть, так как нормали в любых дву.х точках Ф (в том числе и в точках М и гзг) образуют угол, меньший к/2.
Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма доказана. Введем понятие п о л н о й поверхности. Поверхность Ф называется полной, если любая фундоментольная последовательность точек этой поверхности сходится к некоторой точке поверхноспги Ф. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид --. примеры полных поверхностей. Круг без границы, любое открытое связное множество на сфере - неполные поверхности. Ограниченные полные поверхности и ограниченные замкнутые части полных поверхностей мы будем в дальнейшем называть ограниченными полными поверхностями.
Будем говорить., что часть Ф имеет размеры меньше д, если эта часть помещается внутри некоторой сферы, диаметр которой меньше б. ') Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из следующих соображений. В предыдущем пункте мы отметили (сьь замечание 2), что в некоторой окрестности обыкновенной точки на поверхносзи существует непрерывное векторное поло нормалей. Поэтому в достаточно малой окрестности Ме нормали составляют с нормалью в Ые угол, меньший я/4. 'г1ы также установили,что некоторая окрестность Ме однозначно проецируется на координатную плоскость. Очевидно, в этой окрестности есть часть, проецирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости. ГЛ.
5 ПОВНРХНОСТНЬП ИНТИГРЛЛЫ Справедлива следующая лемма. Лемма я. Пусть Ф -. гладкал, огриниченная полная поверхность без особых точек. Существует такое б > О., что любая часть Ф, размеры которой меньше б, однозначно проецируетсл на касительную плоскость, проходящую через любую пючку этой части. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда для любого бп = 1(п, и = 1, 2, ... можно указать часть Ф„поверхности Ф, размеры которой меныпс б„и которая не проецируется однозначно на касательную плоскость в некоторой своей точке.
Выберем в каждой части Ф„точку М„и выделим из последовательности 1Мв1 подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке Ме сговерхности Ф 1) . Рассмотрим окрестность то гки Ме, удовлетворя|вшу|о условиям де~~~ 1. При достаточно большом и эта окрестность будет содержать каждую часть Фн. Но тогда эта часть должна проецироваться на касательную плоскость (в любой своей точке), а это противоречит выбору частей Фв, Лемма доказана. Справедлива следующая лемма. Лемма 3. Пусть Ф . глидкия., ограниченная полни поверхность без особых точек.
Существует такое б > О, что любая часть Ф, размеры когаорой менсьше б, однозначно проецируетсл ни одну из координатных плоскоглпей. Доказательство этой леммы проводится в полной аналогии с доказательством леммы 2. Лемма л. Пуспсь Ф вЂ”. гладкая, ограниченная, полная двусторонняя поверхность без особых точек.
Тогда длл любого е > О можно указать такое б > О, что длл косинуса угла у между единичными веклпорами нормалей в любых двух точках произвольной части Ф поверхности, размеры которой меньисе б, справедливо представление (б б) сог у = 1 — стФ, где ~стФ~ ( е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим непрерывное на Ф векторное поле единичных нормалей п(М) (такое поле существует, так как Ф двусторонняя поверхность). Векторная функция и является равномерно непрерывной, поскольку Ф ограниченная полная поверхность и поэтому представляет собой ограниченное замкнутое множество. Поэтому для любого е > О можно указать такое б > О, что для сгроизвольных двух точек М1 и Мг поверхности Ф, расстояние между которыми меньше б, ') Так как Ф вЂ” ограниченная полная поверхность, то такую подпоследовательность выбрать можно.
137 площлдь повврхностн выполняется неравенство )п(М2) — п(ЛХ1)) С зг 2е. (5. 7) Так как сов у = 1 — -(п(М2) — п(М1)) ), 2 то,полагая нф = — (п(М2) — п(М1)) 2 и используя неравенство (5.7), мы убедимся в справедливости соотношения (5.б). Лемма доказана. в 2. Площадь поверхности ог о Се Е г (5.8) Определение 2. Если для поверхности Ф существует пределао сумм 2;и; при хз — > О, гпо поверхность называется к в а дг р и р у е м о й, а число о называется площадью поверхности. ) Мм использовали следующие соотношения; п (ЛХг) = 1, гг (М ) = 1, п(ЛХг)п(ЛХг) = соа Хг — (п(ЛХг) — п(ЛХгД = — (п (ЛХг) — 2п(Мг)п(Мг) Ч-п (ЛХг)).
2 2 гг г) Возможность такого разбиения гарантируется леммой 2 предыдущего пункта. 1. Понятие площади поверхности. Пусть Ф --. ограниченная полная двусторонняя поверхность. Разобьем Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф„каждая из которых однозначно проецируется на касательную плоскость,. проходящую через любую точку атой части 2) .
Обозначим через гл максимальный из размеров частей Фь а через о; — площадь проекции Ф; на касательную плоскость в некоторой точке М, части Фг. Составим далее сУммУ 2 о,; всех Указанных площадей. г Сформулируем следующие определения. Определение Х. Числов называелпся пределом сумм 2, 'вг при Ь вЂ” 1 О., если для любого е > О,моэкно указать такое б > О, ггто для всех разбиений Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф,, для которьгх гз < б, независимо от выбора точек М, на частях Ф, выполняется неравенство: 138 ГЛ.
5 повнрхноотньп интнгрллы Наша ближайшая задача состоит в выяснении достаточных уг повий квадрируемости поверхности. Мы докажем, что гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности квадрируемы. Попутно мы укажем вычислительный аппарат, с помощью которого можно вычислять площади поверхностей.
На первый взгляд было бы естественно подойти к вопросу о площади поверхности, используя аппроксимацию поверхности многогранниками. Однако этот путь не приводит к цели. г1ы укажем пример, принадлежащий Шварцу ) и показывающий, что площади вписанных в гладкую поверхность многогранников могут неограниченно возрастать при увеличении чис.ча граней и у.меньшении их размеров. Пусть Ф вЂ” цилиндрический пояс (рис. 5.7). Разобьем Ф окружностями, параллельными основаниям Ф, на п равных частей. Каждую из таких окружностей разделим на пг равных частей так, как это указано на рис.
Га7. На этом жо рисунке изображен многогранник Ф„„„, вписанный в Ф. При лгобом фиксированном ш площадь указанного многогранника Ф„,„, очевидно, превышает увеличенную в и раз площадь проекции этого многогранника на плоскость основания цилиндра. Так как эта проекция не зависит от п, то за счет увеличения и при любом фиксированном т площадь мпогогранника Ф„„, может быть сделана как угодно большой.
2. Квадрируемость гладких поверхностей. Докажем следующую теорему. Теорема б.й. Гладкая оераниченггая полная двусторонняя поверхность без особых точек кводрируемол Доказательство. Пусть на поверхности Ф может быть введена единая регулярная параметризация. В этом случае радиус- вектор г(М) переменной точки Ф поверхности представляет собой функцию г(и, и) класса С1 2), заданную в некоторой замкнутой ограниченной области П плоскости переменных и и и. Частные производные г и г функции г(и, и) представляют собой непрерывные векторные функции, не зависящие от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве. Поэтому значение о интеграла О ~'1г г„1 ~ диде и не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве.
Мы докажем, что поверхность Ф квадрируема и ее площадь равна о. Пусть е произвольное положительное число, фиксированное в дальнейших рассуждениях. Определим по этому е > О число б > О, исходя из следующих требований: 1) любая часть Ф, ) П Л. Шварц -- немецкий математик (1843 .1921). ю ) Под этим следует понимать, что каждая компонента функции г(и, е) принадлежит классу С . 139 ПЛО1ЦЛДЬ ПОВЕРХНОСТИ поверхности Ф, размеры которой меньше д, проецируется од- нозначно на касательную плоскость в любой точке части Ф,", 2) косинус угла з между единичными векторами нормалей в любых двух точках части Ф, может быть представлен в виде (5. 9) соя у = 1 — аф„ где ~1хф ~ ( с/и и ~сгф,, ~ ( 1.
Возможность такого выбора б > 0 гарантируется леммами 2 и 4 и. 3 предыдущего параграфа. Рассмотрим произвольное разбиение Ф кусочно-гладкими кривыми па конечное число частей Ф,, максимальный размер Ь которых нс превышает 6. Та,к как на Ф существует единая параметризация, то указанному разбиению Ф на части Ф, отвечает разбиение области й на части П„. На каждой части Ф, выберем произвольную точку М; и обозначим через сг, площадь проекции части Ф, на касательную плоскость в Мь Для вычисления п, поступим следующим образом. Выберем декартову систему координат так, что ее начало совпадает с М;, ось Ох направлена по вектору нормали к поверхности в М;, а оси Ох и Оу расположены в упомянутой касательной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
