Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Выше мы установили, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода кривой .б = АВ. Поэтому следует принять особую договоренность о том, что мы понимаем под символом ХР(х, у) йх+ фх, у)ду ь (4. 7) В силу произвольности е мы можем утверждать, что интегральные суммы п1 и пз имеют (при стремлении к нулю наибольшей из длин аь1Ь) пределы, соответственно равные К~ и Лз.
Тем самым одновременно доказано существование криволинейных интегралов, стоящих в левых частях формул (4.4) и (4.4'), и справедливость указанных формул. 3 а м е ч а н и е 1. В случае кусочно-гладкой кривой 7 криволинейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегралов по всем гладким кускам, составляющим кривую 7. Таким образом, равенства (4.4), (4.4') и (4.4") оказываются справедливыми и для кусочно-гладкой кривой 1. Эти равенства справедливы и в случае, когда функции 7 (х, у), Р(х, у) и ®х, у) являются не строго непрерывными, а лишь кусочно-непрерывными вдоль кривой Х (т. е. когда кривая 1 распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого из которых указанные функции непрерывны).
3 а меч ание 2. Совершенно аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взятых по пространственной кривой 7 = АВ, определяемой параметрическими уравнениями х=р(Ь), у=1Ь(Ь), г=Х(4) (а<1<6). *з 2 СУ!ЦЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 125 в случае, когда Б замкнутая кривая (т. е. в случае, когда точка В совпадает с точкой А). Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура Б мы назовем положительным то направление обхода, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей Ь обход 1) . На рис.
4.2 положительное направление обхода изображено стрелками. Будем считпать, что в 1»нтегралс (4.7) по замкнуспому конптуру Б этот контур всегда обходится в полоэ1ситель- х ном направлении. 3 а меч ание 4. Легко показать, что Рис. 4.2 криволинейные интегралы обладают теми оюс свойствами, что и обычные определенные интегралы (доказательства аналогичны изложенным в З 5 и 6 гл.
10 вып. 1). Впрочем, при более жестких предположениях указанные свойства сразу вытекают из формул (4.4), (4.4') и (4Ао). Перечислим эти свойства применительно к криволинейным интегралам первого рода. 1". Линейное свойство. Если для каждой из функций у(х, у) и б(х, у) существует криволинейный интеграл по кривой АВ и если сг и ~3 любые постоянные, то для функции [ст./(х, у)+ Бб(х., у)] также существует криволинейный интеграл по кривой АВ,причем ХИ(х,у)+Ба(х, у)] (=о./ У(х у)д(+Б /б(х,у) Е АВ ЛВ лв 2'.
А д д и т и в н о с т ь. Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и СВ и если для функции 1(х, у) существует криволинейный интеграл по дуге АВ, то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг АС и СВ, причем / 1(х., у) а11 = / 1(х, у) с(1+ / /(х, у) сУ. АС АВ 3'. Оценка модуля интеграла. Если существует криволинейный интеграл по кривой АВ от функции /(х, у), то существует и криволинейный интеграл по кривой АВ от функции ]1(х, у)], причем ~,/ 1(х, у) д( <,/ ]/(х, у)] д( лв лв О ) Такое направление движения условно можно назвать «движением против часовой стрелки».
КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 126 2к ~ь~ 11(сов 2) = 2д(б+ и ), где е = тгаз — д2/а 1). 2'. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 1 = 1 (х~ — 2ху) 11х + (у — 2ху) 11у ь в котором Ь парабола у = хз при — 1 < х < 1. Указанную параболу мсожно рассматривать как кривую, задаваемую параметрическими уравнениями в=2, д = 22 ( — 1 < д < 1). Поэтому с помощью формул (4.4') и (4.4н) мы получим, что 1 1 ) (22 222),12+ ) (24 222)22112 ~14~1б) — 1 — 1 О ) Наломним, что величину е в аналитической геометрии называют зксцентриситетом. 4'.
Форл4ула среднего значения. Если функция ~(х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М* такая,что )' у(х, Р)а = 1 у(лх*), АВ где 1 .. длина кривой АВ. П р и м е р ы. 1'. Вычислить массу эллипса 1, опредсляемого параметрическими уравнениями х = а сов 2, и = бвгп2 (О < 2 < 2я) при условии, что а ) б ) О и что линейная плотность распределения массы равна р = )у!.
Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода ) ~у~ Й. С помощью формулы (4.4) получим 2т ) (12) сЛ = б ) ! яп2( а2 япв Х+ б2 сов21 Ж = Ь о к 2в =не 1 Рвч и е1а — пав:~ чвс1 и Йз~= о в = — б )' а2 — (а2 — б2) соз2 2 с11,сов1) + о ГЛАВА 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании функций, заданных на поверхностях. В связи с этим предварительно исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии площади поверхности. я 1.Понятие поверхности 1. Понятие поверхности.
Отображение ~ области У) С на плоскости на множество С* трехмерного евклидова пространства называется г ам сомо рфн ы и, если это отображение представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками С и С*, при котором любой сходящейся последовательности (М„) точек из С соответствует сходящаяся последователыюсть (М„*) точек из С' и каждой сходящейся последовательности точек (М„') из С' отвечает сходящаяся последовательность (Мп) точек из С. Иными словами, гомеоморфное отображение области С па множество С* --. это взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение указанных множеств. Мы будем говорить, что С' является о бр аз о м С при гоъгеоморфпом отображении ~.
Рассмотрим следующий пример. Пусть С область на плоскости Оху, (и, и) координаты точек М этой области, = з(М) -- непрерывная в С функция, С* —. график этой функции. Очевидно., отображение ~ области С на С', задаваемое соотношениями х = и, у = о, х = я(и, о) является гомеоморфным отображением этой области на множество С'.
Введем понятие элементарной поверхности. Множество Ф точек трехмерного пространства называетсл элементарной поверхностью, если этомпожество ') Нанокгннм, что областью называется множество, каждая точка которого является внутренней. 128 ГЛ. 5 повврхноотньп интвгрллы является образом открытого круга С при гомеоморфном отобраэкении С в пространство 11. С помощью понятия элементарной поверхности вводится понятие так называемой простой поверхности.
Предварительно введем понятие окрестности точки множества Ф евклидова пространства Ез. О к р е с т н о с т ь ю точки М множества Ф называется общая часть множества Ф и пространственной окрестности точки М. Мггожество Ф точек пространства называется п р о с т о й и о в ер хи о с т ь ю, если это мнолсество связно 21 и любая то"гка этого множества имеет окрестносгпьч котпорая является элементарной поверхностью. Отметим, что, элементарная поверхность является простой поверхностью, но простая поверхность, вообще говоря,не является элементарной. Например, сфера простая, но неэлементарная поверхность. Сформулируем понятие о б гц е й и о в е р х н о с т и.
Отображение 1 простой поверхности С назовем л ок а л ь н о -г о м е о м о р ф н ы м, если у каждой точки С есть окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ. Множество Ф точек пространства называегася о бгц е й и, о в е р т н о с т ь ю, если оно является образом прюстой поверхности при локально-гомеоморфном ее отображении в пространсгпво. Замечание 1. Отметим, что окрестности точек на общей поверхности вводятся как образы окрестностей точек той простой поверхности, образом которой является данная общая поверхность. Рис.
5.1 Замечание 2. Простая по- верхностгп очевидно, является поверхностью без самопересечепий и без самоналеганий. Общая поверхность может иметь самопересечения и самоналегания. Наприлзер, изображенная на рис. 5.1 поверхность имеет самопересечения, по является локальпо-гомеоморфным образом цилиндрического пояса и поэтому является общей поверхностью. 2.
Регулярная поверхность. Введем понятие регулярной 1Й раз дифференцируеьгой) поверхности. о ! й1ы рассматриваем трехмерное евклидово пространство, хотя можно рассматривать евклндово пространство любого числа измерений и говорить о двумерной поверхности в этом пространстве. ') Напомним, что множество пазываетгя с в я з н ы м, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком состоящей из точек этого множества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
