Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 34
Текст из файла (страница 34)
По предположению, существуют несобственные интегралы от частных производных функций Р(х, у) и с7(х, у). Это означает, что для любой системы областей (В„), монотонно исчерпывающих область 1Э, справедливо, например, соотношение 1пп — с1х с1у = — с1х с1у (аналогичные соотношения справедливы и для других частных производных функций Р(х, у) и 1„1(х, у)). Опишем построение специальной системы областей (Вп), монотонно исчерпывающих область типа К. Эта система понадобится нам при доказательстве формулы Грина для областей ука- у1 - В" „ занного типа. ~У2 ~а Пусть сегмент (а, 6] оси Ох У2 с ( В представляет собой проекцию на В эту ось области .0 (рис. 7.1).
Про- + У! + си( — ~— ~п ведем через точки а и б прямые, параллельные оси Оу. Каждая из ! (У1 1,' этих двух прямых пересекается с границей 1 лишь в одной точке. Эти две точки А и В пересече- аа х Ь„Ь х ния указанных прямых с грани- Рис. 7.1 цей 1 разделяют 1 на две кривые А' и 1, которые, очевидно, представляют собой графики непрерывных и кусочно-дифференцируемых на сегменте (а, 6] функций у~(х) и уз(х) соответственно. Отметим (см. рис. 7.1), что у~(х) < у. (х) (равенство имеет место лишь при х = а и х = 6). Рассмотрим далее последовательность сегментов (амп 6„] таких, что а < а„< 6„< б, а„— ~ а, б„— + 6 при и -э оо.
Пустив кроме того, при любом и сегмент [а„, 6„] содержится в сегменте (а„ьы б„т~]. Выберем число е„) 0 так, чтобы графики 1„' и Ь'„' функций у~(х) + е„и у2(х) — е были расположены в области .0 и не пересекались. 178 ФОРмУлы ГРинл, стОксл и ОстРОГРлдскОГО Гл. 7 Границей области .О„является кривая, составленная нз линий 7'„и Х'„' и отрезков вертикальных прямых, проходящих через точки а„и б„(см.
рис. 7.1). Область 77п+1 строится аналогичным образом, только вместо сегмента [а„, б„) берется сег- МЕНТ (а„з и дв б1), а ЧИСЛО Е„Г1 ) О ВЫбИраЕтСя МЕНЬШИМ ЧИСЛа е„. Очевидно, что если е„— б О, то построенная система областей ( О ) монотонно исчерпывает область Р. Докажем следующее утверэкдение. Теорема 7.я. Пусть в области П типа Л функции Р(х, у) и фх, у) удовлетворяют условиям теоремы 7.1. Тогда для этой области и для функций Р(х, у) и Я(х, у) справедлива формула Грини.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно убедиться в справедливости равенств — дхду = 9ду, — — дхду = Рдх. (7.2) о в о в Так как указанные равенства доказываются однотипно, мы проведем доказательство второго из них. Рассмотрим двойной интеграл (7.3) — дх ду. дР Для области 0„и для подыптегральной функции — в интеду грале (7.3) выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем цг(г)-г — дхду = дх — Йу = ю бх)-~-е а„ б б„ / Р(х, уа(х) — е„) дх — ) Р(х, у1(х) + е„) дх (7.4) а и Левая часть соотношений (7.4) при и — > оо имеет предел, равный дР интегралу д — дтду.
В силу равномерной непрерывности ду функции Р(х, у) в замкнутой области 77, каждое из слагаемых в правой части (7. 4) имеет при и — + оо предел, равный для перь б ного слагаемого ) Р(х, Уз(х)) ах и Дла втоРого ) Р(х, Уб(х)) дх. 179 ФОРЫУЛЛ ГРИНА Первый из этих двух интегралов представляет собой при указанном на рис. 7.1 направлении обхода границы криволинейный интеграл — ) Р(х, у) сЬ, ( П а второй интеграл криволинейный интеграл ) Р(х, у) а(х. Мы видим, что правая часть соотношений (7.4) при п -+ оо имеет предел, равный — ) Р(х, д) (1х.
ь (7.6) Таким образом, вторая из формул (7.2) доказана. Справедливость первой из формул (7.2) устанавливается аналогично (нужно спроецировать Р на ось Оу и повторить проведенные рассуждения) . Теорема доказана. 3. Инвариантная запись формулы Грина. Пусть функции Р(х, у) и (,)(х, д) удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в конечной связной области Р с кусочно-гладкой границей Л. Определим в области Р = Р + Ь векторное поле р, координаты которого в данной декартовой прямоугольной системе координат равны Р(х, у) и с,((х, у).
Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р(х, д) и Я(х, у), поле р будет непрерывным в области Р и непрерывно-дифференцируемым в Р. Найдем ротор этого векторного поля. Используя выражение гоФр в ортонормированном базисе г,,у, (с, получим го1р = ( — — — )Й. Из этого соотношения получим — — — = йго1 р. (7.5) дх дд 3 а м е ч а н и е 1. Перейдем в плоскости Оху к новому ортонормированному базису г', у' и к новой декартовой системе координат Ох'у', связанной с этим базисом.
Пусть векторное по.ле р имеет в этом новом базисе координаты Р и сэ'. Очевидно, в новой системе координат функции Р' и с(' удовлетворяют условиям теоремы 7.1. Кроме того, так как в новом базисе го1 р = д(7' дР' = Йго1р. дх' дд' 180 ФОРмУлы ГРинА, стОксА и ОстРОГРАДскОГО Гл. 7 Так как скалярное произведение й го~ р представляет собой инвариант, то из (7.5) и (7.6) следует, что выражение — — — не де7 дР д* ду меняет ни значения, ни формы при переходе к новому ортонормированному базису, т. е.
также представляет собой инвариант. С помощью этого замечания мы можем сделать следующий важный вывод: интпеграл, находялчийся в левой части формулы Ррина (7.1), пмеет инвириинтньлй хариктер --его зна ление и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Действительно, при таком преобразовании координат абсолютная величина якобиана преобразования равна единице. Согласно же замечанию, подынтегральное выражение не меняет ни значения, ни формы. Обратимся теперь к интегралу фРдх+ Ярду, (7.7) находящемуся в правой части формулы Грина.
Убедимся, что этот ингглегйхлл также имеет инвариинтный хирактер . его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе коирдинапл. Пусть 8 единичный вектор касательной в точках границы Т, направление которого согласовано с направлением обхода на 7, сов гг и зли сг.-- координаты вектора Ф. Выберем в качестве параметра на Ь длину дуги Л, причем на каждой связной компоненте границы возрастание параметра Л согласовано с направлением обхода на этой компоненте. При у.словиях, наложенных на А, функция Ф(Ц будет кусочно-непрерывной. При сформулированных выше условиях векторное поле р будет непрерывным на Л, а его координаты Р и Я представляют собой непрерывные функции от л. Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кривой Т криволинейный интеграл второго рода (7.7) преобразуется в криволинейный интеграл первого рода. При этом Р и Я вы плсляются в точках 7,, а дт, = сов о лй, ду = зли ой.
Таким образом, ф Р дх + Я ду = ф(Р сов о + Я вш о) д7, = ф рФ лЛ. (7.8) Ь Ь ь рФлц = (Р совгг~+ с,л~злпег~) й = Р дхл+ с,7~ау~, Соотношение (7.8) показывает, что интеграл (7.7) действитель- но имеет инвариантный характер: скалярное произведение р1 инвариант,параметризация с помощью длины дуги не связана с систелюй координат.
Кроме того, в новой декартовой системе координат Ох у' имеем ФОРМУЛА ГРИНА и поэтому Рдт+ Яду = Р'дя'+ Я~ду~. Итак, мы убедились, что интегрзл (7.7) имеет инвариантный характер -- его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Проведенные выше рассуждения позволяют придать формуле Грина (7.1) следующую инвариантную форму: Ойго1рдв = фреей. (7.
9) 77 Ь При этом дв означает элемент площади области Е7. 3 а меч ан ив 2. Обычно интеграл фр2д1 называют циркуляцией векторного поля р по кривой Е, Из теоремы 7.2 и выводов этого пункта мы можем извлечь важное следствие. Следствие. Пусть функции Р(к, у) и сг1к, у) удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в конечной области Е7 с кусочно-гладкой границей Л.
Если область 77 может быть разбипьа на конечное число областей Г7ь с кусочно-гладкими гранииами Ль (рис. 7.2) и при этом каждая из Вь представляет собой область типа Л по отношению к некоторой декартовой системе координат, то для области Р и функций Р(х, у) 7З„ и Ц(к., у) справедлива формула Грина. Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Ясно, что формула Рис. 7.2 Грина справедлива для каждой из областей Пв. Это следует из инвариантного характера формулы и из теоремы 7.2 (в некоторой системе координат 74ь будет областью типа К).
(1 /дЦ дР'1 Далее, очевидно, что сумма интегралов д ~ — — — ) дт ау // ~,дг ду) т>г в левых частях формул Грина по областям Пь представляет со- 117дГд д ~ бой интеграл д ~ — — — ) дтду. Сумма же криволинейных Д ~д. ду) интегралов ф Рдк+ с7ду в правых частях формул Грина по ги границам Ьь областей Ре даст интеграл ф Рдх+ сгду, нбо интегралы |ю общим участкам границы областей Рь сократятся Г82 ФОРМУЛЫ ГРИНЛ, СТОКСЛ И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
