Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 32
Текст из файла (страница 32)
166 ОСНОВНЫЕ ОГ!ЕРЛ11ИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гл. в Рассмотрим взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области Й на область П,которое осуществляется посредством функций х = х(х ., х, х~), у = у(х1,.хг,х ), х = х(х~, хг, х~). (6.58) С помощью указанного отображения в области й вводятся криволинейные координаты х1, хг, т, . Смысл этого наименования легко уяснить из следующих рассуждений.
Во-первых, каждой очке М(х, у, ) облас~~ П с~~ос~а~л~ю~с~ р ~~ела *1, хг, гз. Более точно, точка М определяется тройкой чисел х1, хг, хэ. Этим объясняется наименование «координаты» точки М для чисел х~, хг, хз. Во-вторых,. если в правых частях соотношений (6.58) фиксированы две какие-либо координаты, например хг и хз, то при переменном х' эти соотношения определяют в области й некоторую линию, отличную, вообще говоря, от прямой. Эту линию естественно называть коордияатпой линией х', подчеркивая тем самым, что в точках указанной линии меняется лишь координата х1. В полной аналогии определяются координатные линии хг и хг.
Вообще говоря, координатные линии т,, хг и хз не будут прямыми. Этим и объясняется термин «криволинейные координаты». Мы выяснили, что через каждую точку М области й проходят три координатные линии х1, хг, хв (рис. 6.2). Построим в точке М базис г;, г', естественным образом связанный с координатными линиями, проходящими через эту точку. При этом мы воспользуемся соотношениями (6.58).
Очевидно, про- дх ду дх изводные —, —, —, вычисленные в точке М, представляют дх' ' дх' ' дх' ' собой координаты вектора касательной к линии х' в этой точке. Мы обозначим, этот вектор через т1. Аналогичным способом мы строим векторы гг и гв касательных к линиям х и х соответ- ,г з ствеппо. Таким образом, ту=( *, ", ~, 1=1,2 3. (6.59) Для того чтобы векторы т1, гг, тз образовали базис, нужно потребовать некомпланарности этих векторов. Достаточным условием для выполнения этого требования является, очевидно, 1 3 ВыРАжение ОнеРАНий В кРиВОлинейных кООРдинАтАх 167 условие необращения в нуль якоби ана ду дх' ду дх2 ду дха дх дх' дх д.г дх 'п1х, у, х) п(х', хе, ха) ибо этот якобиан равен смешанному произведению векторов гн гт, гз.
С помоЩью постРоенного базиса гы гуи гз стапДаРтпым образом строится взаимный базис г', г1, гз. Итак, если в области Й введены криволинейные координаты х, х~, хз, то с каждой точкой М этой области естественным образом связываются базисные векторы гн г'. Рассмотрим примеры. 1'. Цилиндрическая система координат. Эта система координат вводится с помощью соотношений х = р соыр, у = р яш ~о, х = х.
(6. 60) Таким ОбраЗОм, Х1 = р, Х~ = СО, Хз = Х. ИЗвЕСтнО, чтО укаЗанныЕ координаты р, со, х (или, что то же, х, х, хз) изменяются в следующих пределах ): 0 < р < +ос, 0 < со < 2я, — оо < х < оо. Эти неравенства определяют в евклидовом пространстве координатами р, уа, х (или х1, х2, тз) бесконечную область Й, ез с изображенную на рис. 6.3. Мы можем, следовательно, рассмат- Рис. 6.3 ривать введение цилиндрических координат в евклидовом про- странстве Ез как результат отображения области 11 простран- ства Еа в пространство Ез с помощью формул (6.60).
О ) См. вып. 3 «Аналитическая геометрия» настоящего курса. 168 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гл. а Очевидно, координатные линии р [или линии хг) представ- ляют собой прямые, проходящие через ось Ох, перпендикулярно этой оси, координатные линии гр [линии х ) - .
окружности с цент- рами на оси Ох, плоскости которых параллельны плоскости Оху. Координатные линии е [линии х ) прямые, параллельные оси Ох [сы. Рис. 6.3). НайДем вектоРы тг, тл, та и т', т~, тз. Имеем Гдх ду д«1 тг = ' —, —, — т = (совгр, япгр, О), г.
др др др1 Гдх ду д«1 тл = —, —, — т = ( — ряпгр, рсоа грг 0), др' др др те=( — "', — ", — )=(0,0,1). Подчеркнем, что выражения в фигурных скобках представ- ляют собой декартовы координаты базисных векторов тг, тз и тг. Непосредственно можно убедиться, что базис тм тв, тэ ортогональньпл. Для вычисления «взаимного базиса воспользу- емся формулами, приведенными в п. 1 8 1 этой главы. Имеем соа гр яп гр 0 тгтзта = рашгр рсовгр 0 0 0 1 =Р [тэта) = (рсоа грг ряпгрг 0), [татл) = ( — япгр, совгр, 0), ~[тгтя~ = (Ог О, р). Поэтому [6.62) тг = [ г ~~ = (сов гр, япгр, О), т, тгт« 2 [тзтг) ( 1 1 т = = [ — — чшгрг — соагрг 0), [тгтт) = (О О 1) тг тгть 2'.
Сферглчетал еглетпелла коордглнапл. Эта система координат вводится с помощью соотношений х = риидсоалр, у = рвшдяпгр, е = рсоэд. [6.61) Таким образом, хг = р, хв = гр, ха = д. Известно, что указанные координаты р, гр, О [или, что то же, х, х~, ха) изменяются в следующих пределах: 0 < р < +со, 0 < гр < 2гг, 0 < д < гг. 1 3 ВыРАжение ОнеРА11ий В кРиВОлинейных кООРдинАРАх 169 Неравенства (6,62) определяют в евклидовом пространстве Е1 с координатами р,~р, О (или л1,тз,хз) бесконечную область Й, изображенную на рис.
6.4. Мы можем поэтому рассматривать введение сферических координат в евклидовом пространстве Ь' Рис. б.й т1 = ( эшдсов~р, япдвшу, совО тз = ( — рвшдзш~р, рвп10соз~р, 0 гз = (рсовОсоэ~р, рсовдв1п~р, — рз1ВО ). Непосредственно можно убедиться, что базис г1, гя га ортого- нальный. Для вычисления взаимного базиса воспользуемся фор- мулами, приведенными в п. 1 9 1 этой главы. Имеем япдсов~р вшОяпр совΠ— рвшдвшр рэтОсовр 0 рсовдсоз~р рсоздвш~р — ряпО = — р вшО, Т1Т2ТЗ = — р эшвОяп~р, — р вшдсовО ), рсоа у, 0 )., — рсовдв1ВОзш~р, рвшзО ~гсгз)=( — р яп Осовр, ~гзг13=( [г1гз) =( — р соз 0 яп 0 соыр, как результат отображения области й пространства Ез в пространство Ев с помощью формул (6.6Ц. Очевидно, координатные линии р (линии л1) представляют собой лучи, выходящие из начала координат; координатные линии ~р (линии тв) окружности с центрами на оси Ол, плоскости которых параллельны плоскости Оту, координатные линии 0 (линии х ) полуокружности, центры которых находятся в начале координат и плоскости которых проходят через ось Ол (см.
рис, 6.4). НаиДем вектоРы г1, тя т'з и т, т, т . Имеем з 170 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Поэтому т' = ' ' = ( гшдсог2Р, 31пдг1п2р, согд ), т' 1 т 2 т 3 [тзтз) ( 1 ззп1р 1 сок З2 /2 тзтзтз р 21пр р сйпг т" = = 1 — соадсог2р, — согдгтп1р, — — 31пд [. 3 [тзтз) 1 1 1 . 1 тзтзтз р Р Р 3'. Орпзогональная криволинейная систелза координат. Криволинейную систему координат мы будем называть орто- гональной, ес.ти в каждой точке области П базис т,, определя- емый равенством (6.59), является ортогональным. Только что рассмотренные цилиндрическая и сферическая системы коорди- нат представляют собой примеры ортогональных криволиней- ных координат. Получим выражение для векторов т' взаимного базиса для случая ортогональной системы координат.
Введем следующие обозначения: Н1 = ~т1(, Нз = )тз), Нз = (тз) Величины Н1, Нз, Нз обычно называются коэффициентами или парамглпрами Ламе 1) . Так как система координат ортогональная и тройка векторов тт, т21 т3 правая, ТО тзт'зтз = Н1Н2Нз, 1тгт31 = ' тн [тЗт1] = т2, [T1т2] = тз. Н Нз Нз Используя эти соотношения и формулы, выражающие векторы взаимного базиса через векторы т; (см. и. 1 9 1 этой главы), получим 1 1 2 1 3 1 т' = —,21, Т = —,T2. T = — T1.
Нз ' Н; ' Н 1 2 з 2. Выражение градиента и производной по направ- лению для скалярного поля в криволинейных коорди- натах. Пусть в области й, в которой введены криволинейные координаты х, х, х, задано дифференцируемое скалярное по- ле и(1И). При этих условиях дади определен в каждой точке П и в каждой точке й по любому направлению е может быть дп, вычислена производная —. Как градиент ~гас) и, так и произде водную по направлению в данной точке М мы будем относить к базису тм т' в этой точке, построение которого описано в пре- дыдущем пункте.. 1'.
Выражение градиента скалярного полл в криволинейных координатах. После введения в области П криволинейных ко- ) 1. Ламе - франпузский математик 11795. 1870). *т 3 ВЫРЛ>КЕНИЕ ОНЕРЛНИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРНИНЛТЛХ 171 ординат х, х, х' скалярное поле и будет, очевидно, функцией перелсенных х, х, х: и = и(х, х, х'). Эта функция может рассматриваться как результат суперпозиции функции и(х, у, г) переменных х, у, г и функций (6.58).
Поди этому для вычисления производных — мы можем применить дх' ди правило дифференцирования сложной функции. Обозначая— д' через и;, получим ди дх ди ду ди дг и, = — — + — — + — —. (6.63) дх дх* ду дх* дг дх* ди ди ди Так как —, —, — -- координаты вектора бгас1и в базисе т, т', к, д ' ду' д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
